SABBAGH Wissal

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Dans cet article, nous nous intéressons à la résolution numérique des équations différentielles doublement stochastiques rétroactives (BDSDE) avec un temps terminal aléatoire tau. Les motivations principales sont de donner une représentation probabiliste de la solution de Sobolev du problème de Dirichlet pour les EDPS semilinéaires et de fournir le schéma numérique pour ces EDPS. Ainsi, nous étudions l'approximation forte de cette classe de BDSDEs lorsque tau est le premier temps de sortie d'une EDS directe d'un domaine cylindrique. Les schémas d'Euler et les limites de l'erreur d'approximation en temps discret sont fournis.

Cet article présente des résultats d'existence et d'unicité pour des équations différentielles doublement stochastiques réfléchies (en bref, RBDSDE) dans un domaine convexe D sans aucune condition de régularité sur la frontière. De plus, en utilisant une approche de flux stochastique, une interprétation probabiliste pour un système d'EDPS réfléchies dans un domaine est donnée via ces RBDSDE. La solution est exprimée comme une paire (u, ν) où u est un processus continu prévisible qui prend des valeurs dans un espace Sobolev et ν est une mesure régulière aléatoire. Le processus de variation bornée K, la composante de la solution de la RBDSDE réfléchie, contrôle l'ensemble lorsque u atteint la limite de D. Ce processus de variation bornée détermine la mesure ν à partir d'une relation particulière en utilisant l'inverse du flux associé à l'opérateur de diffusion.

Dans cet article, nous proposons une théorie de la bienposition pour une classe d'équation différentielle doublement stochastique du second ordre (2BDSDE). Nous prouvons l'existence et l'unicité de la solution sous une hypothèse de type Lipschitz sur le générateur, et nous étudions les liens entre nos 2BDSDE et une classe d'EDP stochastiques paraboliques entièrement non linéaires. Précisément, nous montrons que la solution markovienne des 2BDSDEs fournit une interprétation probabiliste de la solution de viscosité classique et stochastique des EDPS entièrement non linéaires.

Dans cet article, nous nous intéressons à la résolution numérique des équations différentielles doublement stochastiques rétroactives (BDSDE) avec un temps terminal aléatoire tau. Les motivations principales sont de donner une représentation probabiliste de la solution de Sobolev du problème de Dirichlet pour les EDPS semilinéaires et de fournir le schéma numérique pour ces EDPS. Ainsi, nous étudions l'approximation forte de cette classe de BDSDEs lorsque tau est le premier temps de sortie d'une EDS directe d'un domaine cylindrique. Les schémas d'Euler et les limites de l'erreur d'approximation en temps discret sont fournis.

L'objectif de cette thèse est d'étudier la représentation probabiliste (for- mula de Feynman-Kac) de différentes classes d'EDP non linéaires tochastiques (semi-linéaires, totalement non linéaires, réfléchies dans un domaine) au moyen d'équations différentielles rétroactives doublement stochastiques (BDSDE). Cette thèse contient quatre parties différentes. Dans la première partie, nous traitons des BDS-ED du second ordre (2BDSDEs). Nous montrons l'existence et l'unicité des solutions des 2BDSDEs en utilisant des techniques de contrôle stochastique quasi sûres. La motivation principale de cette étude est la représentation probabiliste pour la solution des SPDEs entièrement non linéaires. D'abord, sous des hypothèses de régularité sur les coefficients, nous donnons une formule de Feynman-Kac pour la solution classique des EDPS entièrement non linéaires et nous généralisons le travail de Soner, Touzi et Zhang (2010-2012) pour les EDPS entièrement non linéaires déterministes. Ensuite, sous des hypothèses plus faibles sur les coefficients, nous prouvons la représentation probabiliste pour la solution de viscosité stochastique des EDPS entièrement non linéaires. Dans la deuxième partie, nous étudions la solution de Sobolev du problème d'obstacle pour les équations intégro-différentielles partielles (PIDE). Plus précisément, nous montrons la formule de Feynman-Kac pour les PIDEs via des différentielles stochastiques réfléchies avec sauts (BSDEs). Plus précisément, nous établissons l'existence et l'unicité de la solution du problème de l'obstacle, qui est considéré comme une paire constituée de la solution et de la mesure de réflexion. L'approche est basée sur la technique des flux stochastiques développée dans Bally et Matoussi (2001) mais les preuves sont plus techniques. Dans la troisième partie, nous discutons l'existence et l'unicité pour les RBDSDE dans un domaine convexe D sans aucune condition de régularité sur la frontière. De plus, en utilisant l'approche basée sur les techniques de flux stochastique, nous fournissons l'interprétation probabiliste de la solution de Sobolev d'une classe de SPDEs réfléchis dans un domaine convexe via les RBDSDEs. Enfin, nous nous intéressons à la solution numérique de BDSDEs avec un temps terminal aléatoire. La motivation principale est de donner une représentation probabiliste de la solution de Sobolev des EDPS semilinéaires avec condition nulle de Dirichlet. Dans cette partie, nous étudions l'approximation forte de cette classe de BDSDEs lorsque le temps terminal aléatoire est le premier temps de sortie d'une EDS d'un domaine cylindrique. Ainsi, nous donnons des bornes pour l'erreur d'approximation en temps discret. Nous concluons cette partie par des tests numériques montrant que cette approche est efficace.

L'objectif de cette thèse est l'étude de la représentation probabiliste des différentes classes d'EDPSs non-linéaires(semi-linéaires, complètement non-linéaires, réfléchies dans un domaine) en utilisant les équations différentielles doublement stochastiques rétrogrades (EDDSRs). Cette thèse contient quatre parties différentes. Nous traitons dans la première partie les EDDSRs du second ordre (2EDDSRs). Nous montrons l'existence et l'unicité des solutions des EDDSRs en utilisant des techniques de contrôle stochastique quasi- sure. La motivation principale de cette étude est la représentation probabiliste des EDPSs complètement non-linéaires. Dans la deuxième partie, nous étudions les solutions faibles de type Sobolev du problème d'obstacle pour les équations à dérivées partielles inteégro-différentielles (EDPIDs). Plus précisément, nous montrons la formule de Feynman-Kac pour l'EDPIDs par l'intermédiaire des équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies avec sauts (EDSRRs). Plus précisément, nous établissons l'existence et l'unicité de la solution du problème d'obstacle, qui est considérée comme un couple constitué de la solution et de la mesure de réflexion. L'approche utilisée est basée sur les techniques de flots stochastiques développées dans Bally et Matoussi (2001) mais les preuves sont beaucoup plus techniques. Dans la troisième partie, nous traitons l'existence et l'unicité pour les EDDSRRs dans un domaine convexe D sans aucune condition de régularité sur la frontière. De plus, en utilisant l'approche basée sur les techniques du flot stochastiques nous démontrons l'interprétation probabiliste de la solution faible de type Sobolev d'une classe d'EDPSs réfléchies dans un domaine convexe via les EDDSRRs. Enfin, nous nous intéressons à la résolution numérique des EDDSRs à temps terminal aléatoire. La motivation principale est de donner une représentation probabiliste des solutions de Sobolev d'EDPSs semi-linéaires avec condition de Dirichlet nul au bord. Dans cette partie, nous étudions l'approximation forte de cette classe d'EDDSRs quand le temps terminal aléatoire est le premier temps de sortie d'une EDS d'un domaine cylindrique. Ainsi, nous donnons les bornes pour l'erreur d'approximation en temps discret. Cette partie se conclut par des tests numériques qui démontrent que cette approche est effective.

Nous donnons une interprétation probabiliste pour la solution de Sobolev faible du problème d'obstacle pour les équations intégro-différentielles partielles paraboliques semi-linéaires (PIDE). Les résultats de Léandre [29] sur la propriété homéomorphique pour la solution des EDP avec sauts sont utilisés pour construire des fonctions de test aléatoires pour l'équation variationnelle de ces EDP. Ceci conduit à la connexion naturelle avec les Equations Différentielles Stochastiques Arrière Réfléchies avec sauts (RBSDE) associées, à savoir la formule de Kac de Feynman pour la solution de la PIDE. MSC : 60H15. 60G46. 35R60 Mot clé : Equation différentielle stochastique à rebours réfléchie, équation intégro-différentielle partielle parabolique, processus de diffusion à sauts, problème d'obstacle, flux stochastique, flux de différomorphisme.