Processus aléatoire auto-similaires : applications en turbulence et en finance.

Résumé Dans le cadre des processus aléatoires auto-similaires, nous proposons un modèle de processus multifractal stationnaire à invariance d'échelle continue. Après avoir introduit la notion de fractale appliquée aux mesures, fonctions et processus aléatoires, nous rappelons les propriétés du principal paradigme des processus multifractals : les cascades multiplica-tives construites sur des bases d'ondelettes orthogonales. La volonté de généraliser ces modèles nous conduit à la construction d'un processus multifractal fondé sur une philoso-phie radicalement différente de celle des cascades, sous la forme d'une marche aléatoire multifractale (le processus MRW). Le principal message qui ressort de cette étude est la caractérisation complète de la multifracalité du processus par la structure de corrélation à longue portée de l'amplitude de ses variations. Dans un deuxième temps, nous analysons des signaux expérimentaux de vitesse en-registrés dans des écoulements hydrodynamiques de turbulence pleinement développée. Des signaux Eulériens issus de différentes configurations expérimentales sont analysés de manière exhaustive et, pour la première fois, nous présentons une étude de signaux de vitesse Lagrangiens (enregistrés par Nicolas Mordant et Jean-François Pinton à l'ENS Lyon). La bonne modélisation de la turbulence Lagrangienne par le processus MRW nous conduit à proposer une piste de recherche originale qui pourrait fournir une explication microscopique au phénomène d'intermittence. Enfin, dans une troisième partie, nous analysons des signaux financiers au regard de nos résultats théoriques. Le modèle MRW semble de nouveau pertinent dans ce cadre et nous nous attachons à proposer deux applications pratiques et directes de nos observations l'optimisation de la gestion dynamique de portefeuille et la prédiction de volatilité.