BERTUCCI Charles

Cet article présente une nouvelle approche pour caractériser la dynamique du spectre limite de grandes matrices aléatoires. Cette approche est basée sur la notion que nous appelons "dominance spectrale". En particulier, nous montrons que la mesure spectrale limite peut être déterminée comme la dérivée de l'unique solution de viscosité d'une équation intégro-différentielle partielle. Cela permet également de faire des preuves générales et "courtes" pour le problème de convergence. Nous traitons les cas des mouvements browniens de Dyson, des processus de Wishart et présentons une classe générale de modèles pour lesquels cette caractérisation est valable.

Dans cet article, nous présentons une extension de l'algorithme d'Uzawa et l'appliquons à la construction de séquences approximatives de systèmes de jeux à champ moyen. Nous prouvons que les itérations d'Uzawa peuvent être utilisées dans une situation plus générale que celle dans laquelle elles sont habituellement utilisées. Nous présentons ensuite quelques résultats numériques de ces itérations sur des systèmes de jeux de champs moyens discrets d'arrêt optimal, de contrôle impulsif et de contrôle continu.

Cet article s'intéresse à la description de la densité de particules évoluant selon une certaine politique optimale d'un problème de contrôle des impulsions. Nous fixons d'abord des ensembles sur lesquels les particules sautent et expliquons comment nous pouvons caractériser une telle densité. Nous étudions ensuite le cas couplé dans lequel le problème de contrôle d'impulsion sous-jacent dépend de la densité que nous recherchons : les jeux à champ moyen de contrôle d'impulsion. Dans les deux cas, nous donnons une caractérisation variationnelle des densités de particules qui sautent.

Nous présentons une nouvelle notion de solution pour les équations maîtresses des jeux de champ moyen. Cette notion nous permet de travailler avec des solutions qui sont simplement continues. Nous prouvons les premiers résultats d'unicité et de stabilité pour de telles solutions. Il s'avère que cette notion est utile pour caractériser la fonction de valeur des jeux de champ moyen d'arrêt optimal ou de contrôle d'impulsion et c'est le sujet de la deuxième partie de cet article. La notion de solution que nous introduisons n'est utile que dans le cas monotone. Dans cet article, nous nous concentrons sur le cas des espaces d'états finis.

Il s'agit d'un travail en cours. L'objectif est de proposer un mécanisme plausible pour la dynamique à court terme du marché pétrolier basé sur l'interaction des agents économiques. Il s'agit d'une recherche théorique qui ne vise en aucun cas à décrire tous les aspects du marché pétrolier. En particulier, nous utilisons les outils et la terminologie de la théorie des jeux, mais nous ne prétendons pas que ce jeu existe réellement dans le monde réel. En parallèle, nous étudions et calibrons actuellement un modèle à long terme pour l'industrie pétrolière, qui traite des interactions entre un monopole et une frange concurrentielle de petits producteurs. Il fait l'objet d'un autre article qui sera bientôt disponible. La présente version préliminaire ne contient pas tous les arguments économiques et toutes les connexions avec notre modèle à long terme. Elle traite principalement de la description du modèle, des équations et des simulations numériques axées sur la dynamique à court terme de l'industrie pétrolière. Une version plus complète sera bientôt disponible.

Nous présentons des résultats d'existence, de régularité et d'unicité des solutions de l'équation maîtresse associée au problème de planification du champ moyen dans le cas d'un espace d'état fini, en présence d'un bruit commun. Les résultats sont valables sous des hypothèses de monotonicité, qui sont utilisées de manière cruciale dans les différentes preuves de l'article. Nous établissons également un lien avec les trajectoires induites par la solution de l'équation maîtresse et entamons une discussion sur le cas des conditions aux limites.

Cette note traite d'une question de modélisation découlant de la théorie des jeux de champ moyen. Nous montrons comment modéliser les jeux de champ moyen impliquant un joueur majeur qui a un avantage stratégique, tout en autorisant uniquement des stratégies markoviennes en boucle fermée pour tous les joueurs. Nous illustrons cette propriété à travers trois exemples.

Nous étudions dans cet article trois aspects des jeux à champ moyen. Le premier concerne le cas où la dynamique de chaque joueur dépend des stratégies des autres joueurs. Le second concerne la modélisation du " bruit " dans les modèles à espace discret et la formulation de l'équation maîtresse dans ce cas. Enfin, nous montrons comment les jeux en champ moyen se réduisent à des modèles à base d'agents lorsque le taux de préférence intertemporel va à l'infini, c'est-à-dire lorsque l'anticipation des joueurs disparaît.

Cet article s'intéresse à la description de la densité de particules évoluant selon une certaine politique optimale d'un problème de contrôle des impulsions. Nous fixons d'abord des ensembles sur lesquels les particules sautent et expliquons comment nous pouvons caractériser une telle densité. Nous étudions ensuite le cas couplé dans lequel le problème de contrôle d'impulsion sous-jacent dépend de la densité que nous recherchons : les jeux à champ moyen de contrôle d'impulsion. Dans les deux cas, nous donnons une caractérisation variationnelle des densités de particules qui sautent.

Dans cet article, nous présentons une extension de l'algorithme d'Uzawa et l'appliquons à la construction de séquences approximatives de systèmes de jeux à champ moyen. Nous prouvons que les itérations d'Uzawa peuvent être utilisées dans une situation plus générale que celle dans laquelle elles sont habituellement utilisées. Nous présentons ensuite quelques résultats numériques de ces itérations sur des systèmes de jeux de champs moyens discrets d'arrêt optimal, de contrôle impulsif et de contrôle continu.

Cette thèse s'intéresse à de nouveaux modèles de jeux à champ moyen. Tout d'abord, nous étudions les modèles d'arrêt optimal et de contrôle des impulsions dans le cas où il n'y a pas de bruit commun. Nous construisons une notion appropriée de solutions pour ces modèles. Nous prouvons l'existence et l'unicité de telles solutions sous des hypothèses naturelles. Ensuite, nous nous intéressons à plusieurs propriétés des jeux à champ moyen. Nous étudions la limite de ces modèles lorsque l'anticipation des joueurs disparaît. Nous montrons que l'unicité est valable pour les jeux de champ moyen fortement couplés (couplés par des stratégies) sous certaines hypothèses. Nous prouvons ensuite certains résultats de régularité pour l'équation maîtresse dans un cas d'espace d'état discret avec un bruit commun. Nous continuons en donnant une généralisation de l'algorithme d'Uzawa et nous l'appliquons pour résoudre numériquement certains jeux à champ moyen, en particulier les problèmes d'arrêt optimal et de contrôle des impulsions. Le dernier chapitre présente une application des jeux de champ moyen. Cette application provient de problèmes de télécommunications qui impliquent un grand nombre de dispositifs connectés.

Cette thèse porte sur l’étude de nouveaux modèles de jeux à champ moyen. On étudie dans un premier temps des modèles d’arrêt optimal et de contrôle impulsionnel en l’absence de bruit commun. On construit pour ces modèles une notion de solution adaptée pour laquelle on prouve des résultats d’existence et d’unicité sous des hypothèses naturelles. Ensuite, on s’intéresse à plusieurs propriétés des jeux à champ moyen. On étudie la limite de ces modèles vers des modèles d’évolution pures lorsque l’anticipation des joueurs tend vers 0. On montre l’unicité des équilibres pour des systèmes fortement couples (couples par les stratégies) sous certaines hypothèses. On prouve ensuite certains résultats de régularités sur une ”master equation” qui modélise un jeu à champ moyen avec bruit commun dans un espace d’états discret. Par la suite on présente une généralisation de l’algorithme standard d’Uzawa et on l’applique à la résolution numérique de certains modèles de jeux à champ moyen, notamment d’arrêt optimal ou de contrôle impulsionnel. Enfin on présente un cas concret de jeu à champ moyen qui provient de problèmes faisant intervenir un grand nombre d’appareils connectés dans les télécommunications.

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Nous étudions dans cet article trois aspects des jeux à champ moyen. Le premier concerne le cas où la dynamique de chaque joueur dépend des stratégies des autres joueurs. Le second concerne la modélisation du " bruit " dans les modèles à espace discret et la formulation de l'équation maîtresse dans ce cas. Enfin, nous montrons comment les jeux en champ moyen se réduisent à des modèles à base d'agents lorsque le taux de préférence intertemporel va à l'infini, c'est-à-dire lorsque l'anticipation des joueurs disparaît.