TANKOV Peter

Cette thèse vise à fournir des outils théoriques pour soutenir le développement et la gestion des énergies renouvelables intermittentes sur les marchés court terme de l'électricité.Dans la première partie, nous développons un modèle d'équilibre exploitable pour la formation des prix sur les marchés infrajournaliers de l'électricité. Pour cela, nous proposons un jeu non coopératif entre plusieurs producteurs interagissant sur le marché et faisant face à une production renouvelable intermittente. En utilisant la théorie des jeux et celle du contrôle stochastique, nous dérivons des stratégies optimales explicites pour ces producteurs ainsi qu'un prix d'équilibre en forme fermée pour différentes structures d'information et caractéristiques des joueurs. Notre modèle permet de reproduire et d'expliquer les principaux faits stylisés du marché intraday tels que la dépendance temporelle spécifique de la volatilité et la corrélation entre le prix et les prévisions de production renouvelable.Dans la deuxième partie, nous étudions des prévisions probabilistes dynamiques sous la forme de processus de diffusion. Nous proposons plusieurs modèles d'équations différentielles stochastiques pour capturer l'évolution dynamique de l'incertitude associée à une prévision, nous dérivons les densités prédictives associées et nous calibrons le modèle sur des données météorologiques réelles. Nous l'appliquons ensuite au problème d'un producteur éolien recevant des mises à jour séquentielles des prévisions probabilistes de la vitesse du vent, utilisées pour prédire sa production, et prendre des décisions d'achat ou de vente sur le marché. Nous montrons dans quelle mesure cette méthode peut être avantageuse comparée à l'utilisation de prévisions ponctuelles dans les processus décisionnels.Enfin, dans la dernière partie, nous proposons d'étudier les propriétésdes réseaux de neurones peu profonds agrégés. Nous explorons le cadre PAC-Bayesien comme alternative à l'approche classique de minimisation du risque empirique. Nous nous concentrons sur les priors Gaussiens et dérivons des bornes de risque non asymptotiques pour les réseaux de neurones agrégés. Ces bornes donnent des vitesses de convergence minimax pour l'estimation dans des espaces de Sobolev.Cette analyse fournit également une base théorique pour le réglage des paramètres et offre de nouvelles perspectives pour des applicationsdes réseaux de neurones agrégés à des problèmes pratiques de haute dimension, de plus en plus présents dans les processus de décision liés à l'énergie et impliquant des moyens de production renouvelable ou du stockage.

Nous développons un modèle pour la dynamique de l'industrie sur le marché de l'électricité, basé sur des jeux de champ moyen d'arrêt optimal. Dans notre modèle, il y a deux types d'agents : les producteurs renouvelables et les producteurs conventionnels. Les producteurs de renouvelables choisissent le moment optimal pour construire de nouvelles usines de renouvelables, et les producteurs conventionnels choisissent le moment optimal pour sortir du marché. Les agents interagissent par le biais du prix du marché, déterminé en faisant correspondre l'offre globale des deux types de producteurs avec une fonction de demande exogène. En utilisant une formulation relaxée des jeux de champ moyen à arrêt optimal, nous prouvons l'existence d'un équilibre de Nash et l'unicité du processus de prix d'équilibre. Un exemple empirique, inspiré du marché de l'électricité britannique, est présenté. L'exemple montre que si les subventions aux énergies renouvelables conduisent clairement à une plus grande pénétration des énergies renouvelables, cela peut entraîner un coût pour le consommateur en termes de prix de pointe plus élevés. Afin d'éviter une hausse des prix, les subventions aux énergies renouvelables doivent être associées à des mécanismes garantissant le maintien d'une capacité conventionnelle suffisante pour répondre à la demande d'énergie pendant les périodes de pointe.

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De récentes analyses empiriques ont révélé l'existence de l'effet Zumbach. Cette découverte a conduit à l'élaboration des processus de Hawkes quadratique, adapté pour reproduire cet effet. Ce modèle ne faisant pas de lien avec le processus de formation de prix, nous l'avons étendu au carnet d'ordres avec un processus de Hawkes quadratique généralisé (GQ-Hawkes). En utilisant des données de marchés, nous avons montré qu'il existe un effet de type Zumbach qui diminue la liquidité future. Microfondant l'effet Zumbach, il est responsable d'une potentielle déstabilisation des marchés financiers. De plus, la calibration exacte d'un processus GQ-Hawkes nous indique que les marchés sont aux bords de la criticité. Ces preuves empiriques nous ont donc incité à faire une analyse d'un modèle de carnet d'ordres construit avec un couplage de type Zumbach. Nous avons donc introduit le modèle de Santa Fe quadratique et prouvé numériquement qu'il existe une transition de phase entre un marché stable et un marché instable sujet à des crises de liquidité. Grâce à une analyse de taille finie nous avons pu déterminer les exposants critiques de cette transition, appartenant à une nouvelle classe d'universalité. N'étant pas analytiquement soluble, cela nous a conduit à introduire des modèles plus simples pour décrire les crises de liquidités. En mettant de côté la microstructure du carnet d'ordres, nous obtenons une classe de modèles de spread où nous avons calculé les paramètres critiques de leurs transitions. Même si ces exposants ne sont pas ceux de la transition du Santa Fe quadratique, ces modèles ouvrent de nouveaux horizons pour explorer la dynamique de spread. L'un d'entre eux possède un couplage non-linéaire faisant apparaître un état métastable. Ce scénario alternatif élégant n'a pas besoin de paramètres critiques pour obtenir un marché instable, même si les données empiriques ne sont pas en sa faveur. Pour finir, nous avons regardé la dynamique du carnet d'ordres sous un autre angle: celui de la réaction-diffusion. Nous avons modélisé une liquidité qui se révèle dans le carnet d'ordres avec une certaine fréquence. La résolution de ce modèle à l'équilibre révèle qu'il existe une condition de stabilité sur les paramètres au-delà de laquelle le carnet d'ordres se vide totalement, correspondant à une crise de liquidité. En le calibrant sur des données de marchés nous avons pu analyser qualitativement la distance à cette région instable.

Dans cette thèse, nous nous intéressons principalement à trois thèmes de recherche, relativement indépendants, mais néanmoins connexes au travers du fil conducteur des interactions et incitations, comme souligné dans l'introduction constituant le premier chapitre.Dans la première partie, nous présentons des extensions de la théorie des contrats, permettant notamment de considérer une multitude de joueurs dans des modèles principal-agent, avec contrôle du drift et de la volatilité, en présence d'aléa moral. En particulier, le chapitre 2 présente un problème d'incitations optimales en temps continu au sein d'une hiérarchie, inspiré du modèle à une période de Sung (2015) et éclairant à deux égards : d'une part, il présente un cadre où le contrôle de la volatilité intervient de manière parfaitement naturelle, et, d'autre part, il souligne l'importance de considérer des modèles en temps continu. En ce sens, cet exemple motive l'étude complète et générale des modèles hiérarchiques effectuée dans le troisième chapitre, qui va de pair avec la théorie récente des équations différentielles stochastiques du second ordre (2EDSR). Enfin, dans le chapitre 4, nous proposons une extension du modèle principal-agent développé par Aïd, Possamaï et Touzi (2019) à un continuum d'agents, dont les performances sont en particulier impactées par un aléa commun. Ces études nous guident notamment vers une généralisation des contrats dits révélateurs, proposés initialement par Cvitanić, Possamaï et Touzi (2018) dans un modèle à un seul agent.Dans la deuxième partie, nous présentons deux applications des problèmes principal-agent au domaine de l'énergie. La première, développée dans le chapitre 5, utilise le formalisme et les résultats théoriques introduits dans le chapitre précédent pour améliorer les programmes de réponse à la demande en électricité, déjà considérés par Aïd, Possamaï et Touzi (2019). En effet, en prenant en compte l'infinité de consommateurs que doit fournir en électricité un producteur, il est possible d'utiliser cette information supplémentaire pour construire les incitations optimales, afin notamment de mieux gérer le risque résiduel impliqué par les aléas climatiques. Dans un second temps, le chapitre 6 propose, à travers un modèle principal-agent avec sélection adverse, une assurance susceptible de prévenir certaines formes de précarité, en particulier la précarité énergétique.Enfin, nous terminons cette thèse par l'étude dans la dernière partie d'un second domaine d'application, celui de l'épidémiologie, et plus précisément le contrôle de la diffusion d'une maladie contagieuse au sein d'une population. Nous considérons en premier lieu dans le chapitre 7 le point de vue des individus, à travers un jeu à champs moyen : chaque individu peut choisir son taux d'interaction avec les autres, en conciliant d'un côté son besoin d'interactions sociales et de l'autre sa peur d'être à son tour contaminé, et de contribuer à la diffusion plus large de la maladie. Nous prouvons l'existence d'un équilibre de Nash entre les individus, et l'exhibons numériquement. Dans le dernier chapitre, nous prenons le point de vue du gouvernement, souhaitant inciter la population, représentée maintenant dans son ensemble, à diminuer ses interactions de manière à contenir l'épidémie. Nous montrons que la mise en place de sanctions en cas de non-respect du confinement peut s'avérer efficace, mais que, pour une maîtrise totale de l'épidémie, il est nécessaire de développer une politique de dépistage consciencieuse, accompagnée d'un isolement scrupuleux des individus testés positifs.

Cette thèse est organisée en trois parties. Dans la première on examine les relations entre la dynamique microscopique et macroscopique du marché en se concentrant sur les propriétés de la volatilité. Dans la deuxième partie on s'intéresse au contrôle optimal stochastique de processus ponctuels. Finalement dans la troisième partie on étudie deux problématiques de market design.On commence cette thèse par l'étude des liens entre le principe d'absence d'opportunité d'arbitrage et l'irrégularité de la volatilité. A l'aide d'une méthode de changement d'échelle on montre que l'on peut effectivement connecter ces deux notions par l'analyse du market impact des métaordres. Plus précisément on modélise le flux des ordres marchés en utilisant des procesus de Hawkes linéaires. Puis on montre que le principe d'absence d'opportunité d'arbitrage ainsi que l'existence d'un market impact non trivial impliquent que la volatilité est rugueuse et plus précisément qu'elle suit un modèle rough Heston. On examine ensuite une classe de modèles microscopiques où le flux d'ordre est un processus de Hawkes quadratique. L'objectif est d'étendre le modèle rough Heston à des modèles continus permettant de reproduire l'effet Zumbach. Finalement on utilise un de ces modèles, le modèle rough Heston quadratique, pour la calibration jointe des nappes de volatilité du SPX et du VIX.Motivé par l'usage intensif de processus ponctuels dans la première partie, on s'intéresse dans la deuxième au contrôle stochastique de processus ponctuels. Notre objectif est de fournir des résultats théoriques en vue d'applications en finance. On commence par considérer le cas du contrôle de processus de Hawkes. On prouve l'existence d'une solution puis l'on propose une méthode permettant d'appliquer ce contrôle en pratique. On examine ensuite les limites d'échelles de problèmes de contrôles stochastiques dans le cadre de modèles de dynamique de population. Plus exactement on considère une suite de modèles de dynamique d'une population discrète qui converge vers un modèle pour une population continue. Pour chacun des modèles on considère un problème de contrôle. On prouve que la suite des contrôles optimaux associés aux modèles discrets converge vers le contrôle optimal associé au modèle continu. Ce résultat repose sur la continuité, par rapport à différents paramètres, de la solution d'une équation différentielle schostatique rétrograde.Dans la dernière partie on s'intéresse à deux problèmatiques de market design. On examine d'abord la question de l'organisation d'un marché liquide de produits dérivés. En se concentrant sur un marché d'options, on propose une méthode en deux étapes pouvant facilement être appliquée en pratique. La première étape consiste à choisir les options qui seront listées sur le marché. Pour cela on utilise un algorithme de quantification qui permet de sélectionner les options les plus demandées par les investisseurs. On propose ensuite une méthode d'incitation tarifaire visant à encourager les market makers à proposer des prix attractifs. On formalise ce problème comme un problème de type principal-agent que l'on résoud explicitement. Finalement, on cherche la durée optimale d'une enchère pour les marchés organisés en enchères séquentielles, le cas de la durée nulle correspondant à celui d'une double enchère continue. On utilise un modèle où les market takers sont en compétition et on considère que la durée optimale est celle correspondant au processus de découverte du prix le plus efficace. Après avoir prouvé l'existence d'un équilibre de Nash pour la compétition entre les market takers, on applique nos résultats sur des données de marchés. Pour la plupart des actifs, la durée optimale se trouve entre 2 et 10 minutes.

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Ces dernières années, les préoccupations environnementales ont entraîné une augmentation de l'utilisation des ressources renouvelables telles que l'énergie éolienne. Cependant, la pénétration élevée de l'énergie éolienne est un défi en raison de l'intermittence de cette ressource. Dans ce contexte, la prévision de l'énergie éolienne est devenue un enjeu majeur. En particulier, pour les utilisateurs finaux des prévisions d'énergie éolienne, une question critique mais souvent négligée est la valeur économique de la prévision. Dans ce travail, nous étudions la valeur économique de la prévision de 30 minutes à 3 heures à l'avance, également connue sous le nom de prévision immédiate. La prévision immédiate est principalement utilisée pour informer les décisions commerciales sur le marché intrajournalier. Deux sources d'incertitude affectant les revenus des parcs éoliens sont étudiées, à savoir les erreurs de prévision et les variations de prix. L'impact de ces incertitudes est évalué pour six parcs éoliens et plusieurs stratégies d'équilibrage en utilisant les données du marché. Les résultats sont comparés au cas de base sans prévision immédiate et au cas idéalisé de prévision immédiate parfaite. Les trois paramètres montrent des différences significatives tandis que l'impact du choix d'une stratégie d'équilibrage spécifique semble mineur.

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Nous développons un logiciel Python open-source intégrant les besoins de flexibilité des énergies renouvelables variables (ERV) dans le développement des mix énergétiques régionaux. Il fournit un outil flexible et extensible aux chercheurs/ingénieurs, et pour l'éducation/la sensibilisation. Il vise à évaluer et à optimiser les stratégies de déploiement énergétique avec des parts élevées d'ERV. à évaluer l'impact des nouvelles technologies et de la variabilité climatique. à réaliser des études de sensibilité. Plus précisément, afin de limiter la complexité de l'algorithme, nous évitons de résoudre un problème de minimisation des coûts du mix complet en prenant la moyenne et la variance du ratio production-demande d'énergies renouvelables comme approximations pour équilibrer les services. Ensuite, les observations des technologies ERV étant généralement trop courtes ou inexistantes, la demande et la production horaires sont estimées à partir de séries chronologiques climatiques et ajustées aux observations disponibles. Nous illustrons le potentiel d'e4clim par une étude de remise en service optimale du mix PV-éolien italien de 2015, en testant différentes sources et stratégies de données climatiques et en évaluant l'impact de la variabilité climatique et la robustesse des résultats.

Dans cette thèse, nous étudions plusieurs problèmes de mathématiques financières liés à la valorisation des produits dérivés. Par différentes approches asymptotiques, nous développons des méthodes pour calculer des approximations précises du prix de certains types d’options dans des cas où il n’existe pas de formule explicite.Dans le premier chapitre, nous nous intéressons à la valorisation des options dont le payoff dépend de la trajectoire du sous-jacent par méthodes de Monte-Carlo, lorsque le sous-jacent est modélisé par un processus affine à volatilité stochastique. Nous prouvons un principe de grandes déviations trajectoriel en temps long, que nous utilisons pour calculer, en utilisant le lemme de Varadhan, un changement de mesure asymptotiquement optimal, permettant de réduire significativement la variance de l’estimateur de Monte-Carlo des prix d’options.Le second chapitre considère la valorisation par méthodes de Monte-Carlo des options dépendant de plusieurs sous-jacents, telles que les options sur panier, dans le modèle à volatilité stochastique de Wishart, qui généralise le modèle Heston. En suivant la même approche que dans le précédent chapitre, nous prouvons que le processus vérifie un principe de grandes déviations en temps long, que nous utilisons pour réduire significativement la variance de l’estimateur de Monte-Carlo des prix d’options, à travers un changement de mesure asymptotiquement optimal. En parallèle, nous utilisons le principe de grandes déviations pour caractériser le comportement en temps long de la volatilité implicite Black-Scholes des options sur panier.Dans le troisième chapitre, nous étudions la valorisation des options sur variance réalisée, lorsque la volatilité spot est modélisée par un processus de diffusion à volatilité constante. Nous utilisons de récents résultats asymptotiques sur les densités des diffusions hypo-elliptiques pour calculer une expansion de la densité de la variance réalisée, que nous intégrons pour obtenir l’expansion du prix des options, puis de leur volatilité implicite Black-Scholes.Le dernier chapitre est consacré à la valorisation des dérivés de taux d’intérêt dans le modèle Lévy de marché Libor qui généralise le modèle de marché Libor classique (log-normal) par l’ajout de sauts. En écrivant le premier comme une perturbation du second et en utilisant la représentation de Feynman-Kac, nous calculons explicitement l’expansion asymptotique du prix des dérivés de taux, en particulier, des caplets et des swaptions.

Cette thèse a pour objectif la compréhension de plusieurs aspects du caractère rugueux de la volatilité observé de manière universelle sur les actifs financiers. Ceci est fait en six étapes. Dans une première partie, on explique cette propriété à partir des comportements typiques des agents sur le marché. Plus précisément, on construit un modèle de prix microscopique basé sur les processus de Hawkes reproduisant les faits stylisés importants de la microstructure des marchés. En étudiant le comportement du prix à long terme, on montre l’émergence d’une version rugueuse du modèle de Heston (appelé modèle rough Heston) avec effet de levier. En utilisant ce lien original entre les processus de Hawkes et les modèles de Heston, on calcule dans la deuxième partie de cette thèse la fonction caractéristique du log-prix du modèle rough Heston. Cette fonction caractéristique est donnée en terme d’une solution d’une équation de Riccati dans le cas du modèle de Heston classique. On montre la validité d’une formule similaire dans le cas du modèle rough Heston, où l’équation de Riccati est remplacée par sa version fractionnaire. Cette formule nous permet de surmonter les difficultés techniques dues au caractère non markovien du modèle afin de valoriser des produits dérivés. Dans la troisième partie, on aborde la question de la gestion des risques des produits dérivés dans le modèle rough Heston. On présente des stratégies de couverture utilisant comme instruments l’actif sous-jacent et la courbe variance forward. Ceci est fait en spécifiant la structure markovienne infini-dimensionnelle du modèle. Étant capable de valoriser et couvrir les produits dérivés dans le modèle rough Heston, nous confrontons ce modèle à la réalité des marchés financiers dans la quatrième partie. Plus précisément, on montre qu’il reproduit le comportement de la volatilité implicite et historique. On montre également qu’il génère l’effet Zumbach qui est une asymétrie par inversion du temps observée empiriquement sur les données financières. On étudie dans la cinquième partie le comportement limite de la volatilité implicite à la monnaie à faible maturité dans le cadre d’un modèle à volatilité stochastique général (incluant le modèle rough Bergomi), en appliquant un développement de la densité du prix de l’actif. Alors que l’approximation basée sur les processus de Hawkes a permis de traiter plusieurs questions relatives au modèle rough Heston, nous examinons dans la sixième partie une approximation markovienne s’appliquant sur une classe plus générale de modèles à volatilité rugueuse. En utilisant cette approximation dans le cas particulier du modèle rough Heston, on obtient une méthode numérique pour résoudre les équations de Riccati fractionnaires. Enfin, nous terminons cette thèse en étudiant un problème non lié à la littérature sur la volatilité rugueuse. Nous considérons le cas d’une plateforme cherchant le meilleur système de make-take fees pour attirer de la liquidité. En utilisant le cadre principal-agent, on décrit le meilleur contrat à proposer au market maker ainsi que les cotations optimales affichées par ce dernier. Nous montrons également que cette politique conduit à une meilleure liquidité et à une baisse des coûts de transaction pour les investisseurs.

L'augmentation de la part des énergies renouvelables intermittentes dans le mix énergétique génère des problématiques liées à la prévisibilité de la production d'électricité. Notamment,à l'échelle saisonnière, les gestionnaires du réseau de transport d'électricité sont contraints de projeter la disponibilité des moyens de production ainsi que de prévoir la demande. Cela permet de garantir l'approvisionnement pour le prochain hiver ou été. Néanmoins, les projections actuelles sont principalement basées sur des données historiques (climatologie) de températures (consommation), vents (production éolienne), ou encore de rayonnement solaire (production photovoltaïque). La thèse présente 4 travaux : trois dans le cadre de la prévision saisonnière, et une étude sur le réalisme du vent de surface tel qu'il est modélisé. par le modèle de prévision du temps du Centre Européen.Si la prévisions de l'énergie éolienne aux échelles de temps courtes allant de la minute à quelques jours ainsi que la tendance des vents aux échelles climatiques ont été largement étudiées, la prévision de la production éolienne l'échelle de temps intermédiaire allant d'une quinzaine de jours à la saison n'a reçu que peu d'attention. La prévisibilité. du temps aux moyennes latitudes à ces horizons lointains est en effet encore une question ouverte. Cependant, plusieurs études ont montré que les modèles numériques de prévision saisonnières étaient capable d'apporter de l'information sur la variabilité de la circulation atmosphérique de grande échelle via la prévision des oscillations de la circulation grande échelle, comme ENSO dans le Pacifique, ou encore la NAO en Atlantique Nord. Il a aussi été démontré que ces oscillations ont un impact fort sur les précipitations, les températures, et les vents de surface.Construire la relation entre ces indicateurs de la circulation atmosphérique grande échelle et le vent de surface en France permet donc de prendre en compte la variabilité. interannuelle du vent de surface, ce dont n'est pas capable par définition la climatologie. C'est là l'idée développée dans les 3 études concernant la prévision saisonnière. Afin de prévoir la ressource et la production éolienne à l'échelle saisonnière, deux modèles probabilistes sont développés. L'un paramétrique, basée sur la prévision de la distribution saisonnière du vent de surface, à différents endroits en France . l'autre non paramétrique, basé sur l'estimation de la de la densité de probabilité du vent de surface journalier conditionnel à l'état de l'atmosphère. La troisième étude propose de reconstruire la probabilité jointe de la consommation et de la production nationale française, permettant ainsi de mesurer le risque de déséquilibre entre l'offre et la demande.

La présente thèse traite de la théorie des équations stochastiques en dimension finie. Dans la première partie, nous dérivons des conditions géométriques nécessaires et suffisantes sur les coefficients d’une équation différentielle stochastique pour l’existence d’une solution contrainte à rester dans un domaine fermé, sous de faibles conditions de régularité sur les coefficients.Dans la seconde partie, nous abordons des problèmes d’existence et d’unicité d’équations de Volterra stochastiques de type convolutif. Ces équations sont en général non-Markoviennes. Nous établissons leur correspondance avec des équations en dimension infinie ce qui nous permet de les approximer par des équations différentielles stochastiques Markoviennes en dimension finie.Enfin, nous illustrons nos résultats par une application en finance mathématique, à savoir la modélisation de la volatilité rugueuse. En particulier, nous proposons un modèle à volatilité stochastique assurant un bon compromis entre flexibilité et tractabilité.

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Nous considérons le problème d'un producteur éolien qui a accès aux marchés de l'électricité spot et intraday et qui a la possibilité de stocker partiellement l'énergie produite en utilisant une installation de stockage par batterie. L'objectif du producteur est de maximiser le gain attendu de la vente sur le marché de l'énergie produite pendant une période de 24 heures. Nous proposons et calibrons des modèles statistiques pour la production d'énergie et le prix intraday de l'électricité, et calculons la stratégie optimale du producteur par programmation dynamique.

Nous prouvons un principe de grandes déviations pour la classe des modèles de volatilité stochastique affine multidimensionnelle considérés dans (Gourieroux, C. et Sufana, R., J. Bus. Econ. Stat., 28(3), 2010), où la matrice de volatilité est modélisée par un processus de Wishart. Cette classe étend le très populaire modèle de Heston au cadre multivarié, permettant ainsi de modéliser le comportement conjoint d'un panier d'actions ou de plusieurs taux d'intérêt. Nous utilisons ensuite le principe de grande déviation pour obtenir une approximation asymptotique de la volatilité implicite des options du panier et pour développer un algorithme d'échantillonnage d'importance asymptotiquement optimal, afin de réduire le nombre de simulations lors de l'utilisation des méthodes de Monte-Carlo pour évaluer les produits dérivés.

Cette thèse porte sur la valorisation et les stratégies financières de couverture des risques dans les marchés de l'énergie. Ces marchés présentent des particularités qui les distinguent des marchés financiers standards, notamment l'illiquidité et l'incomplétude. L'illiquidité se reflète par des coûts de transactions importants et des contraintes sur les volumes échangés. L'incomplétude est l'incapacité de pouvoir répliquer parfaitement des produits dérivés. Nous nous intéressons à différents aspects de l'incomplétude de marché. La première partie porte sur la valorisation dans les modèles de Lévy. Nous obtenons une formule approximative du prix d'indifférence et nous mesurons la prime minimale à apporter par rapport au modèle de Black-Scholes. La deuxième partie concerne la valorisation d'options spread en présence de corrélation stochastique. Les options spread portent sur la différence de prix entre deux sous-jacents -- par exemple gaz et électricité -- et sont très utilisées sur les marchés de l'énergie. Nous proposons une procédure numérique efficace pour calculer le prix de ces options. Enfin, la troisième partie traite de la valorisation d'un produit comportant un risque exogène dont il existe des prévisions. Nous proposons une stratégie dynamique optimale en présence de risque de volume, et l'appliquons à la valorisation des fermes éoliennes. De plus, une partie est consacrée aux stratégies optimales asymptotiques en présence de coûts de transactions.

Cette thèse traite de problèmes de dépendance entre processus stochastiques en temps continu. Ces résultats sont appliqués à la modélisation et à la gestion des risques des marchés de l'électricité.Dans une première partie, de nouvelles copules sont établies pour modéliser la dépendance entre deux mouvements Browniens et contrôler la distribution de leur différence. On montre que la classe des copules admissibles pour les Browniens contient des copules asymétriques. Avec ces copules, la fonction de survie de la différence des deux Browniens est plus élevée dans sa partie positive qu'avec une dépendance gaussienne. Les résultats sont appliqués à la modélisation jointe des prix de l'électricité et d'autres commodités énergétiques. Dans une seconde partie, nous considérons un processus stochastique observé de manière discrète et défini par la somme d'une semi-martingale continue et d'un processus de Poisson composé avec retour à la moyenne. Une procédure d'estimation pour le paramètre de retour à la moyenne est proposée lorsque celui-ci est élevé dans un cadre de statistique haute fréquence en horizon fini. Ces résultats sont utilisés pour la modélisation des pics dans les prix de l'électricité.Dans une troisième partie, on considère un processus de Poisson doublement stochastique dont l'intensité stochastique est une fonction d'une semi-martingale continue. Pour estimer cette fonction, un estimateur à polynômes locaux est utilisé et une méthode de sélection de la fenêtre est proposée menant à une inégalité oracle. Un test est proposé pour déterminer si la fonction d'intensité appartient à une certaine famille paramétrique. Grâce à ces résultats, on modélise la dépendance entre l'intensité des pics de prix de l'électricité et de facteurs exogènes tels que la production éolienne.

Nous considérons le problème d'un producteur éolien qui a accès aux marchés de l'électricité spot et intraday et qui a la possibilité de stocker partiellement l'énergie produite en utilisant une installation de stockage par batterie. L'objectif du producteur est de maximiser le gain attendu de la vente sur le marché de l'énergie produite pendant une période de 24 heures. Nous proposons et calibrons des modèles statistiques pour la production d'énergie et le prix intraday de l'électricité, et calculons la stratégie optimale du producteur par programmation dynamique.

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Une piste pour modéliser une partie de la variabilité à long terme de la ressource en énergie éolienne à partir de la connaissance de l'état de l'atmosphère à grande échelle est étudiée. Les échelles de temps considérées sont mensuelles à saisonnières, et l'accent est mis sur la France et ses environs. Sur de telles échelles de temps, on peut obtenir des informations sur les vents de surface probables à partir de l'état de l'atmosphère à grande échelle, déterminant par exemple les trajectoires les plus probables des tempêtes frappant l'Europe. Dans une première partie, nous reconstruisons les distributions des vents de surface sur des échelles de temps mensuelles et saisonnières à partir de la connaissance de l'état de l'atmosphère à grande échelle, qui est résumée en utilisant une analyse en composantes principales. Nous appliquons ensuite une régression multipolynomiale pour modéliser les distributions de vitesse du vent en surface dans le contexte paramétrique de la distribution de Weibull. Plusieurs méthodes sont testées pour la reconstruction des paramètres de la distribution de Weibull, et certaines d'entre elles montrent de bonnes performances. Ceci prouve qu'il existe un potentiel d'information important dans la relation entre la circulation synoptique et la vitesse du vent en surface. Dans la deuxième partie de l'article, les connaissances obtenues sur la relation entre la situation à grande échelle de l'atmosphère et les vitesses du vent de surface sont utilisées pour tenter de prévoir les distributions des vitesses du vent sur un horizon mensuel. Les résultats des prévisions sont prometteurs, mais ils indiquent également que les prévisions saisonnières de la prévision numérique du temps, sur lesquelles elles sont basées, ne sont pas encore assez mûres pour fournir des informations fiables pour des échelles de temps supérieures à un mois.

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Nous construisons et évaluons un modèle probabiliste conçu pour prévoir la distribution de la vitesse moyenne quotidienne du vent à l'échelle saisonnière en France. Sur de telles échelles de temps à long terme, la variabilité de la vitesse du vent de surface est fortement influencée par la situation à grande échelle de l'atmosphère. Notre objectif est de prédire la distribution de la vitesse moyenne quotidienne du vent à un endroit spécifique en utilisant l'information sur la situation à grande échelle de l'atmosphère, résumée par un indice. À cette fin, nous estimons, sur 20 ans de données quotidiennes, la fonction de densité de probabilité conditionnelle de la vitesse du vent en fonction de l'indice. Nous utilisons ensuite l'ensemble de prévisions saisonnières du CEPMMT pour prévoir la situation à grande échelle de l'atmosphère et l'indice à l'échelle saisonnière. Nous montrons que le modèle est plus précis que la climatologie à l'horizon mensuel, même s'il présente une forte perte de précision après 15 jours. L'utilisation d'une méthode de post-traitement statistique pour recalibrer la prévision d'ensemble conduit à une amélioration supplémentaire de notre prévision probabiliste, qui reste alors plus précise que la climatologie à l'horizon saisonnier.

Dans cet article, nous considérons l'évaluation d'options sur les taux d'intérêt telles que les caplets et les swaptions dans le modèle Levy Libor développé par Eberlein et Ozkan (Financ. Stochast. 9:327-348 (2005) [9]). Ce modèle est une extension aux processus de conduite de Levy du modèle de marché classique log-normal du Libor (LMM) conduit par un mouvement brownien. L'évaluation des options est nettement moins facile dans ce modèle que dans le LMM en raison de l'apparition de termes stochastiques dans la partie de saut du processus d'entraînement lors de l'exécution des changements de mesure qui sont standard dans l'évaluation des dérivés de taux d'intérêt. Pour obtenir une approximation explicite des prix des options, nous proposons de traiter un modèle Levy Libor donné comme une perturbation appropriée du LMM log-normal. La méthode est inspirée des travaux récents de Cerný, Denkl et Kallsen (Preprint (2013) [6]) et de Menasse et Tankov (Preprint (2015) [14]). Les prix approximatifs des options dans le modèle Libor de Levy sont donnés comme les prix LMM correspondants plus les termes de correction qui dépendent des caractéristiques du processus de Levy sous-jacent et certains termes supplémentaires obtenus à partir du modèle LMM.

Dans cet article, nous considérons l'évaluation des options sur les taux d'intérêt telles que les caplets et les swaptions dans le modèle Lévy Libor développé par Eberlein et Özkan (Financ. Stochast. 9:327-348 (2005) [9]). Ce modèle est une extension aux processus d'entraînement de Lévy du modèle de marché classique log-normal du Libor (LMM) entraîné par un mouvement brownien. L'évaluation des options est nettement moins facile dans ce modèle que dans le LMM en raison de l'apparition de termes stochastiques dans la partie de saut du processus d'entraînement lors de l'exécution des changements de mesure qui sont standard dans l'évaluation des dérivés de taux d'intérêt. Pour obtenir une approximation explicite des prix des options, nous proposons de traiter un modèle Lévy Libor donné comme une perturbation appropriée du LMM log-normal. La méthode est inspirée des travaux récents de Černý, Denkl et Kallsen (Preprint (2013) [6]) et Ménassé et Tankov (Preprint (2015) [14]). Les prix approximatifs des options dans le modèle Lévy Libor sont donnés comme les prix LMM correspondants, plus les termes de correction qui dépendent des caractéristiques du processus de Lévy sous-jacent et certains termes supplémentaires obtenus à partir du modèle LMM.

Nous introduisons une nouvelle mesure fonctionnelle de la dépendance de queue pour les vecteurs aléatoires faiblement dépendants (asymptotiquement indépendants). (asymptotiquement indépendants), appelée fonction de dépendance de queue faible. fonction. La nouvelle mesure est définie au niveau des copules et nous la calculons pour plusieurs familles de copules telles que la copule gaussienne, les copules d'une classe de modèles de mélange gaussien, certaines copules archimédiennes et des copules de valeurs extrêmes. La nouvelle mesure permet de quantifier le comportement de la queue de certaines fonctionnelles de vecteurs aléatoires faiblement dépendants au niveau de la queue. vecteurs aléatoires faiblement dépendants à l'échelle logarithmique.Commentaire : Remplacé par une version révisée.

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Nous étudions les politiques de négociation optimales pour un producteur d'énergie éolienne qui vise à vendre sa production future sur les marchés ouverts à terme, au comptant, intraday et d'ajustement, et qui a accès à des prévisions imparfaites et dynamiquement mises à jour de la production future. Nous construisons un modèle stochastique pour l'évolution des prévisions et déterminons les politiques de négociation optimales qui sont mises à jour dynamiquement lorsque de nouvelles informations prévisionnelles deviennent disponibles. Nos résultats permettent de quantifier le gain futur attendu du producteur éolien et de déterminer la valeur économique des prévisions.

Dans cet article, nous caractérisons le comportement asymptotique de la volatilité implicite d'une option d'achat de panier à des prix d'exercice élevés et faibles dans une variété de contextes avec une généralité croissante. Tout d'abord, nous obtenons une formule asymptotique avec une limite d'erreur pour l'aile gauche de la volatilité implicite, sous l'hypothèse que la dynamique des prix des actifs est décrite par le modèle multidimensionnel de Black-Scholes. Ensuite, nous trouvons le terme principal de l'asymptotique de la volatilité implicite dans le cas où les prix des actifs suivent le modèle multidimensionnel de Black et Scholes avec un changement temporel par un processus stochastique croissant indépendant. Enfin, nous traitons d'une situation générale dans laquelle la dépendance entre les actifs est décrite par une fonction copule donnée. Dans ce cadre, nous obtenons une formule de queue sans modèle qui lie la volatilité implicite à une caractéristique spéciale de la copule appelée fonction de dépendance de queue inférieure faible.

Nous passons en revue et étendons la littérature désormais considérable sur les copules de Levy. Tout d'abord, nous nous concentrons sur les méthodes de Monte Carlo et présentons un nouvel algorithme robuste pour la simulation de processus de Lévy multidimensionnels dont la dépendance est donnée par une copule de Lévy. Ensuite, nous passons en revue les techniques d'estimation statistique dans un cadre paramétrique et non paramétrique. Enfin, nous discutons de l'interaction entre les copules de Lévy et la variation régulière multivariée et passons brièvement en revue les applications des copules de Lévy dans la gestion des risques. En particulier, nous fournissons une nouvelle condition suffisante facile à utiliser pour la variation régulière multivariée des mesures de Levy en termes de leurs copules de Levy.

Nous étudions les équations différentielles stochastiques à retard (SDDE) où les coefficients dépendent des moyennes mobiles du processus d'état. Comme première contribution, nous fournissons des conditions suffisantes sous lesquelles la solution de l'EDDS et une fonctionnelle de chemin linéaire de celle-ci admettent une représentation markovienne de dimension finie. Comme deuxième contribution, nous montrons comment des représentations markoviennes approximatives en dimension finie peuvent être construites lorsque ces conditions ne sont pas satisfaites, et nous fournissons une estimation de l'erreur correspondant à ces approximations. Ces résultats sont appliqués aux problèmes de contrôle optimal et d'arrêt optimal pour les systèmes stochastiques avec retard. 2014, Springer Science+Business Media New York.

Nous considérons l'erreur de couverture d'un produit dérivé due à la discrétisation en présence d'une dérive de la dynamique de l'actif sous-jacent. Nous supposons que le trader souhaite trouver des moments de rééquilibrage du portefeuille de couverture qui lui permettent de maintenir l'erreur de discrétisation faible tout en profitant des tendances du marché. En supposant que le portefeuille est réajusté à haute fréquence, nous introduisons un cadre asymptotique afin de dériver des stratégies de discrétisation optimales. Plus précisément, nous formulons le problème d'optimisation en termes d'un critère asymptotique d'espérance-erreur. Dans ce cadre, les temps de rééquilibrage optimaux sont donnés par les temps d'atteinte de deux barrières dont les valeurs peuvent être obtenues en résolvant un problème de contrôle optimal linéaire-quadratique. Dans des contextes spécifiques, comme dans le modèle Black-Scholes, des expressions explicites pour les temps de rééquilibrage optimaux peuvent être dérivées.

Les marchés financiers ont connu, grâce aux études réalisées durant les trois dernières décennies, une expansion considérable et ont vu l’apparition de produits dérivés divers et variés. Les plus utilisés parmi ces produits dérivés sont les options américaines.

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Nous analysons le comportement du sourire de la volatilité implicite pour les options proches de l'expiration dans la classe exponentielle de L\'evy des modèles de prix d'actifs avec sauts. Nous introduisons une nouvelle renormalisation de la variable strike avec la propriété que la volatilité implicite converge vers une forme limite non constante, qui est une fonction à la fois de la composante de diffusion du processus et de l'indice d'activité de saut (Blumenthal-Getoor) de la composante de saut. Notre formule de volatilité implicite limite relie l'activité de saut du processus de prix de l'actif sous-jacent à l'extrémité courte de la surface de volatilité implicite et jette une nouvelle lumière sur la différence entre les sauts à variation finie et infinie du point de vue des prix des options : dans le second cas, les ailes du sourire limite sont déterminées par les indices d'activité de saut des sauts positifs et négatifs, alors que dans le premier cas, les ailes ont une pente constante indépendante du modèle. Ce résultat donne une justification théorique à la préférence des modèles de L'evy à variation infinie par rapport aux modèles à variation finie dans la calibration basée sur les prix des options à court terme.

Dans la première partie, je m'intéresse à un problème d'assurance de portefeuille pour un manager d'un fond d'investissement, qui veut structurer un produit financier pour les investisseurs avec une garantie en capital. Si la valeur du produit est au dessous d'un seuil fixé, l'investisseur sera remboursé à la hauteur de ce seuil par l'assureur du fond. En échange, l'assureur impose une contrainte sur le risque que le manager peut tolérer, mesuré avec une mesure de risque. Je donne la solution de ce problème et je prouve que le choix de la mesure de risque est un point crucial pour l'existence d'un portefeuille optimal. J'applique mes résultats pour la mesure de risque entropique, spectrale et la G-divergence. Ensuite, je m'intéresse au problème de couverture quadratique. Le marché est décrit par un processus de Markov tridimensionnel avec sauts. La première variable modélise l'instrument de couverture échangeable sur le marché, la deuxième, un actif financier qui perturbe la dynamique de l'instrument de couverture et qui n'est pas échangeable, comme un facteur de volatilité . la troisième représente une source de risque qui affecte l'option à couvrir et qui aussi n'est pas échangeable. Je prouve que la fonction valeur du problème est caractérisée par l'unique solution d'un système de trois équations integro-différentielles, dont l'une est semilinéaire et ne dépend pas de l'option à couvrir, et les deux autres sont linéaires. Cela me permet de caractériser la stratégie optimale. Ce résultat est démontré si le processus est non dégénéré (composante Brownienne strictement elliptique) et s'il est à sauts purs. Je conclus avec une application dans le marché de l'électricité.

Ce document synthétise mes contributions à l'étude de discrétisation des processus avec sauts, et à la modélisation du risque de liquidité et du risque de saut dans les marchés financiers. Chapitre 2 regroupe les résultats plus théoriques dans le domaine de discrétisation des processus stochastiques avec sauts, avec notamment une étude de l'erreur de discrétisation des stratégies de couverture, et des nouveaux schémas de simulation des équations différentielles stochastiques dirigées par des processus de Lévy. Chapitre 3 présente et étudie via le contrôle stochastique un problème d'optimisation d'investissement et de consommation dans les marchés financiers illiquides. Chapitre 4 contient des travaux plus appliqués sur la modélisation du risque de saut dans les stratégies d'assurance de portefeuille, les produits dérivés, et les marchés d'électricité.

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Cette thèse traite de la modélisation des prix des actions par les exponentielles des processus de Lévy. Dans la première partie, nous développons une méthode non-paramétrique permettant de calibrer les modèles exponentiels de Lévy, c'est-à-dire de reconstruire de tels modèles à partir des prix des options cotées sur le marché. Nous étudions les propriétés de stabilité et de convergence de cette méthode de calibration, décrivons son implémentation numérique et donnons des exemples de son utilisation. Notre approche consiste d'abord à reformuler le problème de calibrage comme étant celui de trouver un modèle de Lévy exponentiel neutre vis-à-vis du risque qui reproduit les prix des options avec la meilleure précision possible et qui a la plus petite entropie relative par rapport à un processus antérieur donné, puis à résoudre ce problème via la méthodologie de régularisation, utilisée dans la théorie des problèmes inverses mal posés. L'application de cette méthode de calibration aux jeux de données empiriques d'options sur indices nous permet d'étudier certaines propriétés des mesures de Lévy, impliquées par les prix du marché. La deuxième partie de cette thèse propose une méthode permettant de caractériser les structures de dépendance entre les composantes d'un processus de Lévy multidimensionnel et de construire des modèles de Lévy exponentiels multidimensionnels. Ceci est fait en introduisant la notion de copule de Lévy, qui peut être vue comme un analogue pour les processus de Lévy de la notion de copule, utilisée en statistique pour modéliser la dépendance entre des variables aléatoires à valeurs réelles. Nous donnons des exemples de familles paramétriques de copules de Lévy et développons une méthode pour simuler des processus de Lévy multidimensionnels dont la dépendance est donnée par une copule de Lévy.