WAN Cheng

Les jeux agrégatifs ont de nombreuses applications industrielles, et le calcul d'un équilibre dans ces jeux est un défi lorsque le nombre de joueurs est grand. Dans le cadre de jeux agrégatifs atomiques avec des contraintes de couplage, nous montrons que les équilibres variationnels de Nash d'un grand jeu agrégatif peuvent être approximés par un équilibre de Wardrop d'un jeu de population auxiliaire de plus petite dimension. Chaque population de ce jeu auxiliaire correspond à un groupe de joueurs atomiques du grand jeu initial. Cette approche permet un calcul efficace d'un équilibre approximé, car l'inégalité variationnelle caractérisant l'équilibre de Wardrop est de plus petite dimension que l'inégalité initiale. Ceci est illustré sur un exemple dans le contexte du réseau intelligent.

Nous considérons un réseau de prosommateurs impliqués dans des échanges d'énergie de pair à pair, avec des préférences de prix différenciées sur les échanges avec leurs voisins, et nous analysons deux conceptions de marché : (i) un marché centralisé, utilisé comme référence, où un opérateur de marché global optimise les flux (échanges) entre les nœuds, la demande locale et l'activation de l'exibilité pour maximiser le bien-être social global du système. (ii) un marché distribué de type peer-to-peer où les prosommateurs des communautés énergétiques locales optimisent égoïstement leurs échanges, la demande et l'activation de l'exibilité. Nous caractérisons d'abord la solution du marché pair-à-pair comme un équilibre variationnel et nous prouvons que l'ensemble des équilibres variationnels coïncide avec l'ensemble des solutions optimales en termes de bien-être social du modèle de marché (i). Nous donnons plusieurs résultats qui aident à comprendre la structure des échanges à un équilibre ou à l'optimum. Nous caractérisons l'impact des préférences sur la congestion des lignes du réseau et le surplus d'énergie renouvelable dans les deux conceptions. Nous fournissons un exemple réduit pour lequel nous donnons l'ensemble de tous les équilibres généralisés possibles, ce qui permet de donner une approximation du prix de l'anarchie. Nous fournissons un exemple plus réaliste qui s'appuie sur le réseau IEEE 14-bus, pour lequel nous pouvons simuler les échanges sous différents prix de préférence. Notre analyse montre en particulier que les préférences ont un impact important sur la structure des échanges, mais qu'un seul équilibre (variationnel) est optimal. Enfin, le mécanisme d'apprentissage nécessaire pour atteindre un état d'équilibre dans la conception du marché pair-à-pair est discuté ainsi que les questions de confidentialité.

Cet article montre l'existence de O(1/n^γ)-équilibres de Nash dans les jeux agrégatifs non coopératifs à n joueurs où les fonctions de coût des joueurs ne dépendent que de leur propre action et de la moyenne des actions de tous les joueurs, et sont semi-continues inférieures dans le premier cas et γ-Hölder continues dans le second. Ni les ensembles d'actions ni les fonctions de coût ne doivent être convexes. Pour une classe importante de jeux agrégatifs qui inclut les jeux de congestion avec γ étant 1, un algorithme proximal de meilleure réponse est utilisé pour construire un équilibre de Nash O(1/n) avec au plus O(n^3) itérations. Ces résultats sont appliqués dans un exemple numérique de gestion de la demande du système électrique. La performance asymptotique de l'algorithme est illustrée lorsque n tend vers l'infini.

Nous définissons et analysons la notion d'équilibre variationnel de Wardrop pour les jeux agrégatifs non atomiques avec une infinité de types de joueurs. Ces équilibres sont caractérisés par une inégalité varia-tionnelle de dimension infinie. Nous montrons, sous des conditions de monotonicité, un théorème de convergence permettant d'approximer un tel équilibre avec une précision arbitraire. Pour cela, nous introduisons une séquence de jeux non atomiques avec un nombre fini de types de joueurs, qui approxime le jeu initial. Nous montrons l'existence d'un équilibre symétrique de Wardrop dans chacun de ces jeux. Nous prouvons que ces équilibres symétriques convergent vers un équilibre du jeu infini, et qu'ils peuvent être calculés comme solutions d'inégalités variationnelles de dimension finie. Le modèle est illustré par un exemple tiré des réseaux intelligents : la description d'une grande population de consommateurs d'électricité par une distribution paramétrique donne un jeu non atomique avec une infinité de types de joueurs différents, avec des actions soumises à des contraintes de couplage.

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Le calcul d'un équilibre dans les jeux de congestion peut être difficile lorsque le nombre de joueurs est important. Pourtant, c'est un problème à traiter en pratique, par exemple pour prévoir l'état du système et être capable de le contrôler. Dans ce travail, nous analysons le cas des jeux de congestion atomiques généralisés, avec des contraintes de couplage, et avec des joueurs qui sont hétérogènes par leurs ensembles d'actions et leurs fonctions d'utilité. Nous obtenons une approximation des équilibres de Nash variationnels - une notion généralisant les équilibres de Nash en présence de contraintes de couplage - d'un grand jeu de congestion atomique par un équilibre d'un jeu à population auxiliaire, où chaque population correspond à un groupe de joueurs atomiques du jeu initial. Comme les inégalités variationnelles caractérisant l'équilibre du jeu auxiliaire ont une dimension plus petite que le problème initial, cette approche permet le calcul rapide d'une estimation des équilibres dans un grand jeu de congestion avec des milliers de joueurs hétérogènes.

Après avoir défini un profil d'action pure dans un jeu agrégatif non atomique, où les joueurs ont des ensembles d'action pure convexes compacts spécifiques et des fonctions de coût convexes non lisses, comme une fonction intégrable carrée, nous caractérisons un équilibre de Wardrop comme une solution à une inégalité variationnelle généralisée de dimension infinie. Nous montrons l'existence de l'équilibre de Wardrop et de l'équilibre de Wardrop variationnel, un concept d'équilibre adapté à la présence de contraintes de couplage, dans les jeux agrégatifs non atomiques monotones. L'unicité de l'équilibre de Wardrop (variationnel) est prouvée pour les jeux agrégatifs non atomiques strictement ou agrégativement strictement monotones. Nous montrons ensuite que, pour une séquence de jeux agrégatifs à nombre fini de joueurs avec des contraintes agrégatives, si les ensembles d'actions pures des joueurs convergent vers ceux d'un jeu agrégatif non atomique fortement (resp. fortement) monotone. En particulier, cela permet la construction d'une séquence auxiliaire de jeux avec des équilibres de dimension finie pour approximer l'équilibre de dimension infinie dans un tel jeu non atomique. Enfin, nous montrons comment construire des jeux auxiliaires à joueurs finis pour deux classes générales de jeux non atomiques.

Nous considérons une instance d'un jeu de routage non atomique. Nous supposons que le réseau est parallèle, c'est-à-dire constitué de seulement deux nœuds, une origine et une destination. Nous considérons des joueurs infinitésimaux qui ont un coût de réseau symétrique, mais qui sont hétérogènes par leur ensemble de stratégies réalisables et leurs utilités individuelles. Nous montrons que si une instance de jeu de routage atomique est correctement définie pour se rapprocher de l'instance non atomique, alors un équilibre de Nash atomique se rapprochera de l'équilibre de Wardrop non atomique. Nous donnons des limites explicites sur la distance entre les équilibres en fonction des paramètres de l'instance atomique. Cette approximation donne une méthode pour calculer l'équilibre de Wardrop avec une précision arbitraire.

Nous considérons une instance d'un jeu de routage non atomique. Nous supposons que le réseau est parallèle, c'est-à-dire constitué de seulement deux nœuds, une origine et une destination. Nous considérons des joueurs infinitésimaux qui ont un coût de réseau symétrique, mais qui sont hétérogènes par leur ensemble de stratégies réalisables et leurs utilités individuelles. Nous montrons que si une instance de jeu de routage atomique est correctement définie pour se rapprocher de l'instance non atomique, alors un équilibre de Nash atomique se rapprochera de l'équilibre de Wardrop non atomique. Nous donnons des limites explicites sur la distance entre les équilibres en fonction des paramètres de l'instance atomique. Cette approximation donne une méthode pour calculer l'équilibre de Wardrop avec une précision arbitraire.

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Nous étudions des jeux avec un nombre fini de participants, chacun ayant un nombre fini de choix. Nous considérons les catégories suivantes de participants : (I) les populations : ensembles d'agents non atomiques, (II) les joueurs atomiques divisibles, (III) les joueurs atomiques non divisibles. Nous rappelons et comparons les propriétés de base, exprimées par des inégalités variationnelles, concernant les équilibres, les jeux potentiels et les jeux dissipatifs, ainsi que la dynamique évolutive. Nous considérons ensuite les jeux composites où les trois catégories de participants sont présentes, un exemple typique étant les jeux de congestion, et nous étendons les propriétés précédentes des équilibres et de la dynamique. Enfin, nous décrivons une instance de jeu potentiel composite.

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Un scénario important pour les réseaux intelligents qui englobent des réseaux électriques distribués est donné par la présence simultanée d'agrégateurs et de consommateurs individuels. Dans ce travail, un agrégateur est considéré comme une entité (une coalition) qui est capable de gérer conjointement la demande d'énergie d'un grand groupe de consommateurs ou d'utilisateurs. Plus précisément, la demande consiste à charger la batterie d'un véhicule électrique (EV). La façon dont les utilisateurs de VE chargent leurs batteries est importante car elle a un fort impact sur le réseau, en particulier sur les coûts du réseau de distribution (par exemple, en termes de pertes par effet Joule ou de vieillissement des transformateurs). Comme la politique de charge est choisie par les utilisateurs ou les agrégateurs, le problème de la charge est naturellement distribué. Il s'avère que l'un des outils adaptés pour aborder ce scénario hétérogène n'a été introduit que récemment, à savoir, à travers la notion de jeux composites. Cet article exploite pour la première fois dans la littérature sur les réseaux intelligents la notion de jeu composite et d'équilibre. En supposant un profil de charge rectangulaire pour un VE, une analyse d'équilibre composite est menée, suivie d'une analyse détaillée d'une étude de cas qui suppose trois périodes de charge ou créneaux horaires possibles. Les résultats analytiques et numériques fournis permettent de mieux comprendre la relation entre la taille (qui est une mesure) de la coalition et la somme des coûts du réseau. En particulier, un dilemme social, une situation où tout le monde préfère faire défection unilatéralement plutôt que de coopérer, alors que la conséquence est la pire pour tous, est présenté.

Dans un jeu de congestion composite de réseau, deux types de joueurs (joueur non atomique de poids zéro et joueur atomique fractionnable de poids positif) ont des comportements stratégiques différents. Les propriétés statistiques de l'équilibre ont été étudiées récemment. Ce travail considère les aspects dynamiques, c'est-à-dire l'évolution du comportement des joueurs aux états de déséquilibre. Supposons que les joueurs ajustent leurs stratégies d'une manière égoïste et myope. L'évolution du profil stratégique peut être approximée par un système dynamique à temps continu. On montre que plusieurs dynamiques bien connues dans le cadre des jeux de population (donc avec seulement des joueurs non atomiques) telles que les dynamiques de réplicateur, BNN, Smith, et deux projections peuvent bien être adaptées à ce cadre plus général avec des joueurs hétérogènes. Leurs propriétés asymptotiques sont analysées. Explicitement, on cherche sous quelle condition ces dynamiques convergent vers les équilibres.

L'approche principale du travail est de caractériser un équilibre comme une solution à un problème d'inégalité variationnelle (VIP). Ensuite, certaines "fonctions d'écart" connues, dont les points minimaux coïncident avec les solutions du VIP, sont des candidats naturels pour servir de fonction de Lyapunov dans la dynamique correspondante.

Ce travail est le premier à étudier la dynamique dans les jeux de congestion composites ou plus généralement dans les jeux avec des joueurs hétérogènes similaires (qui ne sont pas rares en économie). En outre, certaines des dynamiques peuvent être adaptées (via une formulation de l'équilibre par des inégalités quasi-variationnelles) à des problèmes d'équilibre généralisé où l'espace stratégique d'un joueur dépend des stratégies de ses adversaires. Ce cadre est plus réaliste lorsqu'on prend en compte les contraintes du monde réel telles que la capacité routière ou la capacité de production.

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Ce travail étudie un nouveau jeu stratégique appelé jeu de délégation. Un jeu de délégation est associé à un jeu de base avec un nombre fini de joueurs où chaque joueur a un poids entier fini et sa stratégie consiste à le diviser en plusieurs parties entières et à assigner chaque partie à un sous-ensemble de facilités finies. Dans le jeu de délégation associé, un joueur divise son poids en plusieurs parties entières, confie chaque partie à un délégué indépendant et recueille la somme de leurs gains dans le jeu de base joué par ces délégués. Les gains d'équilibre de délégation, les gains d'équilibre de délégation cohérents et les chaînes cohérentes induisant ces gains dans un jeu de délégation sont définis. Plusieurs exemples sont fournis.

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Cette thèse est consacrée aux jeux évolutifs et aux jeux de congestion.Après une revue des études sur les jeux de congestion de réseau dans le chapitre 1, les chapitres 2 et 3 considèrent la relation entre la composition des joueurs (non atomique, atomique, composite) et le coût d'équilibre. En particulier, l'impact de la formation de coalitions est examiné.Les chapitres 4 et 5 introduisent le comportement de la délégation dans les jeux composites et les jeux divisibles en nombre entier. Plusieurs jeux de délégation et un processus de délégation sont définis et étudiés dans différents contextes. Le chapitre 6 se concentre sur une dynamique à deux niveaux qui modélise le phénomène de sélection multi-niveaux. La thèse est conclue par un aperçu des études sur la dynamique de type réplicateur dans le chapitre 7.

Cette thèse contribue aux jeux évolutionnaires et aux jeux de congestion. Après un aperçu des études sur les jeux de congestion de réseau dans le chapitre 1, les chapitres 2 et 3 considèrent la relation entre la composition des joueurs (non atomique, atomique, composite) et le coût d'équilibre. En particulier, l'impact de la formation de coalitions est examiné. Les chapitres 4 et 5 introduisent le comportement de la délégation dans les jeux composites et les jeux divisibles en nombre entier. Plusieurs jeux de délégation et un processus de délégation sont définis et étudiés dans différents contextes. Enfin, les aspects dynamiques des jeux sont examinés. Le chapitre 6 se concentre sur une dynamique à deux niveaux qui modélise le phénomène de sélection multi-niveaux. La thèse est conclue par un aperçu des études sur la dynamique de type réplicateur dans le chapitre 7.