ALASSEUR Clemence

Cette thèse est composée de deux parties indépendantes. La première partie se focalise sur l'application du problème du Principal-Agent (c.f. Cvitanic & Zhang (2013) et Cvitanic. et al. (2018)) pour la résolution de problématiques de modélisations sur les marchés d'énergie. La deuxième porte sur les lois jointes d'une martingale et de son maximum courant.Nous nous intéressons dans un premier lieu au marché des capacités électriques, et en particulier les mécanismes de rémunération de capacité. Étant donné la part croissante des énergies renouvelables dans la production d'électricité, les centrales de production "classiques" (à gaz où à charbon par exemple) sont de moins en moins sollicitées, ce qui les rends peu rentables et non viable économiquement. Cependant, leur fermeture exposerait les consommateurs à un risque de Blackout en cas de pic de demande d'électricité, puisque celle-ci ne peut pas être stockée. Ainsi, la capacité de production doit être toujours maintenue à un niveau au-dessus de la demande, ce qui nécessite un "mécanisme de rémunération de capacités" pour rémunérer les centrales rarement sollicitées, ce qui peut être compris comme une assurance à payer contre les Black-out électriques.Nous traitons ensuite la problématique des incitations à la décarbonation. L'objectif est de proposer un modèle d'instrument qui puisse être utilisé par un agent public (l'état) en vue d'inciter les différents secteurs à baisser leurs émissions de carbone dans un contexte de risque moral (où l'état n'observe pas l'effort des acteurs et ne peut donc pas savoir si une baisse des émissions provient d'une baisse de production et de consommation ou d'un effort de gestion. investissement en recherche et développement). ce qui fournit une alternative à la taxe carbone qui nécessite une information parfaite.La deuxième partie (indépendante) est motivée par la calibration de modèles et l'arbitrage sur un marché financier avec des options barrière. Elle présente un résultat sur les lois jointes d'une martingale et son maximum courant. Nous considérons une famille de probabilités en dimension 2, et nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes assurant l'existence d'une martingale telle que ses lois marginales couplées avec ceux de son maximum courant coïncident avec les probabilités données.Nous suivons la méthodologie de Hirsch et Roynette (2012) basée sur une construction de martingale par EDS associée à une EDP bien posée de Fokker-Planck vérifiée par les lois marginales données sous des hypothèses de régularité, puis dans un cadre général avec une régularisation et un passage à la limite.

Dans cette thèse, nous nous intéressons principalement à trois thèmes de recherche, relativement indépendants, mais néanmoins connexes au travers du fil conducteur des interactions et incitations, comme souligné dans l'introduction constituant le premier chapitre.Dans la première partie, nous présentons des extensions de la théorie des contrats, permettant notamment de considérer une multitude de joueurs dans des modèles principal-agent, avec contrôle du drift et de la volatilité, en présence d'aléa moral. En particulier, le chapitre 2 présente un problème d'incitations optimales en temps continu au sein d'une hiérarchie, inspiré du modèle à une période de Sung (2015) et éclairant à deux égards : d'une part, il présente un cadre où le contrôle de la volatilité intervient de manière parfaitement naturelle, et, d'autre part, il souligne l'importance de considérer des modèles en temps continu. En ce sens, cet exemple motive l'étude complète et générale des modèles hiérarchiques effectuée dans le troisième chapitre, qui va de pair avec la théorie récente des équations différentielles stochastiques du second ordre (2EDSR). Enfin, dans le chapitre 4, nous proposons une extension du modèle principal-agent développé par Aïd, Possamaï et Touzi (2019) à un continuum d'agents, dont les performances sont en particulier impactées par un aléa commun. Ces études nous guident notamment vers une généralisation des contrats dits révélateurs, proposés initialement par Cvitanić, Possamaï et Touzi (2018) dans un modèle à un seul agent.Dans la deuxième partie, nous présentons deux applications des problèmes principal-agent au domaine de l'énergie. La première, développée dans le chapitre 5, utilise le formalisme et les résultats théoriques introduits dans le chapitre précédent pour améliorer les programmes de réponse à la demande en électricité, déjà considérés par Aïd, Possamaï et Touzi (2019). En effet, en prenant en compte l'infinité de consommateurs que doit fournir en électricité un producteur, il est possible d'utiliser cette information supplémentaire pour construire les incitations optimales, afin notamment de mieux gérer le risque résiduel impliqué par les aléas climatiques. Dans un second temps, le chapitre 6 propose, à travers un modèle principal-agent avec sélection adverse, une assurance susceptible de prévenir certaines formes de précarité, en particulier la précarité énergétique.Enfin, nous terminons cette thèse par l'étude dans la dernière partie d'un second domaine d'application, celui de l'épidémiologie, et plus précisément le contrôle de la diffusion d'une maladie contagieuse au sein d'une population. Nous considérons en premier lieu dans le chapitre 7 le point de vue des individus, à travers un jeu à champs moyen : chaque individu peut choisir son taux d'interaction avec les autres, en conciliant d'un côté son besoin d'interactions sociales et de l'autre sa peur d'être à son tour contaminé, et de contribuer à la diffusion plus large de la maladie. Nous prouvons l'existence d'un équilibre de Nash entre les individus, et l'exhibons numériquement. Dans le dernier chapitre, nous prenons le point de vue du gouvernement, souhaitant inciter la population, représentée maintenant dans son ensemble, à diminuer ses interactions de manière à contenir l'épidémie. Nous montrons que la mise en place de sanctions en cas de non-respect du confinement peut s'avérer efficace, mais que, pour une maîtrise totale de l'épidémie, il est nécessaire de développer une politique de dépistage consciencieuse, accompagnée d'un isolement scrupuleux des individus testés positifs.

Nous considérons un réseau de prosommateurs impliqués dans des échanges d'énergie de pair à pair, avec des préférences de prix différenciées sur les échanges avec leurs voisins, et nous analysons deux conceptions de marché : (i) un marché centralisé, utilisé comme référence, où un opérateur de marché global optimise les flux (échanges) entre les nœuds, la demande locale et l'activation de l'exibilité pour maximiser le bien-être social global du système. (ii) un marché distribué de type peer-to-peer où les prosommateurs des communautés énergétiques locales optimisent égoïstement leurs échanges, la demande et l'activation de l'exibilité. Nous caractérisons d'abord la solution du marché pair-à-pair comme un équilibre variationnel et nous prouvons que l'ensemble des équilibres variationnels coïncide avec l'ensemble des solutions optimales en termes de bien-être social du modèle de marché (i). Nous donnons plusieurs résultats qui aident à comprendre la structure des échanges à un équilibre ou à l'optimum. Nous caractérisons l'impact des préférences sur la congestion des lignes du réseau et le surplus d'énergie renouvelable dans les deux conceptions. Nous fournissons un exemple réduit pour lequel nous donnons l'ensemble de tous les équilibres généralisés possibles, ce qui permet de donner une approximation du prix de l'anarchie. Nous fournissons un exemple plus réaliste qui s'appuie sur le réseau IEEE 14-bus, pour lequel nous pouvons simuler les échanges sous différents prix de préférence. Notre analyse montre en particulier que les préférences ont un impact important sur la structure des échanges, mais qu'un seul équilibre (variationnel) est optimal. Enfin, le mécanisme d'apprentissage nécessaire pour atteindre un état d'équilibre dans la conception du marché pair-à-pair est discuté ainsi que les questions de confidentialité.

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Nous considérons un modèle stylisé pour un réseau électrique avec production et stockage d'électricité locale distribuée. Ce système est modélisé comme un réseau de connexion d'un grand nombre de nœuds, où chaque nœud est caractérisé par une consommation locale d'électricité, a une production locale d'électricité (par exemple des panneaux photovoltaïques), et gère un dispositif de stockage local. En fonction de ses taux instantanés de consommation et de production ainsi que de sa décision de gestion du stockage, chaque nœud peut soit acheter soit vendre de l'électricité, ce qui a un impact sur le prix spot de l'électricité. L'objectif de chaque nœud est de minimiser les coûts d'énergie et de stockage en contrôlant de manière optimale le dispositif de stockage. Dans un cadre de jeu non coopératif, nous sommes conduits à l'analyse d'un jeu stochastique à somme non nulle avec $N$ joueurs où l'interaction a lieu à travers le mécanisme du prix spot. Pour un nombre infini d'agents, notre modèle correspond à un Extended Mean-Field Game (EMFG). Dans un cadre linéaire quadratique, nous obtenons une solution explicite de l'EMFG, nous montrons qu'elle fournit un équilibre de Nash approximatif pour un jeu à N$ joueurs, et nous comparons cette solution à la stratégie optimale d'un planificateur central.

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Nous considérons le cadre d'un problème de contrôle stochastique de haute dimension, dans lequel les contrôles sont agrégés dans la fonction de coût. Comme première contribution, nous introduisons un problème modifié, dont le contrôle optimal est, sous certaines hypothèses raisonnables, une solution ε-optimale du problème original. Comme deuxième contribution, nous présentons un algorithme décentralisé dont la convergence vers la solution du problème modifié est établie. Enfin, nous étudions l'application à un problème de coordination de la consommation d'énergie et de la production d'appareils domestiques.

Les producteurs d'électricité sont intéressés par la valorisation de la production de leur centrale. En négociant des contrats à terme, nous proposons de réduire la contingence du revenu associé en considérant les coûts fixes et en utilisant un critère de risque asymétrique. Dans un cadre asymptotique, nous fournissons une stratégie de couverture optimale à travers la solution d'une équation différentielle partielle non linéaire. Comme expérience numérique, nous analysons l'impact de la structure des coûts fixes sur la politique de couverture et la valeur des actifs.

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Nous considérons un modèle stylisé pour un réseau électrique avec production et stockage d'électricité locale distribuée. Ce système est modélisé comme un réseau de connexion d'un grand nombre de nœuds, où chaque nœud est caractérisé par une consommation locale d'électricité, a une production locale d'électricité (par exemple des panneaux photovoltaïques), et gère un dispositif de stockage local. En fonction de ses taux instantanés de consommation et de production ainsi que de sa décision de gestion du stockage, chaque nœud peut soit acheter soit vendre de l'électricité, ce qui a un impact sur le prix spot de l'électricité. L'objectif de chaque nœud est de minimiser les coûts d'énergie et de stockage en contrôlant de manière optimale le dispositif de stockage. Dans un cadre de jeu non coopératif, nous sommes conduits à l'analyse d'un jeu stochastique à somme non nulle avec $N$ joueurs où l'interaction a lieu à travers le mécanisme du prix spot. Pour un nombre infini d'agents, notre modèle correspond à un Extended Mean-Field Game (EMFG). Dans un cadre linéaire quadratique, nous obtenons une solution explicite de l'EMFG, nous montrons qu'elle fournit un équilibre de Nash approximatif pour un jeu à N$ joueurs, et nous comparons cette solution à la stratégie optimale d'un planificateur central.

La demande croissante de services satellites en bande large ainsi que la congestion des systèmes opérant aux fréquences traditionnelles poussent à envisager de nouveaux systèmes à des bandes de transmission supérieures à 10 GHz. Mais les comportements du LMSC (Land Mobile Satellite Channel) sont alors mal connus et nécessitent de tenir compte des perturbations atmosphériques, notamment la pluie. La mobilité des antennes pour l'émission et la réception fait également partie des problèmes des services satellites. Pour concevoir de nouveaux systèmes et des méthodes de compensation des pertes par adaptation dynamique, des modèles du canal et des précipitations sont alors nécessaires. Notre travail apporte tout d'abord une analysis du canal de propagation satellite aux fréquences Ku et Ka par l'étude d'une part de la puissance normalisée reçue et d'autre part des séries temporelles de taux de précipitation. Nous proposons ensuite des modèles ainsi que des méthodes d'extraction de leurs paramètres pour ces deux types de signaux. Deux approches, basées sur des outils MCMC (Monte Carlo Markov Chain), permettent une segmentation de la puissance normalisée du canal ainsi que l'extraction des paramètres du modèle de Markov caché sous-jacent. Une procédure d'évaluation d'une chaîne de Markov à deux niveaux pour modéliser le signal de taux de précipitation est également décrite. Enfin les méthodes développées sont appliquées à des données expérimentales et fournissent des modèles markoviens du signal de puissance du canal satellite et des taux de précipitation. La comparaison des statistiques du premier et second ordre entre les modèles et les mesures atteste de leur qualité.