Polynômes orthogonaux associés aux familles exponentielles naturelles.

Résumé Ce travail propose la generalisation a plusieurs dimensions de differentes caracterisations de la classe des familles exponentielles naturelles quadratiques reelles, faisant intervenir la theorie des polynomes orthogonaux. Dans une premiere partie, redigee en anglais et soumise pour publication, nous developpons les trois caracterisations suivantes: i) de meixner (1934) portant sur les polynomes orthogonaux de fonction generatrice exponentielle, ii) de feinsilver (1986) ou les polynomes sont obtenus par derivations des densites de probabilites, iii) de shanbhag (1972) ou apparait les matrices de bhattacharrya. En introduisant une construction originale de polynomes orthogonaux, nous obtenons une caracterisation des familles exponentielles naturelles quadratiques et quadratiques simples a plusieurs dimensions. De plus, nous determinons la classe des polynomes orthogonaux a plusieurs variables dont la fonction generatrice est exponentielle. La deuxieme partie s'inspire d'un article de feinsilver (1991) qui met en evidence un lien entre les algebres de lie et la theorie des probabilites. Nous appuyant sur ce travail, nous montrons alors l'existence d'une bijection entre la classe des familles exponentielles naturelles quadratiques simples et trois types d'algebres de lie. Ainsi, toute probabilite d'une famille exponentielle naturelle permet de definir des operateurs d'une des trois algebres de lie en question grace aux equations de recurrence des polynomes orthogonaux consideres en premiere partie.