Deux études en gestion du risque : assurance de portefeuille avec contrainte en risque et couverture quadratique dans les modèles à sauts.

Résumé Dans la première partie, je m'intéresse à un problème d'assurance de portefeuille pour un manager d'un fond d'investissement, qui veut structurer un produit financier pour les investisseurs avec une garantie en capital. Si la valeur du produit est au dessous d'un seuil fixé, l'investisseur sera remboursé à la hauteur de ce seuil par l'assureur du fond. En échange, l'assureur impose une contrainte sur le risque que le manager peut tolérer, mesuré avec une mesure de risque. Je donne la solution de ce problème et je prouve que le choix de la mesure de risque est un point crucial pour l'existence d'un portefeuille optimal. J'applique mes résultats pour la mesure de risque entropique, spectrale et la G-divergence. Ensuite, je m'intéresse au problème de couverture quadratique. Le marché est décrit par un processus de Markov tridimensionnel avec sauts. La première variable modélise l'instrument de couverture échangeable sur le marché, la deuxième, un actif financier qui perturbe la dynamique de l'instrument de couverture et qui n'est pas échangeable, comme un facteur de volatilité . la troisième représente une source de risque qui affecte l'option à couvrir et qui aussi n'est pas échangeable. Je prouve que la fonction valeur du problème est caractérisée par l'unique solution d'un système de trois équations integro-différentielles, dont l'une est semilinéaire et ne dépend pas de l'option à couvrir, et les deux autres sont linéaires. Cela me permet de caractériser la stratégie optimale. Ce résultat est démontré si le processus est non dégénéré (composante Brownienne strictement elliptique) et s'il est à sauts purs. Je conclus avec une application dans le marché de l'électricité.