GIORGI Daphne

Cet article traite des estimateurs MLMC avec et sans poids, appliqués aux attentes imbriquées de la forme E [f (E [F (Y, Z)|Y ])]. Plus précisément, nous nous intéressons aux hypothèses nécessaires pour respecter le cadre MLMC, selon que la fonction de gain f est lisse ou non. Un nouveau résultat à notre connaissance est donné lorsque f n'est pas lisse dans le développement de l'erreur faible à un ordre supérieur à 1, qui est nécessaire pour une utilisation réussie des estimateurs MLMC avec poids.

Dans ce travail, nous nous concentrerons sur les estimateurs de Monte Carlo multiniveaux. Ces estimateurs apparaîtront sous leur forme standard, avec des poids et sous leur forme aléatoire. Nous rappellerons les résultats existants concernant ces estimateurs, en termes de minimisation du coût de la simulation. Après cela, nous nous concentrerons sur deux cadres d'application : le premier est le cadre des diffusions avec des schémas de discrétisation antithétiques, où nous étendrons les estimateurs multiniveaux aux estimateurs multiniveaux avec poids, et le second est le cadre imbriqué, où nous analyserons les hypothèses d'erreur faibles et fortes. Nous conclurons en implémentant la forme randomisée des estimateurs multiniveaux, en la comparant aux estimateurs multiniveaux avec et sans poids.

Nous cherchons à analyser en termes de convergence a.s. et de taux faible les performances de l'estimateur Multilevel Monte Carlo (MLMC) introduit dans [Gil08] et de sa version pondérée, l'estimateur Multilevel Richardson Romberg (ML2R), introduit dans [LP14]. Ces deux estimateurs permettent de calculer une approximation très précise de $I_0 = \mathbb{E}[Y_0]$ par un estimateur de type Monte Carlo lorsque la variable aléatoire (non dégénérée) $Y_0 \in L^2(\mathbb{P})$ ne peut pas être simulée (exactement) à un coût de calcul raisonnable alors qu'une famille d'approximations simulables $(Y_h)_{h \in \mathcal{H}}$ est disponible. Nous effectuerons ces recherches dans un cadre abstrait avant d'appliquer nos résultats, principalement une loi forte des grands nombres et un théorème central limite, à quelques champs d'applications typiques : schémas de discrétisation des diffusions et Monte Carlo imbriqué.

Dans ce travail, nous nous intéressons aux estimateurs Multilevel Monte Carlo. Ces estimateurs vont apparaître sous leur forme standard, avec des poids et dans une forme randomisée. Nous allons rappeler leurs définitions et les résultats existants concernant ces estimateurs en termes de minimisation du coût de simulation. Nous allons ensuite montrer une loi forte des grands nombres et un théorème central limite. Après cela nous allons étudier deux cadres d'applications. Le premier est celui des diffusions avec schémas de discrétisation antithétiques, où nous allons étendre les estimateurs Multilevel aux estimateurs Multilevel avec poids. Le deuxième est le cadre nested, où nous allons nous concentrer sur les hypothèses d'erreur forte et faible. Nous allons conclure par l'implémentation de la forme randomisée des estimateurs Multilevel, en la comparant aux estimateurs Multilevel avec et sans poids.

Le package original Bocop implémente une méthode d'optimisation locale. Le problème de contrôle optimal est approximé par un problème d'optimisation en dimension finie (NLP) utilisant une discrétisation temporelle (l'approche de transcription directe). Le problème NLP est résolu par le logiciel bien connu Ipopt, en utilisant des dérivées exactes éparses calculées par Adol-C. Le second package BocopHJB implémente une méthode d'optimisation globale. Comme pour l'approche de programmation dynamique, le problème de contrôle optimal est résolu en deux étapes. D'abord, nous résolvons l'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman satisfaite par la fonction de valeur du problème. Ensuite, nous simulons la trajectoire optimale à partir de toute condition initiale choisie. L'effort de calcul est essentiellement pris par la première étape, dont le résultat, la fonction de valeur, peut être stocké pour les simulations de trajectoire suivantes.