Contribution a l'etude mathematiques de l'arbitrage et des imperfections de marche.

Résumé Cette these est constituee de cinq parties et s'interesse tout particulierement a la caracterisation de l'hypothese de non-arbitrage dans les marches imparfaits. Celle-ci impose que l'on ne puisse pas gagner d'argent a partir de rien. La premiere partie introduit la problematique qui nous concerne et la positionne par rapport a la litterature. Dans la seconde partie, nous etablissons un theoreme de non-arbitrage dans un cadre general pour les modeles finis et discrets. En l'appliquant aux differents cas de marches imparfaits, nous retrouvons les resultats de la litterature et de nouvelles proprietes sur les taxes. Pour se faire, nous nous servons d'une version adaptee du lemme de farkas, de resultats sur l'arret optimal, ainsi que de proprietes des martingales. Les deux parties suivantes sont consacrees a l'etude d'un modele tel que chaque flux d'investissement puisse etre initie a toute date et dans tout etat du monde dans les memes conditions (stationnante). Le modele associe est alors necessairement a horizon infini. Dans la troisieme partie, nous nous placons dans un cadre deterministe. Grace a l'utilisation de mesures de radon, nous etudions a la fois le cas des dates discretes et continues. Nous demontrons un resultat de non-arbitrage. Pour cela, nous utilisons les proprietes des mesures de radon. Ensuite, pour pouvoir 'separer' (c. F. Bourbaki e. V. T) l'orthant positif et l'ensemble des paiements, nous montrons que ce dernier est localement compact en tant que cone a semelle compact. Nous utilisons egalement des proprietes de la transforme de laplace. Dans la quatriemepartie, nous demontrons un resultat de nonarbitrage dans un cadre stochastique mais discret, ceci grace a notre lemme de farkas ainsi qu'au theoreme de brouwer. Puis, nous l'appliquons au cas d'un marche financier avec couts de transaction, qui s'avere etre stationnaire. Nous obtenons alors des resultats plus forts que ceux deja existants dans la litterature. Dans la cinquieme et derniere partie,nous donnons une caracterisation de l'absence d'arbitrage lorsque les strategies d'echange sont contraintes a appartenir a un ensemble convexe. A cette fin. Nous montrons un resultat de fermeture puis nous utilisons un theoreme de separation du a yan (1980). Enfin, nous donnons une representation duale du cout de sur-replication pour un actif contingent.