Contribution à l'estimation asymptotique de l'erreur globale des méthodes d'intégration numériques à un pas : application à la simulation des réseaux électriques.

Résumé Ce travail provient d'un problème industriel de validation des solutions numériques d'équations différentielles ordinaires modélisant des réseaux électriques. L'approche choisie est celle de l'estimation asymptotique de l'erreur globale. Quatre techniques sont étudiées : l'estimateur de Richardson (RS), ceux de Zadunaisky (ZD), l'intégration de l'équation variationnelle (EV) et le calcul d'une correction globale (SC). L'ordre relatif de convergence de ces techniques est défini par la vitesse de convergence du rapport entre l'estimateur et l'erreur quand la discrétisation est raffinée. Quand celui-ci est strictement positif, l'estimateur est dit valide. Nous apportons des précisions sur l'ordre de convergence de l'estimateur SC en fonction de l'ordre de la méthode d'intégration qu'il utilise. Aux variantes de ZD, nous en ajoutons une autonome utilisant l'Équation Modifiée. Pour une intégration à pas variable, il restait à savoir si ZD et SC conservaient leur ordre de convergence par rapport à la tolérance utilisateur. En restreignant le type de contrôle de l'erreur locale, nous pouvons répondre par l'affirmative. Nous montrons de plus que certaines méthodes de Runge-Kutta nécessitent des hypothèses plus faibles pour assurer la validité de cet estimateur. Des tests numériques complètent cette analyse. Ils mettent en évidence un effet néfaste de l'erreur arithmétique sur certaines de ces techniques d'estimation. Quand l'erreur globale atteint sa valeur minimum, contrairement à RS, les estimateurs SC et ZD la mésestiment. Enfin, est proposé un intégrateur évitant la spécification a priori d'un chemin d'intégration pour des équations à temps complexe. Fondé sur un contrôle de l'erreur locale, il permet de contourner automatiquement les singularités isolées.