ROUSSEAU Judith

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Dans cet article, nous considérons des modèles de mélanges finis multidimensionnels non paramétriques et nous nous intéressons à l'estimation semiparamétrique des poids de la population. Ici, les observations i.i.d. sont supposées avoir au moins trois composantes qui sont indépendantes étant donné la population. Nous approximons le modèle semiparamétrique en projetant les distributions conditionnelles sur des fonctions d'échelon associées à une certaine partition. Notre premier résultat principal est que si nous raffinons la partition assez lentement, la séquence associée d'estimateurs du maximum de vraisemblance des poids est asymptotiquement efficace, et la distribution postérieure des poids, lorsqu'on utilise une procédure bayésienne, satisfait un théorème de Bernstein von Mises semiparamétrique. Nous proposons ensuite une procédure de type validation croisée pour sélectionner la partition dans un horizon fini. Notre deuxième résultat principal est que la procédure proposée satisfait une inégalité d'oracle. Des expériences numériques sur des données simulées illustrent nos résultats théoriques.

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Nous considérons un nouveau paradigme pour le test bayésien des hypothèses et la comparaison bayésienne des modèles. Notre alternative à la construction traditionnelle des probabilités postérieures qu'une hypothèse donnée est vraie ou que les données proviennent d'un modèle spécifique est de considérer les modèles comparés comme des composants d'un modèle de mélange. Nous remplaçons donc le problème de test original par un problème d'estimation qui se concentre sur le poids de la probabilité d'un modèle donné dans un modèle de mélange. Nous analysons la sensibilité de la distribution postérieure résultante sur les poids de diverses modélisations préalables sur les poids. Nous soulignons qu'un attrait majeur de l'utilisation de cette nouvelle perspective est que des prieurs génériques impropres sont acceptables, tout en ne mettant pas en péril la convergence. Entre autres caractéristiques, cela permet de résoudre le paradoxe de Lindley-Jeffreys. Lors de l'utilisation d'une antériorité de référence Bêta B(a,a) sur les poids du mélange, nous notons que la sensibilité des estimations postérieures des poids au choix de a disparaît avec l'augmentation de la taille de l'échantillon et préconisons le choix par défaut a=0,5, dérivé de Rousseau et Mengersen (2011). Une autre caractéristique de cette alternative facile à mettre en œuvre par rapport à la solution bayésienne classique est que les vitesses de convergence de la moyenne postérieure du poids et de la probabilité postérieure correspondante sont assez similaires.

Le calcul bayésien approximatif (ABC) est en train de devenir un outil accepté pour l'analyse statistique des modèles dont les vraisemblances sont difficiles à traiter. L'accent ayant été mis au départ sur l'importance pratique de l'ABC, l'exploration de ses propriétés statistiques formelles a commencé à attirer davantage l'attention. Dans cet article, nous considérons le comportement asymptotique de la postérieure obtenue par ABC et la moyenne postérieure qui en découle. Nous donnons des résultats généraux sur : (i) le taux de concentration de la postérieure ABC sur les ensembles contenant le vrai paramètre (vecteur). (ii) la forme limite de la postérieure. et\ (iii) la distribution asymptotique de la moyenne postérieure ABC. Ces résultats tiennent sous des taux donnés pour la tolérance utilisée dans ABC, des conditions de régularité légères sur les statistiques sommaires, et une condition liée à l'identification des vrais paramètres. À l'aide de simples exemples illustratifs qui ont fait l'objet de la littérature, nous démontrons que la condition d'identification requise est loin d'être garantie. Les implications des résultats théoriques pour les praticiens de l'ABC sont également soulignées.

Estimation bayésienne non paramétrique pour processus de Hawkes multidimensionnels. Congrés SMAI 2015.

Estimation bayésienne non paramétrique pour les processus de Hawkes. Réunion mondiale de la société internationale pour l'analyse bayésienne, ISBA 2014.

Nous considérons les modèles de Markov cachés (HMMs) stationnaires à espace d'état fini dans la situation où le nombre d'états cachés est inconnu. Nous fournissons une évaluation asymptotique fréquentiste des méthodes d'analyse bayésiennes. Notre résultat principal donne des taux de concentration postérieure pour les densités marginales, c'est-à-dire pour la densité d'un nombre fixe d'observations consécutives. En utilisant des conditions sur l'antériorité, nous sommes alors en mesure de définir un estimateur bayésien cohérent du nombre d'états cachés. On sait que la statistique de test du rapport de vraisemblance pour les HMM surajustés a un comportement non standard et n'est pas bornée. Nos conditions sur l'antériorité peuvent être considérées comme une façon de pénaliser les paramètres pour éviter ce phénomène. L'inférence des paramètres est une tâche beaucoup plus difficile que l'inférence des densités marginales, nous fournissons toujours une description précise de la situation lorsque les observations sont i.i.d. et nous permettons deux états cachés possibles.

Les méthodes empiriques de Bayes sont souvent considérées comme un pont entre l'inférence classique et l'inférence bayésienne. En fait, dans la littérature, le terme "empirical Bayes" est utilisé dans des contextes très divers et avec des motivations différentes. Dans cet article, nous donnons un bref aperçu des méthodes empiriques de Bayes en soulignant leur portée et leur signification dans différents problèmes. Nous nous concentrons sur les résultats récents concernant la fusion des distributions postérieures de Bayes et de Bayes empirique qui considèrent les procédures de Bayes empirique populaires, mais par ailleurs discutables, comme des approximations de solutions bayésiennes pratiques sur le plan informatique.

Dans cet article, nous considérons des mélanges de traduction finis non paramétriques. Nous prouvons que tous les paramètres du modèle sont identifiables dès lors que la matrice qui définit la distribution conjointe de deux variables latentes consécutives est non singulière et que les paramètres de traduction sont distincts. Sous cette hypothèse, nous fournissons un estimateur cohérent du nombre de populations, des paramètres de traduction et de la distribution de deux variables latentes consécutives, dont nous prouvons qu'ils sont asymptotiquement normalement distribués sous de légères hypothèses de dépendance. Nous proposons un estimateur non paramétrique de la densité inconnue traduite. Dans le cas où les variables latentes forment une chaîne de Markov (modèles de Markov cachés), nous prouvons une inégalité d'oracle conduisant au fait que cet estimateur est minimax adaptatif sur les classes de régularité des densités.

La majeur partie de cette these concerne les prorpietes asymptotiques de certaines regions de confiance. Elle s'ordonne autour de trois axes : le premier concerne l'etude des couvertures bayesiennes et frequentistes de deux types de regions de confiance, les regions hpd et les intervalles bilateraux joints, lorsque les observations ne sont pas discretes. Dans ces deux cas, des developpements asymptotiques des couvertures a posteriori et frequentistes sont obtenus, ainsi que des conditions de concordance entre les deux approches. Le deuxieme axe concerne l'existence de developpements asymptotiques, a des ordres superieurs, de couvertures frequentistes de certaines regions de confiance dans le cas discret. Le troisieme etudie l'efficacite de corrections de continuite sur ces developpements asymptotiques (toujours dans le cas discret), determine des proprietes asymptotiques a des ordres superieurs de ces regions corrigees. Pour chacun des ces trois axes, l'existence de parametres de nuisance est consideree. Le dernier chapitre concerne l'estimation ponctuelle en etudiant le risque de bayes asymptotique pour une large famille de fonctions de perte.