BROUSTE Alexandre

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Le présent article concerne l'estimation paramétrique du bruit gaussien fractionnel dans un schéma d'observation à haute fréquence. La séquence d'estimateurs du maximum de vraisemblance à une étape de Le Cam (OSMLE) est étudiée. Cette séquence est définie par une séquence initiale d'estimateurs quadratiques à base de variations généralisées (QGV) et une seule étape de notation de Fisher. Il est prouvé que la séquence d'OSMLE est asymptotiquement efficace comme la séquence d'estimateurs du maximum de vraisemblance mais qu'elle est beaucoup moins exigeante en termes de calcul. Elle est également avantageuse par rapport au QGV qui n'est pas efficace en termes de variance. Les performances des estimateurs sur des échantillons d'observation de taille finie sont illustrées au moyen de simulations de Monte-Carlo.

Le sujet de la thèse est l’estimation paramétrique et non-paramétrique dans des modèles de processus à sauts. La thèse est constituée de 3 parties qui regroupent 4 travaux. La première partie, qui est composée de deux chapitres, traite de l'estimation des paramètres de dérive et volatilité par des méthodes de contraste depuis des observations discrètes, avec pour objectif principal de minimiser les conditions sur le pas d'observation, afin que celui ci puisse par exemple aller arbitrairement lentement vers 0. La seconde partie de la thèse concerne des développements asymptotiques, et correction de biais, pour l'estimation de la volatilité intégrée. La troisième partie de la thèse, concerne l'estimation adaptative de la mesure stationnaire pour des processus à saut.

Cette thèse est dévolue à la statistique inférentielle asymptotique de différents modèles chronologiques dirigés par un bruit comportant de la mémoire. Dans ces modèles, l'estimateur des moindres carrés n'est pas consistant et nous considérons d'autres estimateurs. Nous commençons par étudier les propriétés asymptotiques presquesûres de l'estimateur du maximum de vraisemblance du coefficient d'autorégression dans un processus autorégressif dirigé par un bruit gaussien stationnaire. Nous présentons ensuite une procédure statistique afin de détecter un changement de régime au sein de ce modèle en s'inspirant du cas classique dirigé par un bruit blanc fort. Nous abordons ensuite un modèle autorégressif où les coefficients sont aléatoires et possèdent une courte mémoire. Là encore l'estimateur des moindres carrés n'est pas consistant et nouscorrigeons l'estimation afin d'estimer correctement les paramètres du modèle. Pour finir nous étudions un nouvel estimateur joint de l'exposant de Hurst et de la variance dans un bruit gaussien fractionnaire observé à haute fréquence dont les qualités sont comparables au maximum de vraisemblance.

Les temps moyens de défaillance sont des indicateurs fondamentaux en fiabilité et dans les domaines connexes. Nous nous concentrons ici sur le temps moyen de défaillance conditionnel défini dans un contexte semi-Markov. Nous utilisons un modèle semi-Markov à temps discret avec un espace d'état discret, ce qui permet une description réaliste des systèmes à risque. Notre objectif principal est d'estimer le temps moyen conditionnel jusqu'à la défaillance et de fournir les propriétés asymptotiques de son estimateur non paramétrique. Des résultats de cohérence et de normalité asymptotique sont fournis. Notre méthodologie est testée dans un ensemble de données éoliennes réelles et des indicateurs associés à la production d'énergie éolienne sont estimés.

Une nouvelle séquence d'estimateurs est introduite pour estimer les paramètres du bruit gaussien fractionnel à haute fréquence. Cette séquence est définie par une séquence initiale d'estimateurs basés sur des variations généralisées quadratiques (QGV) et une seule étape de notation de Fisher. Elle présente certains avantages par rapport à la séquence d'estimateurs du maximum de vraisemblance (MLE), qui est efficace en termes de taux et de variance, et par rapport à l'estimateur QGV, qui est uniquement efficace en termes de taux. En effet, elle est beaucoup moins exigeante en termes de calcul que l'ELM tout en conservant la variance asymptotique efficace. La faible efficience locale des marchés du pétrole brut est analysée par des tests d'hypothèse du rapport de vraisemblance basés sur l'estimation conjointe de la volatilité et de l'exposant de Hurst dans le schéma à haute fréquence.

Des modèles linéaires généralisés avec des variables explicatives catégorielles sont considérés et les paramètres du modèle sont estimés avec une méthode originale de maximum de vraisemblance exacte. L'existence d'une séquence d'estimateurs du maximum de vraisemblance est discutée et des considérations sur les fonctions de liaison possibles sont proposées. L'accent est ensuite mis sur deux distributions positives particulières : la distribution de Pareto 1 et les distributions log-normales décalées. Enfin, l'approche est illustrée sur un ensemble de données actuarielles pour modéliser les pertes d'assurance.

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Nous proposons un modèle dynamique pour la vitesse du vent qui est un processus de diffusion de Markov avec une distribution marginale de Weibull. Il présente plusieurs avantages, à savoir de belles caractéristiques de modélisation à la fois en termes de fonction de densité de probabilité marginale et de corrélation temporelle. Les caractéristiques peuvent être interprétées en termes de paramètres de forme et d'échelle d'une loi de Weibull, ce qui est pratique pour les praticiens qui souhaitent analyser les résultats. Nous calibrons les paramètres avec la méthode de quasi-Vraisemblance maximale et utilisons le modèle pour générer et prévoir le processus de vitesse du vent. Nous avons testé le modèle avec un ensemble de données sur la vitesse du vent fournies par le National Renewable Energy Laboratory. Le modèle s'adapte très bien aux données. De plus, nous obtenons une très bonne performance en prévision ponctuelle et probabiliste à court terme par rapport aux benchmarks.

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Le présent article décrit une nouvelle méthodologie permettant de tester la précision et d'évaluer la catégorie d'un système de pesée de pont en mouvement (BWIM). Elle est basée sur un test d'hypothèse composite statistique. Ce test statistique peut être construit soit dans le cadre non biaisé, soit dans le cadre asymptotique. Cette procédure est comparée à la référence détaillée par l'action COST 323 en termes d'écart type empirique maximal admissible pour être dans une classe fixe de précision. Cette méthodologie donne également des formules plus simples aux praticiens impliquant toujours le risque du consommateur et le risque du fournisseur mais aussi la taille de l'échantillon d'observation alors que la taille de l'échantillon d'observation est tabulée dans le benchmark.

Un cadre paramétrique est proposé pour modéliser les sinistres attritionnels et atypiques pour la tarification des assurances. Ce modèle s'appuie sur un modèle linéaire généralisé classique pour les sinistres attritionnels et sur un modèle de régression non standard à distribution Pareto généralisée pour les sinistres atypiques. Des estimateurs du maximum de vraisemblance (en forme fermée pour la partie du modèle linéaire généralisé et calculés avec la procédure des moindres carrés pondérés itérés pour la partie de la régression de la distribution de Pareto généralisée) sont proposés pour calibrer le modèle. Deux principes de prime (principe de la valeur attendue et principe de l'écart type) sont calculés sur un ensemble de données réelles de la garantie incendie d'un secteur d'activité d'une entreprise. Dans notre méthodologie, l'ajustement de la charge de sécurité dans les deux principes de prime est effectué pour répondre à une contrainte de solvabilité de sorte que la prime plafonne un quantile élevé de la distribution des sinistres annuels agrégés sur un portefeuille de référence.

Nous proposons un modèle dynamique pour la vitesse du vent qui est un processus de diffusion de Markov avec une distribution marginale de Weibull. Il présente plusieurs avantages, à savoir de belles caractéristiques de modélisation à la fois en termes de fonction de densité de probabilité marginale et de corrélation temporelle. Les caractéristiques peuvent être interprétées en termes de paramètres de forme et d'échelle d'une loi de Weibull, ce qui est pratique pour les praticiens qui souhaitent analyser les résultats. Nous calibrons les paramètres avec la méthode de quasi-Vraisemblance maximale et utilisons le modèle pour générer et prévoir le processus de vitesse du vent. Nous avons testé le modèle avec un ensemble de données sur la vitesse du vent fournies par le National Renewable Energy Laboratory. Le modèle s'adapte très bien aux données. De plus, nous obtenons une très bonne performance en prévision ponctuelle et probabiliste à court terme par rapport aux benchmarks.

Les temps moyens de défaillance sont des indicateurs fondamentaux en fiabilité et dans les domaines connexes. Nous nous concentrons ici sur le temps moyen de défaillance conditionnel défini dans un contexte semi-Markov. Nous utilisons un modèle semi-Markov à temps discret avec un espace d'état discret, ce qui permet une description réaliste des systèmes à risque. Notre objectif principal est d'estimer le temps moyen conditionnel jusqu'à la défaillance et de fournir les propriétés asymptotiques de son estimateur non paramétrique. Des résultats de cohérence et de normalité asymptotique sont fournis. Notre méthodologie est testée dans un ensemble de données éoliennes réelles et des indicateurs associés à la production d'énergie éolienne sont estimés.

La modélisation probabiliste des événements climatiques et environnementaux doit prendre en compte leur nature spatiale. Cette thèse porte sur l’étude de mesures de risque pour des processus spatiaux. Dans une première partie, nous introduisons des mesures de risque à même de prendre en compte la structure de dépendance des processus spatiaux sous-jacents pour traiter de données environnementales. Une deuxième partie est consacrée à l’estimation des paramètres de processus de type max-mélange. La première partie de la thèse est dédiée aux mesures de risque. Nous étendons les travaux réalisés dans [44] d’une part à des processus gaussiens, d’autre part à d’autres processus max-stables et à des processus max-mélange, d’autres structures de dépendance sont ainsi considérées. Les mesures de risque considérées sont basées sur la moyenne L(A,D) de pertes ou de dommages D sur une région d’intérêt A. Nous considérons alors l’espérance et la variance de ces dommages normalisés. Dans un premier temps, nous nous intéressons aux propriétés axiomatiques des mesures de risque, à leur calcul et à leur comportement asymptotique (lorsque la taille de la région A tend vers l’infini). Nous calculons les mesures de risque dans différents cas. Pour un processus gaussien, X, on considère la fonction d’excès : D+ X,u = (X−u)+ où u est un seuil fixé. Pour des processus max-stables et max-mélange X, on considère la fonction puissance : DνX = Xν. Dans certains cas, des formules semi-explicites pour les mesures de risque correspondantes sont données. Une étude sur simulations permet de tester le comportement des mesures de risque par rapport aux nombreux paramètres en jeu et aux différentes formes de noyau de corrélation. Nous évaluons aussi la performance calculatoire des différentes méthodes proposées. Celle-ci est satisfaisante. Enfin, nous avons utilisé une étude précédente sur des données de pollution dans le Piémont italien, celle-ci peuvent être considérées comme gaussiennes. Nous étudions la mesure de risque associée au seuil légal de pollution donnée par la directive européenne 2008/50/EC. Dans une deuxième partie, nous proposons une procédure d’estimation des paramètres d’un processus max-mélange, alternative à la méthode d’estimation par maximum de vraisemblance composite. Cette méthode plus classique d’estimation par maximum de vraisemblance composite est surtout performante pour estimer les paramètres de la partie max-stable du mélange (et moins performante pour estimer les paramètres de la partie asymptotiquement indépendante). Nous proposons une méthode de moindres carrés basée sur le F-madogramme : minimisation de l’écart quadratique entre le F-madogramme théorique et le F-madogramme empirique. Cette méthode est évaluée par simulation et comparée à la méthode par maximum de vraisemblance composite. Les simulations indiquent que la méthode par moindres carrés du F-madogramme est plus performante pour estimer les paramètres de la partie asymptotiquement indépendante.

Nous proposons une méthode efficace et rapide pour simuler des champs gaussiens fractionnaires conditionnels multidimensionnels avec le package FieldSim. Notre méthode est valable non seulement pour les simulations conditionnelles associées à des champs browniens fractionnaires, mais pour tout champ gaussien et sur toute grille de points (non régulière).

Le provisionnement des assurances est un sujet essentiel pour les actuaires et les universitaires. Dans cet article, nous présentons une méthode efficace de calcul de tous les indicateurs clés dans une approche unifiée de la théorie de la ruine et des méthodes de provisionnement des sinistres. Le cadre proposé permet de dériver des formules en forme fermée pour les indicateurs de la théorie de la ruine et des provisions pour sinistres. Une illustration numérique de ces indicateurs est réalisée sur un ensemble de données réelles provenant d'un assureur privé.

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L'énergie éolienne est une ressource intermittente en raison de l'intermittence de la vitesse du vent. Cependant, la vitesse du vent peut être décrite comme un processus stochastique à mémoire courte. Cela nous permet de dériver un théorème central limite pour la production annuelle ou pluriannuelle d'énergie éolienne, puis d'obtenir les quantiles de la production d'énergie éolienne pour des périodes futures de un, dix ou vingt ans. D'une part, l'écart interquantile offre une mesure des incertitudes intrinsèques de la production d'énergie éolienne. D'autre part, des quantiles différents avec des périodes de temps différentes sont utilisés par les institutions financières pour quantifier le risque financier de l'éolienne. Notre méthode est ensuite appliquée à des jeux de données réels correspondant à une éolienne française. Puisque les intervalles de confiance peuvent être améliorés en prenant en compte la saisonnalité, nous présentons quelques outils pour l'analyse des points de changement sur les séries éoliennes.

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L'objectif de cet article est d'identifier la saisonnalité intra-journalière dans une série temporelle de vitesse du vent. Suivant l'approche traditionnelle, la loi de probabilité marginale est de Weibull et, par conséquent, nous considérons la loi de Weibull saisonnière. Nous présentons une nouvelle procédure d'estimation et de décision pour estimer le paramètre d'échelle intra-journalier de la loi de Weibull saisonnière. Nous donnons également des outils statistiques de décision pour écarter ou non le paramètre de tendance et pour valider le modèle saisonnier.

Cette thèse porte sur l’analyse statistique de quelques modèles de processus stochastiques gouvernés par des bruits de type fractionnaire, en temps discret ou continu.Dans le Chapitre 1, nous étudions le problème d’estimation par maximum de vraisemblance (EMV) des paramètres d’un processus autorégressif d’ordre p (AR(p)) dirigé par un bruit gaussien stationnaire, qui peut être à longue mémoire commele bruit gaussien fractionnaire. Nous donnons une formule explicite pour l’EMV et nous analysons ses propriétés asymptotiques. En fait, dans notre modèle la fonction de covariance du bruit est supposée connue, mais le comportement asymptotique de l’estimateur (vitesse de convergence, information de Fisher) n’en dépend pas.Le Chapitre 2 est consacré à la détermination de l’entrée optimale (d’un point de vue asymptotique) pour l’estimation du paramètre de dérive dans un processus d’Ornstein-Uhlenbeck fractionnaire partiellement observé mais contrôlé. Nous exposons un principe de séparation qui nous permet d’atteindre cet objectif. Les propriétés asymptotiques de l’EMV sont démontrées en utilisant le programme d’Ibragimov-Khasminskii et le calcul de transformées de Laplace d’une fonctionnellequadratique du processus.Dans le Chapitre 3, nous présentons une nouvelle approche pour étudier les propriétés du mouvement brownien fractionnaire mélangé et de modèles connexes, basée sur la théorie du filtrage des processus gaussiens. Les résultats mettent en lumière la structure de semimartingale et mènent à un certain nombre de propriétés d’absolue continuité utiles. Nous établissons l’équivalence des mesures induites par le mouvement brownien fractionnaire mélangé avec une dérive stochastique, et en déduisons l’expression correspondante de la dérivée de Radon-Nikodym. Pour un indice de Hurst H > 3=4, nous obtenons une représentation du mouvement brownien fractionnaire mélangé comme processus de type diffusion dans sa filtration naturelle et en déduisons une formule de la dérivée de Radon-Nikodym par rapport à la mesurede Wiener. Pour H < 1=4, nous montrons l’équivalence de la mesure avec celle la composante fractionnaire et obtenons une formule pour la densité correspondante. Un domaine d’application potentielle est l’analyse statistique des modèles gouvernés par des bruits fractionnaires mélangés. A titre d’exemple, nous considérons le modèle de régression linéaire de base et montrons comment définir l’EMV et étudié son comportement asymptotique.

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Depuis l'utilisation pour des applications statistiques du mouvement brownien fractionnaire par Mandelbrot et Van Ness en 1968, une vaste littérature s'est constituée autour de l'estimation de l'autosimilarité et de la régularité hôlderienne. Dans'le cadre de l'analyse multifractale des séries de Fourier et des séries d'ondelettes (pleines et lacunaires), les séries aléatoires d'ondelettes basées sur un processus de branchement sont présentées. Leurs propriétés analytiques (bifractalité, dimension de Hausdorff du graphe non entière) et la simulation de leurs trajectoires montrent leur capacité à modéliser des processus intermittents. Une méthode d'estimation des deux paramètres du modèle (estimation du paramètre de régularité et du paramètre des lacunes) par filtrage d'une trajectoire est développée pour ce modèle. Elle trouvera une application naturelle pour la classification, en géophysique, des morphologies stylolitiques (roches sédimentaires de calcaire soumises à des processus de dissolution sous contrainte). Ces séries généralisent ainsi les propriétés du mouvement brownien fractionnaire et peuvent expliquer les phénomènes de persistance et de leptokurticité.