Some Contributions on Probabilistic Interpretation For Nonlinear Stochastic PDEs.

Résumé L'objectif de cette thèse est d'étudier la représentation probabiliste (for- mula de Feynman-Kac) de différentes classes d'EDP non linéaires tochastiques (semi-linéaires, totalement non linéaires, réfléchies dans un domaine) au moyen d'équations différentielles rétroactives doublement stochastiques (BDSDE). Cette thèse contient quatre parties différentes. Dans la première partie, nous traitons des BDS-ED du second ordre (2BDSDEs). Nous montrons l'existence et l'unicité des solutions des 2BDSDEs en utilisant des techniques de contrôle stochastique quasi sûres. La motivation principale de cette étude est la représentation probabiliste pour la solution des SPDEs entièrement non linéaires. D'abord, sous des hypothèses de régularité sur les coefficients, nous donnons une formule de Feynman-Kac pour la solution classique des EDPS entièrement non linéaires et nous généralisons le travail de Soner, Touzi et Zhang (2010-2012) pour les EDPS entièrement non linéaires déterministes. Ensuite, sous des hypothèses plus faibles sur les coefficients, nous prouvons la représentation probabiliste pour la solution de viscosité stochastique des EDPS entièrement non linéaires. Dans la deuxième partie, nous étudions la solution de Sobolev du problème d'obstacle pour les équations intégro-différentielles partielles (PIDE). Plus précisément, nous montrons la formule de Feynman-Kac pour les PIDEs via des différentielles stochastiques réfléchies avec sauts (BSDEs). Plus précisément, nous établissons l'existence et l'unicité de la solution du problème de l'obstacle, qui est considéré comme une paire constituée de la solution et de la mesure de réflexion. L'approche est basée sur la technique des flux stochastiques développée dans Bally et Matoussi (2001) mais les preuves sont plus techniques. Dans la troisième partie, nous discutons l'existence et l'unicité pour les RBDSDE dans un domaine convexe D sans aucune condition de régularité sur la frontière. De plus, en utilisant l'approche basée sur les techniques de flux stochastique, nous fournissons l'interprétation probabiliste de la solution de Sobolev d'une classe de SPDEs réfléchis dans un domaine convexe via les RBDSDEs. Enfin, nous nous intéressons à la solution numérique de BDSDEs avec un temps terminal aléatoire. La motivation principale est de donner une représentation probabiliste de la solution de Sobolev des EDPS semilinéaires avec condition nulle de Dirichlet. Dans cette partie, nous étudions l'approximation forte de cette classe de BDSDEs lorsque le temps terminal aléatoire est le premier temps de sortie d'une EDS d'un domaine cylindrique. Ainsi, nous donnons des bornes pour l'erreur d'approximation en temps discret. Nous concluons cette partie par des tests numériques montrant que cette approche est efficace.