REY Clement

Nous proposons une comparaison approfondie de l'expansion de chaos polynomial (PCE) pour les fonctions indicatrices de la forme 1 c≤X pour un certain paramètre de seuil c ∈ R et une variable aléatoire X associée à des polynômes orthogonaux classiques. Nous fournissons des estimations L2 globales et localisées serrées pour la troncature résultante de la PCE et des expériences numériques soutiennent la rigueur des estimations d'erreur. Nous comparons également la précision théorique et numérique de la PCE lorsque des transformations supplémentaires de quantile/probabilité sont appliquées, révélant des choix optimaux différents selon la valeur de c au centre et aux queues de la distribution de X.

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Dans cet article, nous proposons une méthode pour prouver la convergence en variation totale de l'approximation des semigroupes de Markov avec singularités. En particulier, notre approche est adaptée à l'étude des schémas numériques pour les équations différentielles stochastiques (EDS) à coefficients simplement lisses localement. Nous présentons d'abord cette méthode, puis nous l'appliquons au processus CIR. En particulier, nous considérons le schéma faible du second ordre introduit dans [2] (Alfonsi 2010) et nous prouvons qu'il converge également vers le processus de diffusion CIR pour la distance de variation totale. Cette convergence se produit avec un ordre presque égal à deux.

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Nous concevons un méta-modèle pour la distribution des pertes d'un grand portefeuille de crédit dans le modèle de copule gaussienne. En utilisant à la fois l'expansion du chaos de Wiener sur le facteur économique systémique et une approximation gaussienne sur la perte tronquée associée, nous réduisons significativement le temps de calcul nécessaire à l'échantillonnage de la perte et donc à l'estimation des mesures de risque sur la distribution des pertes. La précision de notre méthode est confirmée par de nombreux exemples numériques.

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Dans cet article, nous proposons une méthode pour prouver la convergence en variation totale de l'approximation des semigroupes de Markov avec singularités. En particulier, notre approche est adaptée à l'étude des schémas numériques pour les équations différentielles stochastiques (EDS) à coefficients simplement lisses localement. Nous présentons d'abord cette méthode, puis nous l'appliquons au processus CIR. En particulier, nous considérons le schéma faible du second ordre introduit dans [2] (Alfonsi 2010) et nous prouvons qu'il converge également vers le processus de diffusion CIR pour la distance de variation totale. Cette convergence se produit avec un ordre presque égal à deux.

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Cet article propose une approche générale et abstraite pour approximer les régimes ergodiques des processus de Markov et de Feller. Plus précisément, nous montrons que l'algorithme récursif présenté par Lamberton et Pagès en 2002, et basé sur des algorithmes de simulation de schémas stochastiques à pas décroissant peut être utilisé pour construire des mesures invariantes pour des processus de Markov et de Feller généraux. Nous proposons également des applications dans trois configurations différentes : Approximation des régimes ergodiques de diffusion brownienne à commutation de Markov à l'aide du schéma d'Euler, approximation des régimes ergodiques de diffusion brownienne de Markov avec le schéma de Milstein et approximation des régimes ergodiques de diffusions générales avec composantes de saut.

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Le premier objectif de cet article est de prouver que, les propriétés de régularisation d'un semigroupe de Markov permettent de prouver la convergence en distance de variation totale pour les schémas d'approximation du semigroupe. De plus, en utilisant un argument d'interpolation, nous obtenons des estimations pour l'erreur au sens de la distribution (au niveau des densités du semigroupe par rapport à la mesure de Lebesgue). Dans un deuxième temps, nous construisons un calcul de Malliavin abstrait basé sur une procédure de fractionnement, qui s'avère être l'instrument approprié pour prouver les propriétés de régularisation mentionnées ci-dessus. Enfin, nous utilisons ces résultats afin d'estimer l'erreur dans la distance de variation totale pour le schéma de Ninomiya Victoir (qui est un schéma d'approximation, d'ordre 2, pour les processus de diffusion).

Dans cet article, nous étudions un troisième schéma d'ordre faible pour les processus de diffusion qui a été introduit par Alfonsi [1]. Ce schéma est construit en utilisant des méthodes de cubature et est bien défini sous une condition de commutativité abstraite sur les coefficients du processus de diffusion sous-jacent. De plus, il a été prouvé dans [1] que la convergence du troisième ordre faible a lieu pour les fonctions de test lisses. Dans un premier temps, nous fournissons une condition explicite nécessaire et suffisante pour que le schéma soit bien défini lorsque nous considérons le cas unidimensionnel. Dans un deuxième temps, nous utilisons un résultat de [3] et prouvons que, sous une condition d'ellipticité, cette convergence a également lieu pour la distance de variation totale d'ordre 3. Nous donnons également une estimation de la fonction de densité du processus de diffusion et de ses dérivées.

Au cours de la dernière décennie, il y a eu un intérêt croissant pour l'utilisation des processus de Wishart pour la modélisation, en particulier pour les applications financières. Cependant, il existe encore peu d'études sur l'estimation de ses paramètres. Ici, nous étudions l'estimateur du maximum de vraisemblance (MLE) afin d'estimer les paramètres de dérive d'un processus de Wishart. Nous obtenons des taux et des limites de convergence précis pour cet estimateur dans le cas ergodique et dans certains cas nonergodiques. Nous vérifions que l'ELM atteint le taux de convergence optimal dans chaque cas. Motivés par cette étude, nous présentons également de nouveaux résultats sur la transformée de Laplace qui étendent les résultats récents de Gnoatto et Grasselli et présentent un intérêt indépendant.

Le développement de la technologie et de l'informatique au cours des dernières décennies, a conduit à l'émergence de méthodes numériques pour l'approximation des Equations Différentielles Stochastiques (EDS) et pour l'estimation de leurs paramètres. Cette thèse traite de ces deux aspects. En particulier, nous étudions l'efficacité de ces méthodes. La première partie sera consacrée à l'approximation des EDS par des schémas numériques tandis que la seconde partie traitera de l'estimation des paramètres du processus de Wishart. Premièrement, nous nous concentrons sur les schémas d'approximation pour les SDE. Nous traiterons les schémas qui sont définis sur une grille temporelle de taille $n$. Nous disons que le schéma $ X^n $ converge faiblement vers la diffusion $ X $, avec un ordre $ h dans mathbb{N} $, si pour chaque $ T> 0 $, $ vert mathbb{E} [f (X_T) -f (X_T^n)]vert leqslant C_f / h^n $. Jusqu'à présent, sauf dans certains cas particuliers (schémas d'Euler et de Victoir Ninomiya), les recherches sur ce sujet nécessitent que $ C_f$ dépende de la norme du supremum de $ f $ ainsi que de ses dérivées. En d'autres termes $C_f =C sum_{vert alpha vert leqslant q} Vert partial_{alpha} f Vert_{infty}$. Notre objectif est de montrer que, si le schéma converge faiblement avec l'ordre $ h $ pour un tel $C_f$, alors, sous des hypothèses de non dégénérescence et de régularité, nous pouvons obtenir le même résultat avec $ C_f=C Vert f Vert_{infty}$. Nous sommes donc en mesure d'estimer $mathbb{E} [f (X_T)]$ pour une fonction bornée et mesurable $f$. Nous dirons que le schéma converge pour la distance de variation totale, avec un taux $h$. Nous prouverons également que la densité de $X^n_T$ et ses dérivées convergent vers celles de $X_T$. La preuve de ces résultats repose sur une variante du calcul de Malliavin basée sur le bruit de la variable aléatoire impliquée dans le schéma. Le grand avantage de notre approche est qu'elle ne traite pas le cas d'un schéma particulier et qu'elle peut être utilisée pour de nombreux schémas. Par exemple, notre résultat s'applique à la fois aux schémas Euler $(h = 1)$ et Ninomiya Victoir $(h = 2)$. De plus, les variables aléatoires utilisées dans cet ensemble de schémas n'ont pas une loi de distribution particulière mais appartiennent à un ensemble de lois. Cela conduit à considérer notre résultat comme un principe d'invariance également. Enfin, nous illustrerons également ce résultat pour un schéma de troisième ordre faible pour des EDS unidimensionnels. La deuxième partie de cette thèse traite de l'estimation des paramètres des EDS. Plus particulièrement, nous étudierons l'estimateur de maximum de vraisemblance (MLE) des paramètres qui apparaissent dans le modèle matriciel de Wishart. Ce processus est la version multidimensionnelle du processus de Cox Ingersoll Ross (CIR). Sa spécificité repose sur le terme de racine carrée qui apparaît dans le coefficient de diffusion. En utilisant ces processus, il est possible de généraliser le modèle de Heston pour le cas d'une covariance locale. Cette thèse fournit le calcul de la VME des paramètres du processus de Wishart. Elle donne également la vitesse de convergence et les lois limites pour les cas ergodiques et pour certains cas non-ergodiques. Afin d'obtenir ces résultats, nous utiliserons différentes méthodes, à savoir : les théorèmes ergodiques, les méthodes de changement de temps ou l'étude de la transformée de Laplace conjointe du processus de Wishart et de son processus moyen.

En tomographie d'émission monophotonique (TEMP), l'atténuation et la diffusion introduisent des artefacts importants dans les images reconstruites, biaisant le diagnostic et le suivi du sujet. En effet, la présence de la diffusion entraîne un flou et un brouillage des projections observées, réduit le contraste reconstruit et introduit une incertitude significative dans la quantification de la distribution de l'activité sous-jacente.

Durant les dernières décennies, l'essor des moyens technologiques et particulièrement informatiques a permis l'émergence de la mise en œuvre de méthodes numériques pour l'approximation d'Equations Différentielles Stochastiques (EDS) ainsi que pour l'estimation de leurs paramètres. Cette thèse aborde ces deux aspects et s'intéresse plus spécifiquement à l'efficacité de ces méthodes. La première partie sera consacrée à l'approximation d'EDS par schéma numérique tandis que la deuxième partie traite l'estimation de paramètres. Dans un premier temps, nous étudions des schémas d'approximation pour les EDSs. On suppose que ces schémas sont définis sur une grille de temps de taille $n$. On dira que le schéma $X^n$ converge faiblement vers la diffusion $X$ avec ordre $h in mathbb{N}$ si pour tout $T>0$, $vert mathbb{E}[f(X_T)-f(X_T^n)] vertleqslant C_f /n^h$. Jusqu'à maintenant, sauf dans certains cas particulier (schémas d'Euler et de Ninomiya Victoir), les recherches sur le sujet imposent que $C_f$ dépende de la norme infini de $f$ mais aussi de ses dérivées. En d'autres termes $C_f =C sum_{vert alpha vert leqslant q} Vert partial_{alpha} f Vert_{ infty}$. Notre objectif est de montrer que si le schéma converge faiblement avec ordre $h$ pour un tel $C_f$, alors, sous des hypothèses de non dégénérescence et de régularité des coefficients, on peut obtenir le même résultat avec $C_f=C Vert f Vert_{infty}$. Ainsi, on prouve qu'il est possible d'estimer $mathbb{E}[f(X_T)]$ pour $f$ mesurable et bornée. On dit alors que le schéma converge en variation totale vers la diffusion avec ordre $h$. On prouve aussi qu'il est possible d'approximer la densité de $X_T$ et ses dérivées par celle $X_T^n$. Afin d'obtenir ce résultat, nous emploierons une méthode de calcul de Malliavin adaptatif basée sur les variables aléatoires utilisées dans le schéma. L'intérêt de notre approche repose sur le fait que l'on ne traite pas le cas d'un schéma particulier. Ainsi notre résultat s'applique aussi bien aux schémas d'Euler ($h=1$) que de Ninomiya Victoir ($h=2$) mais aussi à un ensemble générique de schémas. De plus les variables aléatoires utilisées dans le schéma n'ont pas de lois de probabilité imposées mais appartiennent à un ensemble de lois ce qui conduit à considérer notre résultat comme un principe d'invariance. On illustrera également ce résultat dans le cas d'un schéma d'ordre 3 pour les EDSs unidimensionnelles. La deuxième partie de cette thèse traite le sujet de l'estimation des paramètres d'une EDS. Ici, on va se placer dans le cas particulier de l'Estimateur du Maximum de Vraisemblance (EMV) des paramètres qui apparaissent dans le modèle matriciel de Wishart. Ce processus est la version multi-dimensionnelle du processus de Cox Ingersoll Ross (CIR) et a pour particularité la présence de la fonction racine carrée dans le coefficient de diffusion. Ainsi ce modèle permet de généraliser le modèle d'Heston au cas d'une covariance locale. Dans cette thèse nous construisons l'EMV des paramètres du Wishart. On donne également la vitesse de convergence et la loi limite pour le cas ergodique ainsi que pour certains cas non ergodiques. Afin de prouver ces convergences, nous emploierons diverses méthodes, en l'occurrence : les théorèmes ergodiques, des méthodes de changement de temps, ou l'étude de la transformée de Laplace jointe du Wishart et de sa moyenne. De plus, dans dernière cette étude, on étend le domaine de définition de cette transformée jointe.

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