Approche statistique de la décomposition spectrale de l'opérateur d'espérance conditionnelle : applications aux processus markoviens.

Résumé Cette thèse comporte cinq chapitres, et s'intéresse à l'analyse statistique de la décomposition spectrale de l'opérateur d'espérance conditionnelle. Le premier chapitre introduit la notion de processus de Markov, puis leur construction à partir du semi-groupe des opérateurs espérance conditionnelle et du générateur infinitésimal associé. Dans le second chapitre, nous considérons le problème de l'estimation non paramétrique des fonctions de tendance et de volatilité d'un processus de diffusion scalaire, à partir de données observées en temps discret. Nous introduisons la notion de processus tronqué, puis étudions ses propriétés dynamiques. Les fonctions appartenant au domaine du générateur du processus tronqué vérifient des contraintes explicites qu'il est alors possible d'utiliser dans la phase d'estimation. Le troisième chapitre s'intéresse à l'extension au cas des processus non réversibles des méthodes spectrales employées dans le cadre des diffusions scalaires. Cette extension constitue une généralisation de l'analyse canonique linéaire usuelle. Nous considérons une analyse canonique non linéaire basée sur un estimateur à noyau de la densité, ce qui permet d'obtenir la convergence et la normalité asymptotique des estimateurs des corrélations canoniques et des variables canoniques. Le quatrième chapitre s'intéresse à la dynamique intrajournalière des prix de transaction sur les marchés financiers fonctionnant avec appariement en continu. Les prix de transaction présentent deux caractéristiques majeures : ils sont discrets en niveau et n'existent qu'à des dates de transaction aléatoires. Nous proposons une modélisation tenant compte de ces deux caractéristiques, puis nous la comparons à un modèle structurel dans lequel il existe une valeur sous-jacente de l'actif en temps continu. Le cinquième chapitre propose une application de la décomposition spectrale de l'opérateur espérance conditionnelle au calcul approche du prix d'un actif dérivé.