RICHOU Adrien

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Nous introduisons et étudions une nouvelle classe de problèmes de commutation optimale, à savoir le problème de commutation avec randomisation contrôlée, où une certaine extra-randomité a un impact sur le choix des modes de commutation et des coûts associés. Nous montrons que la valeur optimale du problème de commutation est liée à une nouvelle classe de BSDE multidimensionnels à réflexion oblique. Ces BSDEs permettent également de construire une stratégie optimale et donc de résoudre complètement le problème initial. L'autre contribution principale de notre travail est de prouver de nouveaux résultats d'existence et d'unicité pour ces BSDE à réflexion oblique. Ceci est réalisé par une étude attentive du domaine de réflexion et la construction d'un opérateur de réflexion oblique approprié afin d'invoquer les résultats de [7].

Nous apportons dans cette thèse quelques contributions à l’étude théorique et numérique de certains problèmes de contrôle stochastique, ainsi que leurs applications aux mathématiques financières et à la gestion des risques financiers. Ces applications portent sur des problématiques de valorisation et de couverture faibles de produits financiers, ainsi que sur des problématiques réglementaires. Nous proposons des méthodes numériques afin de calculer efficacement ces quantités pour lesquelles il n’existe pas de formule explicite. Enfin, nous étudions les équations différentielles stochastiques rétrogrades liées à de nouveaux problèmes de switching, avec incertitude sur les coûts.

Dans cet article, nous prouvons de nouveaux résultats de convergence améliorant ceux de Chassagneux, Elie et Kharroubi [Ann. Appl. Probab. 22 (2012) 971-1007] pour l'approximation en temps discret de BSDE multidimensionnels à réflexion oblique. Ces BSDE, apparaissant dans l'étude des problèmes de commutation, ont été considérés par Hu et Tang [Probab. Theory Related Fields 147 (2010) 89-121] et généralisés par Hamadène et Zhang [Stochastic Process. Appl.

Nous établissons un résultat d'existence et d'unicité pour une classe d'équations différentielles stochastiques multidimensionnelles quadratiques à rebours (BSDE). Cette classe est caractérisée par des contraintes sur certaines estimations a priori uniformes sur les solutions d'une séquence de BSDEs approximées. Nous présentons également des exemples d'applications efficaces. Notre approche s'appuie sur la stratégie développée par Briand et Elie dans [Stochastic Process. Appl. 123 2921-2939] concernant les BSDE quadratiques scalaires.

Dans cet article, nous prouvons certains résultats d'unicité pour les équations différentielles stochastiques quadratiques à rebours sans aucune hypothèse de convexité sur le générateur. Le cas borné est revisité tandis que de nouveaux résultats sont obtenus dans le cas non borné lorsque la condition terminale et le générateur dépendent du chemin d'une équation différentielle stochastique directe. Certains de ces résultats sont basés sur des estimations fortes sur Z qui sont intéressantes en elles-mêmes et pourraient être appliquées dans d'autres situations.

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Dans cet article, nous étudions l'existence et l'unicité des équations différentielles stochastiques arrière réfléchies multidimensionnelles dans un domaine convexe ouvert, permettant des directions de réflexion obliques. Dans un cadre markovien, en combinant des estimations a priori pour les équations pénalisées et des arguments de compacité, nous obtenons des résultats d'existence sous des hypothèses assez faibles sur le pilote des BSDE et la direction de réflexion, qui est autorisée à dépendre à la fois de Y et de Z. Dans un cadre non markovien, nous obtenons des résultats d'existence et d'unicité pour la direction de réflexion dépendant du temps et de Y. Nous utilisons dans ce cas des estimations de stabilité qui nécessitent certaines conditions de lissage sur le domaine et la direction de réflexion.

Notre objectif est d'établir les grandes déviations et les inégalités de concentration pour l'estimateur du maximum de vraisemblance du paramètre de dérive du processus d'Ornstein-Uhlenbeck sans larmes. Nous proposons une nouvelle stratégie pour établir les résultats des grandes déviations qui nous permet, via une transformation appropriée, de contourner la difficulté classique de la non-simplicité. Notre approche est valable dans le cas stable où le processus est récurrent positif ainsi que dans les cas instable et explosif où le processus est respectivement récurrent nul et transitoire. En dépit de cette trichotomie, nous fournissons également de nouvelles inégalités de concentration pour l'estimateur du maximum de vraisemblance.

Dans cet article, nous prouvons certains résultats d'unicité pour les équations différentielles stochastiques quadratiques à rebours sans aucune hypothèse de convexité sur le générateur. Le cas borné est revisité tandis que de nouveaux résultats sont obtenus dans le cas non borné lorsque la condition terminale et le générateur dépendent du chemin d'une équation différentielle stochastique directe. Certains de ces résultats sont basés sur des estimations fortes sur Z qui sont intéressantes en elles-mêmes et pourraient être appliquées dans d'autres situations.

Cet article traite de l'approximation numérique d'équations différentielles stochastiques markoviennes à rebours (BSDE) avec des générateurs à croissance quadratique par rapport à $z$ et des conditions terminales bornées. Nous étudions d'abord une légère modification de l'équation classique de programmation dynamique découlant de la discrétisation temporelle des BSDE. En utilisant un argument de linéarisation et les outils des martingales BMO, nous obtenons un théorème de comparaison, des estimations a priori et des résultats de stabilité pour la solution de ce schéma. Ensuite, nous fournissons un contrôle sur l'erreur de discrétisation temporelle d'ordre $\frac{1}{2}-\varepsilon$ pour tout $\varepsilon>0$. Dans la dernière partie, nous donnons un algorithme entièrement implémentable pour les BSDE quadratiques basé sur la quantification et illustrons nos résultats de convergence avec des exemples numériques.

Dans cet article, nous étudions le comportement qualitatif des schémas d'approximation pour les équations différentielles stochastiques rétroactives (BSDE) en introduisant une nouvelle notion de stabilité numérique. Pour le schéma d'Euler, nous fournissons des conditions suffisantes dans le cas unidimensionnel et multidimensionnel pour garantir la stabilité numérique. Nous effectuons ensuite une analyse de stabilité classique de Von Neumann dans le cas d'un pilote linéaire $f$ et exposons les conditions nécessaires pour obtenir la stabilité dans ce cas. Enfin, nous illustrons nos résultats par des applications numériques.

Nous étudions les propriétés de grand écart des estimateurs du maximum de vraisemblance pour le processus d'Ornstein-Uhlenbeck avec décalage. Nous proposons une nouvelle approche pour établir les principes de grande déviation qui nous permet, via une transformation appropriée, de contourner le problème classique de non-stepness. Nous estimons simultanément les paramètres de dérive et de décalage. D'une part, nous prouvons un principe de grande déviation pour les estimations du maximum de vraisemblance des paramètres de dérive et de décalage. De façon surprenante, nous trouvons que l'estimateur de dérive partage le même principe de grande déviation que celui établi précédemment pour le processus d'Ornstein-Uhlenbeck sans décalage. Des principes de grande déviation aigus sont également fournis. D'autre part, nous montrons que l'estimateur du maximum de vraisemblance du paramètre de décalage satisfait un principe de grande déviation avec une fonction de taux implicite très inhabituelle.

Dans [3], les auteurs ont prouvé que l'unicité tient parmi les solutions dont les exponentielles sont $L^p$ avec $p$ plus grand qu'une constante $\gamma$ ($p>\gamma$). Dans cet article, nous considérons le cas critique : $p=\gamma$. Nous prouvons que l'unicité tient parmi les solutions dont les exponentielles sont $L^\gamma$ sous l'hypothèse supplémentaire que le générateur est fortement convexe.

Nous étudions les propriétés de grand écart des estimateurs du maximum de vraisemblance pour le processus d'Ornstein-Uhlenbeck avec décalage. Nous proposons une nouvelle approche pour établir les principes de grande déviation qui nous permet, via une transformation appropriée, de contourner le problème classique de non-stepness. Nous estimons simultanément les paramètres de dérive et de décalage. D'une part, nous prouvons un principe de grande déviation pour les estimations du maximum de vraisemblance des paramètres de dérive et de décalage. De façon surprenante, nous trouvons que l'estimateur de dérive partage le même principe de grande déviation que celui établi précédemment pour le processus d'Ornstein-Uhlenbeck sans décalage. Des principes de grande déviation aigus sont également fournis. D'autre part, nous montrons que l'estimateur du maximum de vraisemblance du paramètre de décalage satisfait un principe de grande déviation avec une fonction de taux implicite très inhabituelle.

Nous étudions le comportement en grand temps des solutions douces des équations HJB en dimension infinie par une approche purement probabiliste. Pour cela, nous montrons que la solution d'une EBSD en horizon fini $T$ prise à l'instant initial se comporte comme un terme linéaire en $T$ décalé avec la solution de l'EBSDE associée prise à l'instant initial. De plus, nous donnons une vitesse de convergence explicite, qui semble apparaître très rarement dans la littérature.

Nous étudions les propriétés de grand écart des estimateurs du maximum de vraisemblance pour le processus d'Ornstein-Uhlenbeck avec décalage. Nous estimons simultanément les paramètres de dérive et de décalage. D'une part, nous établissons un principe de grand écart pour les estimations du maximum de vraisemblance des paramètres de dérive et de décalage. De façon surprenante, nous trouvons que l'estimateur de dérive partage le même principe de grand écart que celui établi précédemment pour le processus d'Ornstein-Uhlenbeck sans décalage. Des principes de grande déviation aigus sont également fournis. D'autre part, nous montrons que l'estimateur du maximum de vraisemblance du paramètre de décalage satisfait un principe de grande déviation avec une fonction de taux implicite très inhabituelle.

Nous étudions les équations de Hamilton Jacobi Bellman dans un espace de Hilbert de dimension infinie, avec des coefficients de Lipschitz, où l'hamiltonien a une croissance superquadratique par rapport à la dérivée de la fonction de valeur, et la condition finale n'est pas bornée. Cela permet d'étudier les problèmes de contrôle optimal stochastique pour des équations d'état contrôlées appropriées avec des processus de contrôle non bornés. Les résultats sont appliqués à une équation d'onde contrôlée.

Nous étudions les propriétés de grand écart des estimateurs du maximum de vraisemblance pour le processus d'Ornstein-Uhlenbeck avec décalage. Nous proposons une nouvelle approche pour établir les principes de grande déviation qui nous permet, via une transformation appropriée, de contourner le problème classique de non-stepness. Nous estimons simultanément les paramètres de dérive et de décalage. D'une part, nous prouvons un principe de grande déviation pour les estimations du maximum de vraisemblance des paramètres de dérive et de décalage. De manière surprenante, nous trouvons que l'estimateur de dérive partage le même principe de grande déviation que celui établi précédemment pour le processus d'Ornstein-Uhlenbeck sans décalage. Des principes de grande déviation aigus sont également fournis. D'autre part, nous montrons que l'estimateur du maximum de vraisemblance du paramètre de décalage satisfait un principe de grande déviation avec une fonction de taux implicite très inhabituelle.

Dans [Stochastc Process. Appl., 122(9):3173-3208], l'auteur a prouvé l'existence et l'unicité des solutions aux EDSB superquadratiques markoviens avec une condition terminale non bornée lorsque le générateur et la condition terminale sont localement Lipschitz. Dans cet article, nous prouvons que le résultat d'existence reste vrai pour ces EDSB lorsque les hypothèses de régularité sur la condition terminale sont affaiblies.

Dans un premier temps, nous étudions une nouvelle classe d'équations différentielles stochastiques rétrogrades (notées EDSRs) qui sont reliées à des conditions de Neumann semi-linéaires relatives à des phénomènes ergodiques. La particularité de ces problèmes est que la constante ergodique apparaît dans la condition au bord. Nous étudions l'existence et l'unicité de solutions pour de telles EDSRs ergodiques ainsi que le lien avec les équations aux dérivées partielles et nous appliquons ces résultats à des problèmes de contrôle ergodique optimal. Dans une deuxième partie nous généralisons des travaux de P.

Dans un premier temps, nous étudions une nouvelle classe d’équations différentielles stochastiques rétrogrades (notées EDSRs) qui sont reliées à des conditions de Neumann semi-linéaires relatives à des phénomènes ergodiques. La particularité de ces problèmes est que la constante ergodique apparaît dans la condition au bord. Nous étudions l’existence et l’unicité de solutions pour de telles EDSRs ergodiques ainsi que le lien avec les équations aux dérivées partielles et nous appliquons ces résultats à des problèmes de contrôle ergodique optimal. Dans une deuxième partie nous généralisons des travaux de P.