POMMERET Denys

Dans cet article, nous étudions les estimateurs non paramétriques des copules et des densités de copules. Nous concentrons d'abord notre étude sur un estimateur de copules de densité basé sur une projection orthogonale polynomiale de la densité conjointe. Un nouvel estimateur de copules est ensuite déduit. Ses propriétés asymptotiques sont étudiées : nous fournissons une grande classe fonctionnelle pour laquelle cette construction est optimale dans le sens minimax et maxiset et nous proposons une méthode de sélection pour le paramètre de lissage. Une étude de simulation intensive montre la très bonne performance des estimateurs de copules et de densités de copules que nous comparons à un large panel de concurrents. Un jeu de données réel dans le domaine de l'actuariat illustre cette approche.

Nous considérons dans cet article les distributions de mélange à deux composantes ayant une composante connue. C'est le cas lorsqu'une composante de référence de type gold standard est bien connue, et lorsqu'une population contient une telle composante plus une autre ayant des caractéristiques différentes. Lorsque deux populations sont tirées de tels modèles, nous proposons une procédure de test de type Khi-deux pénalisé capable de comparer deux à deux les composantes inconnues, c'est-à-dire de tester l'égalité de leurs densités de caractéristiques résiduelles. Une étude numérique intensive est réalisée à partir d'une large gamme de configurations de simulation pour illustrer les propriétés asymptotiques de notre test. De plus, la procédure de test est appliquée sur deux cas réels : i) des ensembles de données sur la mortalité, où les résultats montrent que le test reste robuste même dans des situations difficiles où la composante inconnue ne représente qu'un petit pourcentage de la population globale, ii) des ensembles de données sur la vitesse des galaxies, où la luminosité des étoiles mélangées à la Voie lactée est comparée.

Les divergences dans les structures de population, la prise de décision, les systèmes de santé et de nombreux autres facteurs entraînent des dynamiques de mortalité COVID-19 différentes à l'échelle d'un pays, et rendent difficile la prévision des décès dans un pays étudié. Cependant, les dynamiques de mortalité des pays qui sont en avance sur le temps incluent implicitement ces facteurs et peuvent être utilisées comme des modèles de prédiction concurrents de la vie réelle. Nous proposons précisément une telle approche axée sur les données, mise en œuvre dans une application web accessible au public et fournissant en temps opportun des comparaisons de courbes de mortalité et des prévisions à court terme en temps réel pour une centaine de pays. Ici, l'approche est appliquée pour comparer les trajectoires de mortalité des pays européens de seconde ligne et de première ligne face à la vague épidémique du COVID-19. En utilisant des données jusqu'à la mi-avril, nous montrons que les pays de seconde ligne ont généralement suivi des courbes de mortalité relativement douces plutôt que des courbes rapides et sévères. Ainsi, la poursuite, après la mi-avril, de la vague COVID-19 à travers l'Europe était susceptible d'être atténuée et de ne pas être aussi forte que dans la plupart des pays de première ligne touchés par la vague (cette prédiction est corroborée par les données postérieures).

Les mesures sont des actes quotidiens, elles nous donnent beaucoup d'informations et permettent de prendre des décisions. L'analyse des mesures peut nous permettre d'en apprendre plus sur notre environnement, mais l'erreur d'une mesure peut avoir des conséquences importantes dans certains domaines. Dans une première partie, nous proposons, grâce à l'étude de mesures d'analyses sanguines réalisées au CHU de Clermont-Ferrand, une procédure permettant de détecter les dérives des analyseurs de laboratoires de biologie médicale, se basant sur les mesures d'analyses de patients. Après une analyse descriptive des données, la méthode mise en place, utilisant des méthodes de détection de ruptures de séries temporelles, est testée pour des simulations de ruptures représentant des décalages, des imprécisions ou des dérives d'analyseurs pour différents paramètres biologiques mesurés. La méthode est adaptée pour deux scénarios : lorsque l'on connaît ou non le service hospitalier des patients. L'étude est complétée par une analyse de l'impact de l'incertitude de mesure sur les analyses des patients. Dans une seconde partie nous étudions des mesures de formes de cendres volcaniques réalisées au Laboratoire Magmas et Volcans de l'Université Clermont Auvergne, dans le but de déterminer un lien entre les lieux de collecte et les formes des particules. Après avoir montré la dépendance entre ces paramètres, nous proposons, grâce une méthode de classification, un regroupement des particules représentant différentes populations dépendantes de la distance entre les lieux de collecte et le cratère du volcan.

En octobre 2014, l'Agence De l'Environnement et de la Maîtrise de l'Energie (ADEME) en coopération avec l'entreprise ENEDIS (anciennement ERDF pour Électricité Réseau Distribution France) a démarré un projet de recherche dénommé "smart-grid SOLidarité-ENergie-iNovation" (SOLENN) avec comme objectifs l'étude de la maîtrise de la consommation électrique par un accompagnement des foyers et la sécurisation de l'approvisionnement électrique entre autres. Cette thèse s'inscrit dans le cadre des objectifs susnommés. Le projet SOLENN est piloté par l'ADEME et s'est déroulé sur la commune de Lorient. Le projet a pour but de mettre en œuvre une pédagogie pour sensibiliser les foyers aux économies d'énergie. Dans ce contexte, nous abordons une méthode d'estimation des quantiles extrêmes et des probabilités d'événements rares pour des données fonctionnelles non-paramétriques qui fait l'objet d'un package R. Nous proposons ensuite une extension du fameux modèle de Cox à hasards proportionnels et permet l'estimation des probabilités d'événements rares et des quantiles extrêmes. Enfin, nous donnons l'application de certains modèles statistique développés dans ce document sur les données de consommation électrique et qui se sont avérés utiles pour le projet SOLENN. Une première application est en liaison avec le programme d'écrêtement mené par ENEDIS afin de sécuriser le fonctionnement du réseau électrique. Une deuxième application est la mise en place du modèle linéaire pour étudier l'effet de plusieurs visites individuelles sur la consommation électrique.

Dans cet article, nous étudions une approche de test semi-paramétrique pour déterminer si l'hypothèse gaussienne faite par McLachlan et al. (2006) sur la composante inconnue de leur modèle de mélange de type fausse découverte était correcte a posteriori ou non. Basée sur une estimation semi-paramétrique des paramètres Eu-clidiens du modèle (sans hypothèse gaussienne), notre méthode compare par paire les coefficients d'Hermite du modèle estimés directement à partir des données avec ceux obtenus en insérant les paramètres estimés dans la version gaussienne du modèle de mélange de type fausse découverte. Ces comparaisons sont incorporées dans une statistique de type somme de carrés dont l'ordre est contrôlé par une règle de pénalisation. Nous prouvons sous des conditions douces que notre statistique de test est asymptotiquement χ 2 (1) -distribuée et nous étudions son comportement sous différents types d'alternatives, y compris des alternatives non-paramétriques contiguës. Plusieurs études de niveau et de puissance sont menées numériquement sur des modèles proches de ceux considérés dans McLachlan et al. (2006) pour valider la pertinence de notre approche. Nous discutons également du manque de puissance de la version du maximum de vraisemblance de notre test dans le voisinage de certaines situations non identifiables et nous mettons en œuvre notre procédure de test sur les trois ensembles de données réelles de microarray analysés dans McLachlan et al.

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Cet article propose une approche alternative parcimonieuse pour modéliser la dynamique stochastique des taux de mortalité. Au lieu du cadre de décomposition factorielle couramment utilisé, nous envisageons de modéliser les améliorations de la mortalité en utilisant une spécification de champ aléatoire avec une structure causale donnée. Cette classe de modèles introduit des dépendances entre cohortes adjacentes afin de capturer, entre autres, les effets de cohorte et les corrélations entre générations. Elle décrit également l'hétéroscédasticité conditionnelle de la mortalité. Le modèle proposé est une généralisation des modèles AR-ARCH maintenant largement utilisés pour les processus aléatoires. Pour cette classe de modèles, nous proposons une procédure d'estimation des paramètres. Formellement, nous utilisons l'estimateur de quasi-maximum de vraisemblance (QMLE) et nous montrons sa cohérence statistique et la normalité asymptotique des paramètres estimés. Le cadre étant général, nous étudions et illustrons une variante simple, appelée modèle de mémoire à trois niveaux, afin de bien comprendre et d'évaluer l'efficacité de l'approche pour modéliser la dynamique de la mortalité.

L'ensemble des écosystèmes marins repose sur le phytoplancton pour convertir le carbone atmosphérique en matière organique par le processus de photosynthèse. Deux approches sont présentées pour mesurer la productivité du phytoplancton en tenant compte de l'évolution temporelle de la taille des cellules. Elles traduisent, par essence, l'assimilation progressive du carbone inorganique au cours du cycle de vie d'une cellule et sa réallocation d'une génération à l'autre au moment de la division cellulaire. Dans le milieu naturel, ce flux de carbone dépend des communautés phytoplanctoniques et de leurs sensibilités. L'observation du phytoplancton dans un milieu perturbé à faible échelle de temps et/ou d'espace est essentielle pour anticiper le changement climatique. La Méditerranée en particulier est amenée à modifier rapidement son climat et les populations qu'elle abrite. En mer Méditerranée comme dans l'océan global, les campagnes de mesures sont à la base des scénarios qui traduisent l'impact de l'environnement sur le fonctionnement et la capacité du phytoplancton à tamponner les émissions de gaz issues de l'activité humaine.

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Une méthode numérique d'approximation des probabilités de ruine est proposée dans le cadre d'un modèle de ruine de Poisson composé. La fonction de densité défectueuse associée à la probabilité de ruine est projetée dans un système polynomial orthogonal. Ces polynômes sont orthogonaux par rapport à une mesure de probabilité qui appartient à la famille exponentielle naturelle avec fonction de variance quadratique (NEF-QVF). Cette méthode est pratique à quatre égards au moins. Premièrement, elle conduit à une expression analytique simple de la probabilité de ruine ultime. Deuxièmement, sa mise en œuvre ne nécessite pas de grandes compétences informatiques. Troisièmement, notre méthode d'approximation ne nécessite pas d'étape préliminaire de discrétisation de la distribution des tailles de sinistres. Enfin, les coefficients de notre formule ne dépendent pas des réserves initiales.

Ce travail de thèse porte sur différentes caractérisations des modèles multivariés de stables-Tweedie multiples dans le cadre des familles exponentielles naturelles sous la propriété de "steepness". Ces modèles parus en 2014 dans la littérature ont été d’abord introduits et décrits sous une forme restreinte des stables-Tweedie normaux avant les extensions aux cas multiples. Ils sont composés d’un mélange d’une loi unidimensionnelle stable-Tweedie de variable réelle positive fixée, et des lois stables-Tweedie de variables réelles indépendantes conditionnées par la première fixée, de même variance égale à la valeur de la variable fixée. Les modèles stables-Tweedie normaux correspondants sont ceux du mélange d’une loi unidimensionnelle stable-Tweedie positive fixé et les autres toutes gaussiennes indépendantes. A travers des cas particuliers tels que normal, Poisson, gamma, inverse gaussienne, les modèles stables-Tweedie multiples sont très fréquents dans les études de statistique et probabilités appliquées. D’abord, nous avons caractérisé les modèles stables-Tweedie normaux à travers leurs fonctions variances ou matrices de covariance exprimées en fonction de leurs vecteurs moyens. La nature des polynômes associés à ces modèles est déduite selon les valeurs de la puissance variance à l’aide des propriétés de quasi orthogonalité, des systèmes de Lévy-Sheffer, et des relations de récurrence polynomiale. Ensuite, ces premiers résultats nous ont permis de caractériser à l’aide de la fonction variance la plus grande classe des stables-Tweedie multiples. Ce qui a conduit à une nouvelle classification laquelle rend la famille beaucoup plus compréhensible. Enfin, une extension de caractérisation des stables-Tweedie normaux par fonction variance généralisée ou déterminant de la fonction variance a été établie via leur propriété d’indéfinie divisibilité et en passant par les équations de Monge-Ampère correspondantes. Exprimées sous la forme de produit des composantes du vecteur moyen aux puissances multiples, la caractérisationde tous les modèles multivariés stables-Tweedie multiples par fonction variance généralisée reste un problème ouvert.

Il est fréquent que les observations proviennent d'une variable aléatoire modifiée par une transformation inconnue. Ce problème est considéré dans un contexte à deux échantillons lorsque deux variables aléatoires sont perturbées par deux transformations inconnues. Nous proposons un test pour l'égalité de ces transformations. Deux cas sont considérés : premièrement, les deux variables aléatoires ont des distributions connues. Deuxièmement, elles ont des distributions inconnues mais elles sont observées avant les transformations. Nous proposons des statistiques de test non paramétriques basées sur les fonctions de distribution cumulative empirique. Dans le premier cas, la distribution asymptotique de la statistique de test est la distribution normale standard. Dans le second cas, on montre que la distribution asymptotique est une convolution de distributions exponentielles. La convergence sous des alternatives contiguës est étudiée. Des études Monte Carlo sont réalisées pour analyser le niveau et la puissance du test. Une illustration est présentée à l'aide d'un ensemble de données réelles.

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Une méthode numérique pour calculer des distributions de probabilité à deux variables à partir de leurs transformées de Laplace est présentée. La méthode consiste en une projection orthogonale de la fonction de densité de probabilité par rapport à une mesure de probabilité qui appartient à une famille exponentielle naturelle avec fonction de variance quadratique (NEF-QVF). Un lien particulier avec les probabilités de Lancaster est mis en évidence. La procédure permet un calcul rapide et précis des probabilités d'intérêt et ne nécessite pas de fortes compétences en codage. Des illustrations numériques et des comparaisons avec d'autres méthodes sont fournies. Ce travail est motivé par des applications actuarielles. Nous visons à récupérer la distribution conjointe de deux montants de sinistres agrégés associés à deux portefeuilles de polices d'assurance qui sont étroitement liés, et à calculer les fonctions de survie pour les pertes de réassurance en présence de deux traités de réassurance non proportionnels.

Résumé Dans cet article, nous considérons deux mélanges non paramétriques de familles exponentielles naturelles quadratiques avec des densités de mélange inconnues. Nous proposons une statistique pour tester l'égalité de ces densités de mélange lorsque les deux familles exponentielles naturelles sont connues. Le test est basé sur la caractérisation des moments des distributions. Le nombre de moments est retenu automatiquement par une technique basée sur les données. Quelques exemples et simulations de mise en œuvre de la procédure sont fournis.

Cette thèse a pour objet d'étude les méthodes numériques d'approximation de la densité de probabilité associée à des variables aléatoires admettant des distributions composées. Ces variables aléatoires sont couramment utilisées en actuariat pour modéliser le risque supporté par un portefeuille de contrats. En théorie de la ruine, la probabilité de ruine ultime dans le modèle de Poisson composé est égale à la fonction de survie d'une distribution géométrique composée. La méthode numérique proposée consiste en une projection orthogonale de la densité sur une base de polynômes orthogonaux. Ces polynômes sont orthogonaux par rapport à une mesure de probabilité de référence appartenant aux Familles Exponentielles Naturelles Quadratiques. La méthode d'approximation polynomiale est comparée à d'autres méthodes d'approximation de la densité basées sur les moments et la transformée de Laplace de la distribution. L'extension de la méthode en dimension supérieure à $1$ est présentée, ainsi que l'obtention d'un estimateur de la densité à partir de la formule d'approximation. Cette thèse comprend aussi la description d'une méthode d'agrégation adaptée aux portefeuilles de contrats d'assurance vie de type épargne individuelle. La procédure d'agrégation conduit à la construction de model points pour permettre l'évaluation des provisions best estimate dans des temps raisonnables et conformément à la directive européenne Solvabilité II.

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L'échantillonneur équi-énergétique (EES) introduit par Kou et al [2006] est basé sur une population de chaînes qui sont mises à jour par des déplacements locaux et des déplacements globaux, également appelés sauts équi-énergétiques. L'espace d'état est partitionné en anneaux d'énergie, et l'état actuel d'une chaîne peut sauter à un état passé d'une chaîne adjacente qui a un niveau d'énergie proche de son niveau. Cet algorithme a été développé pour faciliter les déplacements globaux entre différentes chaînes, ce qui permet une bonne exploration de l'espace d'état par la chaîne cible. Cette méthode semble être plus efficace que l'algorithme classique de tempérage parallèle (PT). Cependant, elle est difficile à utiliser en combinaison avec un échantillonneur de Gibbs et nécessite un stockage accru. Dans cet article, nous proposons une adaptation de cette EES qui combine le PT avec le principe de permutation entre les chaînes ayant les mêmes niveaux d'énergie. Cette adaptation, que nous appellerons Parallel Tempering with Equi-Energy Moves (PTEEM), conserve l'idée originale de la méthode EES tout en assurant de bonnes propriétés théoriques, et une mise en œuvre pratique même si elle est combinée avec un échantillonneur de Gibbs. Les performances de l'algorithme PTEEM sont comparées à celles de l'EES et des algorithmes PT standards dans le contexte des modèles de mélange, et dans un problème d'identification de motifs de liaison régulateurs de gènes.

Les méthodes de calcul bayésien approximatif (ABC) (ou méthodes sans vraisemblance) sont apparues au cours des quinze dernières années comme des méthodes utiles pour effectuer des analyses bayésiennes lorsque la vraisemblance est irréalisable sur le plan analytique ou informatique. Plusieurs méthodes ABC ont été proposées : Les méthodes MCMC (Monte Carlo Markov Chains) ont été développées par Marjoramet al. (2003) et par Bortotet al. (2007) par exemple, et des méthodes séquentielles ont été proposées entre autres par Sissonet al.

Cet article considère deux variables aléatoires telles qu'il existe une transformation monotone entre leurs fonctions de distribution. Le problème est de tester s'il y a un changement dans cette transformation lorsque ces deux variables sont observées dans K conditions différentes. L'approche considérée est un test CUSUM basé sur la somme cumulative des résidus et une statistique de test est proposée pour tester l'égalité des K transformations. La distribution asymptotique de la statistique de test est dérivée et ses propriétés d'échantillon fini sont examinées par simulation. A titre d'illustration, une analyse d'un ensemble de données réelles concernant l'impact de la crise financière de septembre 2008 est présentée.

Dans cet article, nous considérons le problème de tester si deux échantillons de données contaminées proviennent de la même distribution. On suppose que les contaminations sont des bruits additifs dont les moments sont connus ou estimés. Cette situation peut également être considérée comme deux signaux observés avant et après les perturbations. Le problème est alors de tester l'égalité des deux perturbations. La statistique de test est basée sur les moments polynomiaux de la différence entre les observations et les bruits. Le test est très simple et permet de comparer deux échantillons indépendants ainsi que deux échantillons contaminés appariés. Une sélection basée sur les données est proposée pour choisir automatiquement le nombre de polynômes impliqués. Nous présentons une étude de simulation afin d'étudier la puissance du test proposé dans des cas discrets et continus. Des exemples de données réelles sont présentés pour illustrer la méthode. Copyright Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013.

La question du rachat préoccupe les assureurs depuis longtemps notamment dans le contexte des contrats d'épargne en Assurance-Vie, pour lesquels des sommes colossales sont en jeu. L'émergence de la directive européenne Solvabilité II, qui préconise le développement de modèles internes (dont un module entier est dédié à la gestion des risques de comportement de rachat), vient renforcer la nécessité d'approfondir la connaissance et la compréhension de ce risque. C'est à ce titre que nous abordons dans cette thèse les problématiques de segmentation et de modélisation des rachats, avec pour objectif de mieux connaître et prendre en compte l'ensemble des facteurs-clefs qui jouent sur les décisions des assurés. L'hétérogénéité des comportements et leur corrélation ainsi que l'environnement auquel sont soumis les assurés sont autant de difficultés à traiter de manière spécifique afin d'effectuer des prévisions. Nous développons ainsi une méthodologie qui aboutit à des résultats très encourageants . et qui a l'avantage d'être réplicable en l'adaptant aux spécificités de différentes lignes de produits. A travers cette modélisation, la sélection de modèle apparaît comme un point central. Nous le traitons en établissant les propriétés de convergence forte d'un nouvel estimateur, ainsi que la consistance d'un nouveau critère de sélection dans le cadre de mélanges de modèles linéaires généralisés.

Ce travail propose la generalisation a plusieurs dimensions de differentes caracterisations de la classe des familles exponentielles naturelles quadratiques reelles, faisant intervenir la theorie des polynomes orthogonaux. Dans une premiere partie, redigee en anglais et soumise pour publication, nous developpons les trois caracterisations suivantes: i) de meixner (1934) portant sur les polynomes orthogonaux de fonction generatrice exponentielle, ii) de feinsilver (1986) ou les polynomes sont obtenus par derivations des densites de probabilites, iii) de shanbhag (1972) ou apparait les matrices de bhattacharrya. En introduisant une construction originale de polynomes orthogonaux, nous obtenons une caracterisation des familles exponentielles naturelles quadratiques et quadratiques simples a plusieurs dimensions. De plus, nous determinons la classe des polynomes orthogonaux a plusieurs variables dont la fonction generatrice est exponentielle. La deuxieme partie s'inspire d'un article de feinsilver (1991) qui met en evidence un lien entre les algebres de lie et la theorie des probabilites. Nous appuyant sur ce travail, nous montrons alors l'existence d'une bijection entre la classe des familles exponentielles naturelles quadratiques simples et trois types d'algebres de lie. Ainsi, toute probabilite d'une famille exponentielle naturelle permet de definir des operateurs d'une des trois algebres de lie en question grace aux equations de recurrence des polynomes orthogonaux consideres en premiere partie.