Extrêmes convexes pour les distributions discrètes non croissantes : effets des contraintes de convexité.

Résumé Dans la gestion des risques, la distribution des variables aléatoires sous-jacentes n'est pas toujours connue. Parfois, seules la valeur moyenne et certaines informations de forme (décroissance, convexité après un certain point,.) de la densité discrète sont disponibles. Le présent article vise à fournir des extrema convexes dans certains cas qui se présentent en pratique dans les assurances et dans d'autres domaines. Cela nous permet d'obtenir par exemple des limites sur la variance et sur les quantités liées à Solvabilité II dans les applications d'assurance. Dans cet article, nous considérons d'abord la classe des distributions discrètes dont les fonctions de masse de probabilité sont non croissantes sur un support ${\cal D}_n\equiv \{0,1,\ldots,n\}$. Les extrema convexes de cette classe de distributions sont bien connus. Notre but est de montrer comment des contraintes de forme supplémentaires de type convexité modifient ces extrema. Trois cas sont considérés : la f.m.p. est globalement convexe sur $\N$, elle est convexe seulement à partir d'un point positif donné $m$, ou elle est convexe seulement jusqu'à un certain point positif $m$. Les extrema convexes correspondants sont dérivés en utilisant des propriétés simples de croisement entre deux distributions. L'influence du choix de $n$ et $m$ est discutée numériquement, et plusieurs illustrations de problèmes de ruine sont présentées. Ces résultats fournissent un complément à deux travaux récents de Lefévre et Loisel (2010), (2012).