LEFEVRE Claude

Cet article s'intéresse aux propriétés des distributions Beta-unimodales et à leur utilisation pour évaluer le risque de base inhérent aux contrats d'assurance ou de réassurance basés sur des indices. Dans cette optique, nous caractérisons d'abord les ordres stochastiques s-convexes pour les distributions Beta-unimodales en termes d'intégrale fractionnaire de Weyl. Nous déterminons ensuite des extrema s-convexes pour de telles distributions, en nous concentrant en particulier sur les cas s = 2, 3, 4. Ensuite, nous définissons un cadre de gestion du risque d'entreprise qui s'appuie sur la bêta-unimodalité pour évaluer ces imperfections de couverture, en introduisant plusieurs fonctions de pénalité et les pires scénarios. Certains des résultats obtenus sont illustrés numériquement via un modèle de catastrophe représentatif.

Cet article traite de la quantification du risque de base dans les produits d'assurance basés sur un indice en utilisant des variables à échelle aléatoire. À cet effet, nous discutons d'abord de la forme, de l'unimodalité et de la symétrie des variables à échelle aléatoire en fonction de la distribution du facteur d'échelle aléatoire en utilisant la transformée de Mellin. Nous obtenons explicitement la distribution d'une variable à échelle aléatoire lorsque le facteur d'échelle aléatoire est soit uniformément distribué, soit de type Beta. Nous déterminons ensuite les distributions extrémales s-convexes pour les variables à échelle aléatoire et discutons de la manière de les comparer. Ensuite, nous définissons un cadre de gestion des risques d'entreprise qui s'appuie sur des variables à échelle aléatoire pour évaluer le risque de base, en introduisant la classe des fonctions de pénalité généralisées. Ce cadre ERM permet de mettre en place des limites de risque de base pour finalement déterminer un capital requis pour le risque de base. Les résultats sont illustrés par des cas particuliers qui remettent soigneusement en question la méthodologie.

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Cet article traite des séquences finies de variables aléatoires 0-1 échangeables. Notre objectif principal est de mettre en évidence la structure de dépendance entre ces indicateurs. En travaillant avec la représentation de Kendall par mélange, nous prouvons qu'un ordre convexe de degré supérieur sur la variable de mélange implique un ordre supermodulaire de même degré sur les indicateurs, et inversement. La condition d'ordre convexe est ensuite discutée pour trois distributions standard (binomiale, hypergéométrique et Stirling) dans lesquelles le paramètre est aléatoire. Les propriétés distributionnelles des indicateurs échangeables sont également revisitées en utilisant une propriété sous-jacente de Schur-constant. Enfin, deux applications dans le domaine des assurances et du risque de crédit illustrent certains des résultats.SCOPUS : ar.jinfo:eu-repo/semantics/publishe.

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Cet article introduit une classe de modèles de survie à constante de Schur, de dimension n, pour des variables aléatoires arithmétiques non négatives. Un tel modèle est défini par une fonction de survie univariée dont on montre qu'elle est n-monotone. Deux représentations générales sont obtenues, en conditionnant la somme des n variables ou par une distribution multinomiale doublement mélangée. Plusieurs autres propriétés, y compris les mesures de corrélation, sont dérivées. Trois processus de la théorie de l'assurance sont discutés pour lesquels les périodes d'inter-réclamation forment un modèle de Schur-constant.

Dans la gestion des risques, la distribution des variables aléatoires sous-jacentes n'est pas toujours connue. Parfois, seules la valeur moyenne et certaines informations de forme (décroissance, convexité après un certain point,.) de la densité discrète sont disponibles. Le présent article vise à fournir des extrema convexes dans certains cas qui se présentent en pratique dans les assurances et dans d'autres domaines. Cela nous permet d'obtenir par exemple des limites sur la variance et sur les quantités liées à Solvabilité II dans les applications d'assurance. Dans cet article, nous considérons d'abord la classe des distributions discrètes dont les fonctions de masse de probabilité sont non croissantes sur un support ${\cal D}_n\equiv \{0,1,\ldots,n\}$. Les extrema convexes de cette classe de distributions sont bien connus. Notre but est de montrer comment des contraintes de forme supplémentaires de type convexité modifient ces extrema. Trois cas sont considérés : la f.m.p. est globalement convexe sur $\N$, elle est convexe seulement à partir d'un point positif donné $m$, ou elle est convexe seulement jusqu'à un certain point positif $m$. Les extrema convexes correspondants sont dérivés en utilisant des propriétés simples de croisement entre deux distributions. L'influence du choix de $n$ et $m$ est discutée numériquement, et plusieurs illustrations de problèmes de ruine sont présentées. Ces résultats fournissent un complément à deux travaux récents de Lefévre et Loisel (2010), (2012).

Cet article s'intéresse à la classe des distributions, continues ou discrètes, dont la forme est monotone d'ordre t entier fini. Une caractérisation est présentée comme un mélange d'un minimum de t distributions uniformes indépendantes. Ensuite, une comparaison des distributions t-monotones est faite en utilisant les ordres stochastiques s-convexes. Un lien est également signalé avec une approche alternative de la monotonicité basée sur un opérateur d'excès stationnaire. Enfin, la propriété de monotonicité est exploitée pour renforcer les inégalités classiques de Markov et de Lyapunov. Les résultats sont illustrés par plusieurs applications aux assurances.

Dans la gestion des risques, la distribution des variables aléatoires sous-jacentes n'est pas toujours connue. Parfois, seules la valeur moyenne et certaines informations de forme (décroissance, convexité après un certain point,.) de la densité discrète sont disponibles. Le présent article vise à fournir des extrema convexes dans certains cas qui se présentent en pratique dans les assurances et dans d'autres domaines. Cela nous permet d'obtenir par exemple des limites sur la variance et sur les quantités liées à Solvabilité II dans les applications d'assurance. Dans cet article, nous considérons d'abord la classe des distributions discrètes dont les fonctions de masse de probabilité sont non croissantes sur un support ${\cal D}_n\equiv \{0,1,\ldots,n\}$. Les extrema convexes de cette classe de distributions sont bien connus. Notre but est de montrer comment des contraintes de forme supplémentaires de type convexité modifient ces extrema. Trois cas sont considérés : la f.m.p. est globalement convexe sur $\N$, elle est convexe seulement à partir d'un point positif donné $m$, ou elle est convexe seulement jusqu'à un certain point positif $m$. Les extrema convexes correspondants sont dérivés en utilisant des propriétés simples de croisement entre deux distributions. L'influence du choix de $n$ et $m$ est discutée numériquement, et plusieurs illustrations de problèmes de ruine sont présentées. Ces résultats fournissent un complément à deux travaux récents de Lefévre et Loisel (2010), (2012).

Cet article s'intéresse à la classe des distributions, continues ou discrètes, dont la forme est monotone d'ordre t entier fini. Une caractérisation est présentée comme un mélange d'un minimum de t distributions uniformes indépendantes. Ensuite, une comparaison des distributions t-monotones est faite en utilisant les ordres stochastiques s-convexes. Un lien est également signalé avec une approche alternative de la monotonicité basée sur un opérateur d'excès stationnaire. Enfin, la propriété de monotonicité est exploitée pour renforcer les inégalités classiques de Markov et de Lyapunov. Les résultats sont illustrés par plusieurs applications aux assurances.

L'objectif de cet article est de montrer qu'une règle asymptotique "A+B/u" pour la probabilité de ruine ultime s'applique à une large classe de modèles de risque dépendant, en temps discret et continu. La dépendance est incorporée par une approche de mélange entre les montants des réclamations ou les temps d'inter-arrivée des réclamations, conduisant à un comportement de risque systémique. La ruine correspond ici soit à la ruine classique, soit à l'arrêt de l'activité après avoir réalisé qu'elle n'est pas du tout pro table, lorsqu'on a peu de possibilités d'augmenter le taux de revenu des primes. Plusieurs cas particuliers, pour lesquels des formules fermées sont dérivées, sont également étudiés en détail.

Ce travail de thèse porte principalement sur deux problématiques différentes mais qui ont pour point commun, la contribution à la modélisation et à la gestion du risque en actuariat. Dans le premier thème de recherche abordé dans cette thèse, on s'intéresse à la modélisation de la dépendance en assurance et en particulier, on propose une extension des modèles à facteurs communs qui sont utilisés en assurance. Dans le deuxième thème de recherche, on considère les distributions discrètes décroissantes et on s'intéresse à l'étude de l'effet de l'ajout de la contrainte de convexité sur les extrema convexes. Des applications en liaison avec la théorie de la ruine motivent notre intérêt pour ce sujet. Dans la première partie de la thèse, on considère un modèle de risque en temps discret dans lequel les variables aléatoires sont dépendantes mais conditionnellement indépendantes par rapport à un facteur commun. Dans ce cadre de dépendance on introduit un nouveau concept pour la modélisation de la dépendance temporelle entre les risques d'un portefeuille d'assurance. En effet, notre modélisation inclut des processus de mémoire non bornée. Plus précisément, le conditionnement se fait par rapport à un vecteur aléatoire de longueur variable au cours du temps. Sous des conditions de mélange du facteur et d'une structure de mélange conditionnel, nous avons obtenu des propriétés de mélanges pour les processus non conditionnels. Avec ces résultats on peut obtenir des propriétés asymptotiques intéressantes. On note que dans notre étude asymptotique c'est plutôt le temps qui tend vers l'infini que le nombre de risques. On donne des résultats asymptotiques pour le processus agrégé, ce qui permet de donner une approximation du risque d'une compagnie d'assurance lorsque le temps tend vers l'infini. La deuxième partie de la thèse porte sur l'effet de la contrainte de convexité sur les extrema convexes dans la classe des distributions discrètes dont les fonctions de masse de probabilité (f.m.p.) sont décroissantes sur un support fini. Les extrema convexes dans cette classe de distributions sont bien connus. Notre but est de souligner comment les contraintes de forme supplémentaires de type convexité modifient ces extrema. Deux cas sont considérés : la f.m.p. est globalement convexe sur N et la f.m.p. est convexe seulement à partir d'un point positif donné. Les extrema convexes correspondants sont calculés en utilisant de simples propriétés de croisement entre deux distributions. Plusieurs illustrations en théorie de la ruine sont présentées.

Cette thèse a pour but le développement de certains aspects de la modélisation de la dépendance dans la gestion des risques en dimension plus grande que un. Le premier chapitre est constitué d'une introduction générale. Le deuxième chapitre est constitué d'un article s'intitulant « Estimating Bivariate Tail : a copula based approach », soumis pour publication. Il concerne la construction d'un estimateur de la queue d'une distribution bivariée. La construction de cet estimateur se fonde sur une méthode de dépassement de seuil (Peaks Over Threshold method) et donc sur une version bivariée du Théorème de Pickands-Balkema-de Haan. La modélisation de la dépendance est obtenue via la Upper Tail Dependence Copula. Nous démontrons des propriétés de convergence pour l'estimateur ainsi construit. Le troisième chapitre repose sur un article: « A multivariate extension of Value-at-Risk and Conditional-Tail-Expectation», soumis pour publication. Nous abordons le problème de l'extension de mesures de risque classiques, comme la Value-at-Risk et la Conditional-Tail-Expectation, dans un cadre multidimensionnel en utilisant la fonction de Kendall multivariée. Enfin, dans le quatrième chapitre de la thèse, nous proposons un estimateur des courbes de niveau d'une fonction de répartition bivariée avec une méthode plug-in. Nous démontrons des propriétés de convergence pour les estimateurs ainsi construits. Ce chapitre de la thèse est lui aussi constitué d'un article, s'intitulant « Plug-in estimation of level sets in a non-compact setting with applications in multivariate risk theory», accepté pour publication dans la revue ESAIM:Probability and Statistics.

Initialement, la théorie du risque supposait l’indépendance entre les différentes variables aléatoires et autres paramètres intervenant dans la modélisation actuarielle. De nos jours, cette hypothèse d’indépendance est souvent relâchée afin de tenir compte de possibles interactions entre les différents éléments des modèles. Dans cette thèse, nous proposons d’introduire des modèles de dépendance pour différents aspects de la théorie du risque. Dans un premier temps, nous suggérons l’emploi des copules comme structure de dépendance. Nous abordons tout d’abord un problème d’allocation de capital basée sur la Tail-Value-at-Risk pour lequel nous supposons un lien introduit par une copule entre les différents risques. Nous obtenons des formules explicites pour le capital à allouer à l’ensemble du portefeuille ainsi que la contribution de chacun des risques lorsque nous utilisons la copule Farlie-Gumbel-Morgenstern. Pour les autres copules, nous fournissons une méthode d’approximation. Au deuxième chapitre, nous considérons le processus aléatoire de la somme des valeurs présentes des sinistres pour lequel les variables aléatoires du montant d’un sinistre et de temps écoulé depuis le sinistre précédent sont liées par une copule Farlie-Gumbel-Morgenstern. Nous montrons comment obtenir des formes explicites pour les deux premiers moments puis le moment d’ordre m de ce processus. Le troisième chapitre suppose un autre type de dépendance causée par un environnement extérieur. Dans le contexte de l’étude de la probabilité de ruine d’une compagnie de réassurance, nous utilisons un environnement markovien pour modéliser les cycles de souscription. Nous supposons en premier lieu des temps de changement de phases de cycle déterministes puis nous les considérons ensuite influencés en retour par les montants des sinistres. Nous obtenons, à l’aide de la méthode d’erlangisation, une approximation de la probabilité de ruine en temps fini.