DE MARCO Stefano

Dans cette thèse, nous examinons plusieurs méthodes d'approximations stochastiques à la fois pour le calcul de mesures de risques financiers et pour le pricing de produits dérivés.Comme les formules explicites sont rarement disponibles pour de telles quantités, le besoin d'approximations analytiques rapides,efficaces et fiables est d'une importance capitale pour les institutions financières.Nous visons ainsi à donner un large aperçu de ces méthodes d'approximation et nous nous concentrons sur trois approches distinctes.Dans la première partie, nous étudions plusieurs méthodes d'approximation Monte Carlo multi-niveaux et les appliquons à deux problèmes pratiques :l'estimation de quantités impliquant des espérances imbriquées (comme la marge initiale) ainsi que la discrétisation des intégrales apparaissant dans les modèles rough pour la variance forward pour le pricing d'options sur le VIX.Dans les deux cas, nous analysons les propriétés d'optimalité asymptotique des estimateurs multi-niveaux correspondants et démontrons numériquement leur supériorité par rapport à une méthode de Monte Carlo classique.Dans la deuxième partie, motivés par les nombreux exemples issus de la modélisation en risque de crédit, nous proposons un cadre général de métamodélisation pour de grandes sommes de variables aléatoires de Bernoulli pondérées, qui sont conditionnellement indépendantes par rapport à un facteur commun X. Notre approche générique est basée sur la décomposition en polynômes du chaos du facteur commun et sur une approximation gaussienne. Les estimations d'erreur L2 sont données lorsque le facteur X est associé à des polynômes orthogonaux classiques.Enfin, dans la dernière partie de cette thèse, nous nous intéressons aux asymptotiques en temps court de la volatilité implicite américaine et les prix d'options américaines dans les modèles à volatilité locale. Nous proposons également une approximation en loi de l'indice VIX dans des modèles rough pour la variance forward, exprimée en termes de proxys log-normaux et dérivons des résultats d'expansion pour les options sur le VIX dont les coefficients sont explicites.

La méthode de Monte-Carlo multi-niveaux (MLMC) développée par Giles [Gil08] a une application naturelle à l'évaluation des espérances imbriquées de la forme E [g(E [f (X, Y)|X])], où f, g sont des fonctions et (X, Y) un couple de variables aléatoires indépendantes. En dehors de l'évaluation des produits dérivés de type américain, de tels calculs apparaissent dans une grande variété d'évaluations de risque (VaR ou CVaR d'un portefeuille, CVA), et dans l'évaluation des coûts de marge pour les portefeuilles compensés centralement. Dans ce travail, nous nous concentrons sur le calcul de la marge initiale. Nous analysons les propriétés des estimateurs MLMC correspondants, pour lesquels nous fournissons des résultats d'optimalité asymptotique. Au niveau technique, nous devons faire face à la régularité limitée de la fonction externe g (qui peut ne pas être partout différentiable). Parallèlement à cela, nous étudions les limites supérieures et inférieures des attentes imbriquées comme ci-dessus, dans l'esprit des algorithmes primaires/duaux pour les problèmes de contrôle stochastique.

Nous introduisons une nouvelle classe d'équations différentielles stochastiques rétroactives anticipatives avec une dépendance de type McKean sur la loi de la solution, que nous nommons MKABSDE. Nous fournissons des résultats d'existence et d'unicité dans un cadre général avec des hypothèses de régularité relativement générales sur les coefficients. Nous montrons comment de telles équations stochastiques apparaissent dans le paradigme moderne de la tarification des produits dérivés où une contrepartie centrale (CCP) exige que les membres déposent des marges de variation et initiales pour couvrir leur exposition. Dans le cas où la marge initiale est proportionnelle à la valeur à risque conditionnelle (CVaR) du prix du contrat, nous appliquons notre résultat général pour définir le prix comme une solution d'une MKABSDE. Nous fournissons plusieurs approximations linéaires et non linéaires plus simples, que nous résolvons en utilisant différentes méthodes numériques (déterministes et Monte-Carlo).

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Dans cet article, nous développons les méthodes réversibles de transformation d'agitation sur l'espace des chemins de Gobet et Liu [GL15] pour estimer les statistiques d'événements rares survenant dans différents contextes de risque financier qui sont intégrés dans un cadre unifié de processus gaussien isonormal. Plus précisément, nous combinons les méthodes de fractionnement avec la technique du système de particules interagissant (IPS) et les transformations ergodiques à l'aide d'estimateurs Parallel-One-Path (POP). Nous proposons également une version adaptative de la méthode POP et prouvons sa convergence. Nous démontrons l'application de nos méthodes dans divers exemples qui couvrent des modèles stochastiques semi-martingaux habituels (pas nécessairement markoviens) pilotés par le mouvement brownien et, également, des modèles pilotés par le mouvement brownien fractionnel (non semi-martingaux) pour traiter divers risques financiers. Il est intéressant de noter que, grâce au cadre des processus gaussiens, nos méthodes sont également capables de traiter efficacement le problème important de la sensibilité des statistiques d'événements rares par rapport aux paramètres du modèle.

Cet article est un complément à notre précédent travail [ADGL15] sur les méthodes de simulation d'événements rares. Dans cet article, nous fournissons une preuve alternative pour l'ergodicité de la transformation d'ébranlement dans le cas gaussien et proposons deux variantes des méthodes existantes avec des comparaisons de performances numériques. Dans les tests numériques, nous illustrons également l'idée de la génération de scénarios extrêmes basée sur la convergence des distributions marginales des chaînes de Markov sous-jacentes et montrons l'impact de la discrétisation des modèles à temps continu sur l'estimation de la probabilité des événements rares.

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L'EDS unidimensionnelle avec coefficient de diffusion non Lipschitz $dX_{t} = b(X_{t})dt + \sigma X_{t}^{\gamma} dB_{t}, \ X_{0}=x, \gamma.

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Certains travaux récents dans le domaine de la finance mathématique ont mis en lumière l'importance d'étudier la régularité et l'asymptotique des distributions pour certaines classes de diffusions à coefficients non globalement lisses. Dans cette thèse de doctorat, nous traitons de certaines questions dans ce cadre. Dans une première partie, nous étudions l'existence, le lissage et l'asymptotique spatiale des densités pour les solutions d'équations différentielles stochastiques en supposant uniquement des conditions locales sur les coefficients de l'équation. Notre analyse est basée sur les outils du calcul de Malliavin et sur des " estimations de tubes " pour les processus d'Ito, à savoir des estimations de la probabilité que la trajectoire d'un processus d'Ito reste proche d'une courbe déterministe. Nous obtenons des estimations significatives des densités et des fonctions de distribution dans des classes générales de modèles d'évaluation des options, y compris des généralisations des processus CIR et CEV et des modèles de volatilité locale-stochastique. Dans ce dernier cas, les estimations que nous dérivons ont un impact sur l'explosion du moment du prix sous-jacent et, par conséquent, sur le comportement à grande échelle de la volatilité implicite. La modélisation paramétrique de la volatilité implicite, à son tour, fait l'objet de la deuxième partie. En particulier, nous nous concentrons sur le modèle SVI de J. Gatheral, en proposant d'abord une procédure de calibration quasi-explicite efficace et en montrant ses performances sur des données de marché. Ensuite, nous analysons la capacité de SVI à générer des approximations efficaces des smiles symétriques, en construisant une paramétrisation explicite dépendant du temps.

Des travaux récents dans le domaine des mathématiques financières ont fait émerger l'importance de l'étude de la régularité et du comportement fin des queues de distribution pour certaines classes de diffusions à coefficients non globalement réguliers. Dans cette thèse, nous traitons des problèmes issus de ce contexte. Nous étudions d'abord l'existence, la régularité et l'asymptotique en espace de densités pour les solutions d'équations différentielles stochastiques en n'imposant que des conditions locales sur les coefficients de l'équation. Notre analyse se base sur les outils du calcul de Malliavin et sur des estimations pour les processus d'Ito confinés dans un tube autour d'une courbe déterministe. Nous obtenons des estimations significatives de la fonction de répartition et de la densité dans des classes de modèles comprenant des généralisations du CIR et du CEV et des modèles à volatilité locale-stochastique : dans ce deuxième cas, les estimations entraînent l'explosion des moments du sous-jacent et ont ainsi un impact sur le comportement asymptotique en strike de la volatilité implicite. La modélisation paramétrique de la surface de volatilité, à son tour, fait l'objet de la deuxième partie. Nous considérons le modèle SVI de J. Gatheral, en proposant une nouvelle stratégie de calibration quasi-explicite, dont nous illustrons les performances sur des données de marché. Ensuite, nous analysons la capacité du SVI à générer des approximations pour les smiles symétriques, en le généralisant à un modèle dépendant du temps. Nous en testons l'application à un modèle de Heston (sans et avec déplacement), en générant des approximations semi-fermées pour le smile de volatilité.