BALABDAOUI Fadoua

Les modèles monotones à indice unique ont gagné en popularité au cours des dernières décennies en raison de leur flexibilité et de leur utilisation polyvalente dans divers domaines. Des estimateurs semi-paramétriques tels que les estimateurs des moindres carrés et du maximum de vraisemblance de l'indice inconnu et de la fonction de crête monotone ont été envisagés pour faire des inférences dans ces modèles sans avoir à choisir un paramètre d'accord. La description du comportement asymptotique de ces estimateurs dépend essentiellement de la bonne compréhension des problèmes d'optimisation associés aux critères de population correspondants. Dans cet article, nous donnons plusieurs aperçus de ces critères en prouvant l'existence de leurs minimiseurs sur des classes générales de paramètres. Afin de décrire ces minimiseurs, nous prouvons différents résultats qui donnent la direction de la variation des critères de population en général et dans le cas particulier où la distribution commune des covariables est gaussienne. Une étude de simulation complémentaire a été réalisée et dont les résultats viennent appuyer nos théorèmes principaux.

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Sur la base de l'estimateur convexe des moindres carrés, nous proposons deux procédures différentes pour tester la convexité d'une fonction de masse de probabilité soutenue sur N avec un support fini inconnu. On montre que les procédures sont asymptotiquement calibrées.

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Nous étudions le modèle monotone à indice unique où une variable de réponse réelle $Y$ est liée à une covariable de dimension $d$ $X$ par la relation $E[Y | X] = \Psi_0(\alpha^T_0 X)$ presque sûre. La fonction de crête, $\Psi_0$, et le paramètre d'indice, $\alpha_0$, sont tous deux inconnus et la fonction de crête est supposée être monotone sur son intervalle de support. Sous certaines conditions de régularité, sans imposer une distribution particulière sur l'erreur de régression, nous montrons le taux de convergence de $n^{-1/3}$ dans la norme $\ell_2$ pour l'estimateur des moindres carrés de la fonction groupée $\psi_0({\alpha}^T_0 \cdot),$ ainsi que celui de la fonction ridge et de l'indice séparément. De plus, nous montrons que l'estimateur des moindres carrés est presque paramétriquement adaptatif aux fonctions de crête constantes par morceaux.

Sur la base de l'estimateur convexe des moindres carrés, nous proposons deux procédures différentes pour tester la convexité d'une fonction de masse de probabilité soutenue sur N avec un support fini inconnu. On montre que les procédures sont asymptotiquement calibrées.

Cette thèse est une contribution au domaine de l'estimation non-paramétrique sous contrainte de forme. Les fonctions sont discrètes et la forme considérée, appelée k-monotonie, k désignant un entier supérieur à 2, est une généralisation de la convexité. L'entier k constitue un indicateur du degré de creux d'une fonction convexe. Le manuscrit est structuré en trois parties en plus de l'introduction, de la conclusion et d'une annexe.Introduction :L'introduction comprend trois chapitres. Le premier présente un état de l'art de l'estimation de densité sous contrainte de forme. Le second est une synthèse des résultats obtenus au cours de la thèse, disponible en français et en anglais. Enfin, le Chapitre 3 regroupe quelques notations et des résultats mathématiques utilisés au cours du manuscrit.Partie I : Estimation d'une densité discrète sous contrainte de k-monotonieDeux estimateurs des moindres carrés d'une distribution discrète p* sous contrainte de k-monotonie sont proposés. Leur caractérisation est basée sur la décomposition en base de spline des suites k-monotones, et sur les propriétés de leurs primitives. Les propriétés statistiques de ces estimateurs sont étudiées. Leur qualité d'estimation, en particulier, est appréciée. Elle est mesurée en terme d'erreur quadratique, les deux estimateurs convergent à la vitesse paramétrique. Un algorithme dérivé de l'Algorithme de Réduction de Support est implémenté et disponible au R-package pkmon. Une étude sur jeux de données simulés illustre les propriétés de ces estimateurs. Ce travail a été publié dans Electronic Journal of Statistics (Giguelay, 2017).Partie II : Calculs de bornes de risqueDans le premier chapitre de la Partie II, le risque quadratique de l'estimateur des moindres carrés introduit précédemment est borné. Cette borne est adaptative en le sens qu'elle dépend d'un compromis entre la distance de p* à la frontière de l'ensemble des densités k-monotones à support fini, et de la complexité (en terme de décomposition dans la base de spline) des densités appartenant à cet ensemble qui sont suffisamment proches de p*. La méthode est basée sur une formulation variationnelle du risque proposée par Chatterjee (2014) etgénéralisée au cadre de l'estimation de densité. Par la suite, les entropies à crochet des espaces fonctionnels correspondants sont calculées afin de contrôler le supremum de processus empiriques impliqué dans l'erreur quadratique. L'optimalité de la borne de risque est ensuite discutée au regard des résultats obtenus dans le cas continu et dans le cadre de la régression.Dans le second chapitre de la Partie II, des résultats complémentaires sur les entropies à crochet pour les espaces de fonctions k-monotones sont donnés.Partie III : Estimation du nombre d'espèces dans une population et tests de k-monotonieLa dernière partie traite du problème de l'estimation du nombre d'espèces dans une population. La modélisation choisie est celle d'une distribution d'abondance commune à toutes les espèces et définie comme un mélange. La méthode proposée repose sur l'hypothèse de k-monotonie d'abondance. Cette hypothèse permet de rendre le problème de l'estimation du nombre d'espèces identifiable. Deux approches sont proposées. La première est basée sur l'estimateur des moindres carrés sous contrainte de k-monotonie, tandis que la seconde est basée sur l'estimateur empirique. Les deux estimateurs sont comparés sur une étude sur données simulées. L'estimation du nombre d'espèces étant fortement dépendante du degré de k-monotonie choisi dans le modèle, trois procédures de tests multiples sont ensuite proposées pour inférer le degré k directement sur la base des observations. Le niveau et la puissance de ces procédures sont calculés, puis évalués au moyen d'une étude sur jeux de données simulés et la méthode est appliquée sur des jeux de données réels issus de la littérature.

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Dans cet article, nous dérivons la distribution limite faible de l'estimateur des moindres carrés (LSE) d'une fonction de masse de probabilité convexe (pmf) avec un support fini. Nous montrons qu'elle peut être définie par une certaine projection convexe d'un vecteur gaussien. De plus, des échantillons de taille donnée de cette distribution limite peuvent être générés en utilisant un algorithme efficace de type Dykstra.

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Nous montrons que la densité de Z = argmaxfW (t) t 2 g, parfois appelée densité de Cherno, est log-concave. Nous conjecturons que la densité de Cherno est fortement log-concave ou "super-gaussienne", et fournissons des preuves à l'appui de cette conjecture. Nous montrons également que la densité normale standard peut être écrite sous la même forme structurelle que la densité de Cherno, nous établissons des liens avec la classe des densités hyperboliquement complètement monotones de L. Bondesson et nous identifions une grande sous-classe de ces densités dont les log-formes par rapport à R sont fortement log-concaves.

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