Schémas de discrétisation d'ordre faible élevé pour les équations différentielles stochastiques.

Résumé Le développement de la technologie et de l'informatique au cours des dernières décennies, a conduit à l'émergence de méthodes numériques pour l'approximation des Equations Différentielles Stochastiques (EDS) et pour l'estimation de leurs paramètres. Cette thèse traite de ces deux aspects. En particulier, nous étudions l'efficacité de ces méthodes. La première partie sera consacrée à l'approximation des EDS par des schémas numériques tandis que la seconde partie traitera de l'estimation des paramètres du processus de Wishart. Premièrement, nous nous concentrons sur les schémas d'approximation pour les SDE. Nous traiterons les schémas qui sont définis sur une grille temporelle de taille $n$. Nous disons que le schéma $ X^n $ converge faiblement vers la diffusion $ X $, avec un ordre $ h dans mathbb{N} $, si pour chaque $ T> 0 $, $ vert mathbb{E} [f (X_T) -f (X_T^n)]vert leqslant C_f / h^n $. Jusqu'à présent, sauf dans certains cas particuliers (schémas d'Euler et de Victoir Ninomiya), les recherches sur ce sujet nécessitent que $ C_f$ dépende de la norme du supremum de $ f $ ainsi que de ses dérivées. En d'autres termes $C_f =C sum_{vert alpha vert leqslant q} Vert partial_{alpha} f Vert_{infty}$. Notre objectif est de montrer que, si le schéma converge faiblement avec l'ordre $ h $ pour un tel $C_f$, alors, sous des hypothèses de non dégénérescence et de régularité, nous pouvons obtenir le même résultat avec $ C_f=C Vert f Vert_{infty}$. Nous sommes donc en mesure d'estimer $mathbb{E} [f (X_T)]$ pour une fonction bornée et mesurable $f$. Nous dirons que le schéma converge pour la distance de variation totale, avec un taux $h$. Nous prouverons également que la densité de $X^n_T$ et ses dérivées convergent vers celles de $X_T$. La preuve de ces résultats repose sur une variante du calcul de Malliavin basée sur le bruit de la variable aléatoire impliquée dans le schéma. Le grand avantage de notre approche est qu'elle ne traite pas le cas d'un schéma particulier et qu'elle peut être utilisée pour de nombreux schémas. Par exemple, notre résultat s'applique à la fois aux schémas Euler $(h = 1)$ et Ninomiya Victoir $(h = 2)$. De plus, les variables aléatoires utilisées dans cet ensemble de schémas n'ont pas une loi de distribution particulière mais appartiennent à un ensemble de lois. Cela conduit à considérer notre résultat comme un principe d'invariance également. Enfin, nous illustrerons également ce résultat pour un schéma de troisième ordre faible pour des EDS unidimensionnels. La deuxième partie de cette thèse traite de l'estimation des paramètres des EDS. Plus particulièrement, nous étudierons l'estimateur de maximum de vraisemblance (MLE) des paramètres qui apparaissent dans le modèle matriciel de Wishart. Ce processus est la version multidimensionnelle du processus de Cox Ingersoll Ross (CIR). Sa spécificité repose sur le terme de racine carrée qui apparaît dans le coefficient de diffusion. En utilisant ces processus, il est possible de généraliser le modèle de Heston pour le cas d'une covariance locale. Cette thèse fournit le calcul de la VME des paramètres du processus de Wishart. Elle donne également la vitesse de convergence et les lois limites pour les cas ergodiques et pour certains cas non-ergodiques. Afin d'obtenir ces résultats, nous utiliserons différentes méthodes, à savoir : les théorèmes ergodiques, les méthodes de changement de temps ou l'étude de la transformée de Laplace conjointe du processus de Wishart et de son processus moyen.