Processus matriciels : simulation et mod?lisation de la d?pendance en finance.

Résumé La premi?re partie de cette th?se est consacr?e ? la simulation des ?quations diff?rentielles stochastiques d?finies sur le c?ne des matrices sym?triques positives. Nous pr?sentons de nouveaux sch?mas de discr?tisation d'ordre ?lev? pour ce type d'?quations diff?rentielles stochastiques, et ?tudions leur convergence faible. Nous nous int?ressons tout particuli?rement au processus de Wishart, souvent utilis? en mod?lisation financi?re. Pour ce processus nous proposons ? la fois un sch?ma exact en loi et des discr?tisations d'ordre ?lev?. A ce jour, cette m?thode est la seule qui soit utilisable quels que soient les param?tres intervenant dans la d?finition de ces mod?les. Nous montrons, par ailleurs, comment on peut r?duire la complexit? algorithmique de ces m?thodes et nous v?rifions les r?sultats th?oriques sur des impl?mentations num?riques. Dans la deuxi?me partie, nous nous int?ressons ? des processus ? valeurs dans l'espace des matrices de corr?lation. Nous proposons une nouvelle classe d'?quations diff?rentielles stochastiques d?finies dans cet espace. Ce mod?le peut ?tre consid?r? comme une extension du mod?le Wright-Fisher (ou processus Jacobi) ?l'espace des matrice de corr?lation. Nous ?tudions l'existence faible et forte des solutions. Puis, nous explicitons les liens avec les processus de Wishart et les processus de Wright-Fisher multi-all?les. Nous d?montrons le caract?re ergodique du mod?le et donnons des repr?sentations de Girsanov susceptibles d'?tre employ?es en finance. En vue d'une utilisation pratique, nous explicitons deux sch?mas de discr?tisation d'ordre ?lev?. Cette partie se conclut par des r?sultats num?riques illustrant le comportement de la convergence de ces sch?mas. La derni?re partie de cette th?se est consacr?e ? l'utilisation des ces processus pour des questions de mod?lisation multi-dimensionnelle en finance. Une question importante de mod?lisation, aujourd'hui encore difficile ? traiter, est l'identification d'un type de mod?le permettant de calibrer ? la fois le march? des options sur un indice et sur ses composants. Nous proposons, ici, deux types de mod?les : l'un ? corr?lation locale et l'autre ? corr?lation stochastique. Dans ces deux cas, nous expliquons quelle proc?dure on doit adopter pour obtenir une bonne calibration des donn?es de march?.