BARRASSO Adrien

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Nous nous intéressons aux EDP semi-linéaires dépendant du chemin, où les dérivées sont de type Gâteaux dans des directions spécifiques k et b, étant les fonctions noyau d'un processus gaussien de Volterra X. Sous certaines conditions sur k, b et les coefficients de l'EDP, nous prouvons l'existence et l'unicité d'une solution douce découplée, une notion introduite dans un article précédent des auteurs. Nous montrons également que la solution de l'EDP peut être représentée par des BSDE où le processus direct (sous-jacent) est X.

L'article présente et étudie l'extension naturelle à la configuration dépendant du chemin du concept habituel de classe canonique de Markov introduit par Dynkin et qui est à la base de la théorie des processus de Markov. Cette extension, indexée par les chemins de départ plutôt que par les points de départ, sera appelée classe canonique dépendante du chemin. A cela s'ajoute la généralisation des notions de semi-groupe et de fonctionnelles additives au cadre dépendant du chemin. Un exemple typique d'une telle famille est constitué par les lois $({\mathbb P}^{s,η})_{(s,\eta) \in {\mathbb R} \times \Omega}$, où pour un temps s et un chemin η fixes définis sur [0, s], $({\mathbb P}^{s,η})_{(s,\eta) \in {\mathbb R} \times \Omega}$ étant la solution (unique) d'un problème de martingale dépendant du chemin ou plus spécifiquement une solution faible d'une EDS dépendant du chemin avec sauts, avec le chemin initial η. Dans un article complémentaire, nous appliquons ces résultats à l'étude des problèmes d'analyse dépendant du chemin associés aux BSDE.

Nous nous concentrons sur une classe de problèmes dépendant du chemin, qui comprend les EDP et les EDP intégro (en bref, les EDPI), et leur représentation via des BSDE pilotés par une martingale de cadencement. Pour ces équations, nous introduisons la notion de {\solution douce découplée} pour laquelle, sous des hypothèses générales, nous étudions l'existence et l'unicité et sa représentation via les BSDEs susmentionnés. Ce concept généralise une notion similaire introduite par les auteurs dans des articles récents dans le cadre des EDP classiques et des EIPD. Pour toute condition initiale $(s,\eta)$, où $s$ est un temps initial et $\eta$ un chemin initial, la solution d'une telle BSDE produit un couple de processus $(Y^{s,\eta},Z^{s,\eta})$. Dans la littérature classique (markovienne ou non) la fonction $u(s,\eta):= Y^{s,\eta}_s$ constitue une solution de type viscosité d'une EDP (resp. IPDE) associée. Notre approche permet non seulement d'identifier $u$ comme l'unique solution douce découplée, mais aussi de résoudre de manière assez générale le problème dit d'identification de la solution, c'est-à-dire de caractériser également les processus $(Z^{s,\eta})_{s,\eta}$ en terme d'une fonction déterministe $v$ associée à la solution (douce découplée ci-dessus) $u$.

L'article présente et étudie l'extension naturelle à la configuration dépendant du chemin du concept habituel de classe canonique de Markov introduit par Dynkin et qui est à la base de la théorie des processus de Markov. Cette extension, indexée par les chemins de départ plutôt que par les points de départ, sera appelée classe canonique dépendante du chemin. A cela s'ajoute la généralisation des notions de semi-groupe et de fonctionnelles additives au cadre dépendant du chemin. Un exemple typique d'une telle famille est constitué par les lois $({\mathbb P}^{s,η})_{(s,\eta) \in {\mathbb R} \times \Omega}$, où pour un temps s et un chemin η fixes définis sur [0, s], $({\mathbb P}^{s,η})_{(s,\eta) \in {\mathbb R} \times \Omega}$ étant la solution (unique) d'un problème de martingale dépendant du chemin ou plus spécifiquement une solution faible d'une EDS dépendant du chemin avec sauts, avec le chemin initial η. Dans un article complémentaire, nous appliquons ces résultats à l'étude des problèmes d'analyse dépendant du chemin associés aux BSDE.

Cette thèse introduit une nouvelle notion de solution pour des équationsd'évolution non-linéaires déterministes, appellées solutionsmild découplées.Nous revisitons les liens entre équations différentielles rétrogrades(EDSRs) markoviennes browniennes et EDPsparaboliques semilinéaires en montrant que, sous de très faibles hypothèses,les EDSRs produisent une unique solution mild découplée d'une EDP.Nous étendons ce résultat à de nombreuses autres équations déterministestelles que des Pseudo-EDPs, des Equations Intégrales aux Dérivées Partielles(EIDPs), des EDPs à drift distributionnel, ou des E(I)DPs à dépendancetrajectorielle. Les solutions de ces équations sont représentées via des EDSRs qui peuvent être sans martingale de référence, ou dirigées par des martingales cadlag. En particulier, cette thèse résout le problème d'identification,qui consiste, dans le cas classique d'une EDSR markovienne brownienne, à donner un sens analytique au processus Z, second membre de la solution (Y,Z) de l'EDSR. Dans la littérature, Y détermine en général une solution de viscosité de l'équation déterministe et ce problème d'identification n'est résolu que quand cette solution de viscosité a un minimum de régularité. Notre méthode permet de résoudre ce problème même dans le cas général d'EDSRs à sauts (non nécéssairement markoviennes).

Nous nous concentrons sur une classe de BSDEs pilotés par une martingale cadavérique et les BSDEs de type Markov correspondants qui apparaissent lorsque le caractère aléatoire du pilote apparaît à travers un processus de Markov. A ces BSDEs nous associons un problème déterministe qui, lorsque le processus de Markov est une diffusion brownienne, n'est rien d'autre qu'une EDP de type parabolique. La solution du problème déterministe est conçue comme une solution douce découplée, et elle est formulée à l'aide d'un semigroupe homogène dans le temps.

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Soit $(\mathbb{P}^{s,x})_{(s,x)\in[0,T]\times E}$ une famille de mesures de probabilité, où $E$ est un espace polonais, définie sur l'espace de probabilité canonique ${\mathbb D}([0,T],E)$ des fonctions cadrantes à valeur E$. Nous supposons qu'un problème de martingale par rapport à un générateur $a$ homogène dans le temps est bien posé.Nous considérons également un {\pseudo-PDE} semilinéaire associé, avec générateur $a$ pour lequel le problème est bien posé.Nous considérons également un Pseudo-PDE} semi-linéaire associé avec un générateur $a$ pour lequel nous introduisons une notion de solution douce découplée et étudions l'équivalence avec la notion de solution martingale introduite dans un article complémentaire.Nous étudions également le caractère bien posé des solutions douces découplées et leurs relations avec une classe spéciale de BSDEs sans martingale motrice.La notion de solution douce découplée est un bon candidat pour remplacer la notion de solution de viscosité qui n'est pas toujours appropriée lorsque la carte $a$ n'est pas un opérateur d'EDP.

Nous discutons une classe d'équations différentielles stochastiques rétroactives (BSDE) sans martingale motrice. Lorsque le caractère aléatoire du pilote dépend d'un processus de Markov général $X$, ces BSDEs sont appelées BSDEs Markoviennes et peuvent être associées à un problème déterministe, appelé Pseudo-PDE qui constitue la généralisation naturelle d'une PDE semi-linéaire parabolique qui apparaît naturellement lorsque la filtration sous-jacente est Brownienne. Nous considérons deux aspects du caractère bien posé des Pseudo-PDEs : les solutions "classiques" et "martingales".

Cette note développe brièvement la théorie des fonctionnelles additives homogènes dans le temps et constitue un support utile pour l'analyse des processus de Markov dépendant du temps et des sujets connexes. C'est un outil important pour l'analyse des BSDEs en droit. En particulier, nous étendons à une configuration non-homogène certains résultats concernant la variation quadratique et le crochet angulaire des fonctions additives de Martin-gale (en bref MAF) associées à un processus de Markov homogène.