IBRAHIM Dalia

Cet article étudie la question du filtrage et de la maximisation de la richesse terminale à partir de l'utilité espérée dans un modèle de volatilité stochastique à information partielle. La particularité est que la seule information disponible pour l'investisseur est celle générée par les prix des actifs, et les processus inobservables seront modélisés par une équation différentielle stochastique. En utilisant les techniques de changement de mesure, le contexte d'observation partielle peut être transformé en un contexte d'information complète tel que les coefficients ne dépendent que de l'histoire passée des prix observés (processus de filtrage). En adaptant le filtrage stochastique non linéaire, nous montrons que sous certaines hypothèses sur les coefficients du modèle, l'estimation des filtres dépend de modèles a priori pour la tendance et la volatilité stochastique. De plus, ces filtres satisfont une équation différentielle partielle stochastique appelée "équations de Kushner-Stratonovich". En utilisant l'approche de la dualité martingale dans ce modèle incomplet partiellement observé, nous pouvons caractériser la fonction de valeur et le portefeuille optimal. Le résultat principal ici est que la fonction de valeur duale associée à l'approche martingale peut être exprimée, via l'approche de programmation dynamique, en termes de solution d'une équation différentielle partielle semi-linéaire qui dépend également de l'estimation des filtres et de la volatilité. Nous illustrons nos résultats avec quelques exemples de modèles de volatilité stochastique populaires dans la littérature financière.

Nous étudions le problème de filtrage et le problème de maximisation de l'utilité espérée de la richesse terminale dans un contexte d'information partielle. La particularité est que la seule information disponible pour l'investisseur est le vecteur des prix des actions. Les processus de taux de rendement moyen ne sont pas directement observés et sont supposés être pilotés par un processus $\mu_{t}$ modélisé par une équation différentielle stochastique. Le résultat principal de cet article est de montrer sous quelles hypothèses sur les coefficients du modèle, nous pouvons estimer le prix de marché non observé des risques. En utilisant l'approche de l'innovation, nous montrons que sous des conditions globalement Lipschitz sur les coefficients de $\mu_{t}$, l'estimation des filtres des risques satisfait une équation de Kushner-Stratonovich à valeur de mesure. D'autre part, en utilisant l'approche de la densité par chemin, nous montrons que sous une hypothèse non dégénérée et certaines hypothèses de régularité sur les coefficients de $\mu_{t}$, la densité de la distribution conditionnelle de $\mu_{t}$ étant donné les données d'observation, peut être exprimée en termes de solution à une équation différentielle partielle linéaire parabolique paramétrée par le chemin d'observation. De plus, nous pouvons obtenir des formules explicites pour la richesse optimale, le portefeuille optimal et la fonction de valeur pour les cas de fonction d'utilité logarithmique et de puissance.

Cet article étudie la question du filtrage et de la maximisation de la richesse terminale à partir de l'utilité espérée dans un modèle de volatilité stochastique à information partielle. La particularité est que la seule information disponible pour l'investisseur est celle générée par les prix des actifs, et les processus inobservables seront modélisés par une équation différentielle stochastique. En utilisant les techniques de changement de mesure, le contexte d'observation partielle peut être transformé en un contexte d'information complète tel que les coefficients ne dépendent que de l'histoire passée des prix observés (processus de filtrage). En adaptant le filtrage stochastique non linéaire, nous montrons que sous certaines hypothèses sur les coefficients du modèle, l'estimation des filtres dépend de modèles a priori pour la tendance et la volatilité stochastique. De plus, ces filtres satisfont une équation différentielle partielle stochastique appelée "équations de Kushner-Stratonovich". En utilisant l'approche de la dualité martingale dans ce modèle incomplet partiellement observé, nous pouvons caractériser la fonction de valeur et le portefeuille optimal. Le résultat principal ici est que la fonction de valeur duale associée à l'approche martingale peut être exprimée, via l'approche de programmation dynamique, en termes de solution d'une équation différentielle partielle semi-linéaire qui dépend également de l'estimation des filtres et de la volatilité. Nous illustrons nos résultats avec quelques exemples de modèles de volatilité stochastique populaires dans la littérature financière.

Dans le cadre de ma thèse, je me suis intéressée à analyser mathématiquement un indicateur de rupture de volatilité très utilisé par les praticiens en salle de marché. L'indicateur Bandes de Bollinger appartient à la famille des méthodes dites d'analyse technique et donc repose exclusivement sur l'historique récente du cours considéré et un principe déduit des observations passées des marchés, indépendamment de tout modèle mathématique. Mon travail consiste à étudier les performances de cet indicateur dans un univers qui serait gouverné par des équations différentielles stochastiques (Black -Scholes) dont le coefficient de diffusion change sa valeur à un temps aléatoire inconnu et inobservable, pour un praticien désirant maximiser une fonction objectif (par exemple, une certaine utilité espérée de la valeur du portefeuille à une certaine maturité).

L'objectif de ma thèse est d'étudier mathématiquement un indicateur de rupture de volatilité très utilisé par les praticiens en salle de marché. L'indicateur bandes de Bollinger appartient à la famille des méthodes dites d'analyse technique et donc repose exclusivement sur l'historique récente du cours considéré et un principe déduit des observations passées des marchés, indépendamment de tout modèle mathématique. Mon travail consiste à étudier les performances de cet indicateur dans un univers qui serait gouverné par des équations différentielles stochastiques (Black -Scholes) dont le coefficient de diffusion change sa valeur à un temps aléatoire inconnu et inobservable, pour un praticien désirant maximiser une fonction objectif (par exemple, une certaine utilité espérée de la valeur du portefeuille à une certaine maturité). Dans le cadre du modèle, l'indicateur de Bollinger peut s'interpréter comme un estimateur de l'instant de la prochaine rupture. On montre dans le cas des petites volatilités, que le comportement de la densité de l'indicateur dépend de la volatilité, ce qui permet pour un ratio de volatilité assez grand, de détecter via l'estimation de la distribution de l'indicateur dans quel régime de volatilité on se situe. Aussi, dans le cas des grandes volatilités, on montre par une approche via la transformée de Laplace, que le comportement asymptotique des queues de distribution de l'indicateur dépend de la volatilité. Ce qui permet de détecter le changement des grandes volatilités. Ensuite, on s'intéresse à une étude comparative entre l'indicateur de Bollinger et l'estimateur classique de la variation quadratique pour la détection de changement de la volatilité. Enfin, on étudie la gestion optimale de portefeuille qui est décrite par un problème stochastique non standard en ce sens que les contrôles admissibles sont contraints à être des fonctionnelles des prix observés. On résout ce problème de contrôle en s'inspirant de travaux de Pham and Jiao pour décomposer le problème initial d'allocation de portefeuille en un problème de gestion après la rupture et un problème avant la rupture, et chacun de ces problèmes est résolu par la méthode de la programmation dynamique . Ainsi, un théorème de verification est prouvé pour ce problème de contrôle stochastique.