Sur les distributions de probabilité des diffusions et des modèles financiers avec des coefficients non lisses au niveau mondial.

Résumé Certains travaux récents dans le domaine de la finance mathématique ont mis en lumière l'importance d'étudier la régularité et l'asymptotique des distributions pour certaines classes de diffusions à coefficients non globalement lisses. Dans cette thèse de doctorat, nous traitons de certaines questions dans ce cadre. Dans une première partie, nous étudions l'existence, le lissage et l'asymptotique spatiale des densités pour les solutions d'équations différentielles stochastiques en supposant uniquement des conditions locales sur les coefficients de l'équation. Notre analyse est basée sur les outils du calcul de Malliavin et sur des " estimations de tubes " pour les processus d'Ito, à savoir des estimations de la probabilité que la trajectoire d'un processus d'Ito reste proche d'une courbe déterministe. Nous obtenons des estimations significatives des densités et des fonctions de distribution dans des classes générales de modèles d'évaluation des options, y compris des généralisations des processus CIR et CEV et des modèles de volatilité locale-stochastique. Dans ce dernier cas, les estimations que nous dérivons ont un impact sur l'explosion du moment du prix sous-jacent et, par conséquent, sur le comportement à grande échelle de la volatilité implicite. La modélisation paramétrique de la volatilité implicite, à son tour, fait l'objet de la deuxième partie. En particulier, nous nous concentrons sur le modèle SVI de J. Gatheral, en proposant d'abord une procédure de calibration quasi-explicite efficace et en montrant ses performances sur des données de marché. Ensuite, nous analysons la capacité de SVI à générer des approximations efficaces des smiles symétriques, en construisant une paramétrisation explicite dépendant du temps.