Les processus de Lévy en finance : Problèmes inverses et modélisation de la dépendance.

Résumé Cette thèse traite de la modélisation des prix des actions par les exponentielles des processus de Lévy. Dans la première partie, nous développons une méthode non-paramétrique permettant de calibrer les modèles exponentiels de Lévy, c'est-à-dire de reconstruire de tels modèles à partir des prix des options cotées sur le marché. Nous étudions les propriétés de stabilité et de convergence de cette méthode de calibration, décrivons son implémentation numérique et donnons des exemples de son utilisation. Notre approche consiste d'abord à reformuler le problème de calibrage comme étant celui de trouver un modèle de Lévy exponentiel neutre vis-à-vis du risque qui reproduit les prix des options avec la meilleure précision possible et qui a la plus petite entropie relative par rapport à un processus antérieur donné, puis à résoudre ce problème via la méthodologie de régularisation, utilisée dans la théorie des problèmes inverses mal posés. L'application de cette méthode de calibration aux jeux de données empiriques d'options sur indices nous permet d'étudier certaines propriétés des mesures de Lévy, impliquées par les prix du marché. La deuxième partie de cette thèse propose une méthode permettant de caractériser les structures de dépendance entre les composantes d'un processus de Lévy multidimensionnel et de construire des modèles de Lévy exponentiels multidimensionnels. Ceci est fait en introduisant la notion de copule de Lévy, qui peut être vue comme un analogue pour les processus de Lévy de la notion de copule, utilisée en statistique pour modéliser la dépendance entre des variables aléatoires à valeurs réelles. Nous donnons des exemples de familles paramétriques de copules de Lévy et développons une méthode pour simuler des processus de Lévy multidimensionnels dont la dépendance est donnée par une copule de Lévy.