ZAKOIAN Jean Michel

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Cet article aborde le problème de la dérivation de la distribution asymptotique de la fonction de distribution empirique F n des résidus dans une classe générale de modèles de séries temporelles, incluant la moyenne conditionnelle et l'hétéroscédaticité conditionnelle, dont les erreurs indépendantes et identiquement distribuées ont une distribution F inconnue. Nous montrons que, pour une large classe de modèles de séries temporelles (incluant l'ARMA-GARCH standard), la distribution asymptotique de √ n{ F n (-) - F (-)} est impactée par l'estimation mais ne dépend pas des paramètres du modèle. Elle n'est donc ni asymptotiquement sans estimation, comme c'est le cas pour les modèles purement linéaires, ni asymptotiquement dépendante du modèle, comme c'est le cas pour certains modèles non linéaires. L'équicontinuité stochastique asymptotique est également établie. Nous considérons une application à l'estimation de la Value-at-Risk conditionnelle.

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Ce document traite du problème de la grande dimension dans des processus GARCH multivariés. L'auteur propose une nouvelle dynamique vine-GARCH pour des processus de corrélation paramétrisés par un graphe non dirigé appelé "vine". Cette approche génère directement des matrices définies-positives et encourage la parcimonie. Après avoir établi des résultats d'existence et d'unicité pour les solutions stationnaires du modèle vine-GARCH, l'auteur analyse les propriétés asymptotiques du modèle. Il propose ensuite un cadre général de M-estimateurs pénalisés pour des processus dépendants et se concentre sur les propriétés asymptotiques de l'estimateur "adaptive Sparse Group Lasso". La grande dimension est traitée en considérant le cas où le nombre de paramètres diverge avec la taille de l'échantillon. Les résultats asymptotiques sont illustrés par des expériences simulées. Enfin dans ce cadre l'auteur propose de générer la sparsité pour des dynamiques de matrices de variance covariance. Pour ce faire, la classe des modèles ARCH multivariés est utilisée et les processus correspondants à celle-ci sont estimés par moindres carrés ordinaires pénalisés.

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L'estimation du maximum de vraisemblance est une méthode répandue pour l'identification d'un modèle paramétré de série temporelle à partir d'un échantillon d'observations. Dans le cadre de modèles bien spécifiés, il est primordial d'obtenir la consistance de l'estimateur, à savoir sa convergence vers le vrai paramètre lorsque la taille de l'échantillon d'observations tend vers l'infini. Pour beaucoup de modèles de séries temporelles, par exemple les modèles de Markov cachés ou « hidden Markov models »(HMM), la propriété de consistance « forte » peut cependant être dfficile à établir. On peut alors s'intéresser à la consistance de l'estimateur du maximum de vraisemblance (EMV) dans un sens faible, c'est-à-dire que lorsque la taille de l'échantillon tend vers l'infini, l'EMV converge vers un ensemble de paramètres qui s'associent tous à la même distribution de probabilité des observations que celle du vrai paramètre. La consistance dans ce sens, qui reste une propriété privilégiée dans beaucoup d'applications de séries temporelles, est dénommée consistance de classe d'équivalence. L'obtention de la consistance de classe d'équivalence exige en général deux étapes importantes : 1) montrer que l'EMV converge vers l'ensemble qui maximise la log-vraisemblance normalisée asymptotique . et 2) montrer que chaque paramètre dans cet ensemble produit la même distribution du processus d'observation que celle du vrai paramètre. Cette thèse a pour objet principal d'établir la consistance de classe d'équivalence des modèles de Markov partiellement observés, ou « partially observed Markov models » (PMM), comme les HMM et les modèles « observation-driven » (ODM).

Cet article étudie les tests de qualité d'ajustement et les tests de spécification pour une extension du modèle log-GARCH qui est stable par mise à l'échelle. Un test de Lagrange-Multiplicateur est dérivé pour tester l'hypothèse nulle du modèle log-GARCH étendu par rapport à des formulations plus générales, y compris le modèle GARCH exponentiel (EGARCH). L'hypothèse nulle d'un EGARCH est également testée. Des tests de qualité d'ajustement de Portmanteau sont développés pour le log-GARCH étendu. Des simulations illustrant les résultats théoriques et une application à des données financières réelles sont proposées.

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Cette thèse de doctorat composée de trois chapitres contribue au développement de la problématique sur la sélection de modèle de volatilité de type GARCH. Le premier chapitre propose une étude de simulation sur la sélection de modèles dans le cadre spécifique des modèles à changement de régimes. On propose des expériences de simulation permettant de mettre en évidence l'inefficacité des critères de sélection usuels dans des cas particuliers, ce qui peut conduire à des erreurs de spécification lors du choix de modèle. Le deuxième chapitre propose un test du multiplicateur de Lagrange de mauvaise spécification dans les modèles GARCH univariés. L'hypothèse nulle admet que le processus générateur des données est un modèle GARCH linéaire tandis que sous l'hypothèse alternative il correspond à une forme fonctionnelle inconnue qui est linéarisée à l’aide d’un développement de Taylor. On illustre le test dans une application empirique sur les taux de change. Le dernier chapitre étudie l'impact du prix du pétrole sur les spreads de Credit Default Swaps souverains de deux pays exportateurs de pétrole: le Vénézuela et la Russie. Utilisant des données récentes, nous trouvons que les rendements du prix du pétrole impactent les spread de CDS souverains du Vénézuela directement alors que cela passe par le canal du taux de change pour la Russie. Ce chapitre emploie des méthodes statistiques avancées, notamment l'utilisation de modèles à changement de régimes Markoviens. Finalement, l'appendice propose le manuel de la toolbox MSGtool (Matlab) qui propose une collection de fonctions pour l'étude des modèles à changement de régimes Markoviens. La toolbox est très user-friendly.

Jusqu'à récemment, la liquidité des actifs financiers était généralement considérée comme un élément de second ordre. La liquidité était souvent associée à de simples coûts de transaction qui n'avaient qu'un effet temporaire, voire nul, sur le prix des actifs et dont les chocs pouvaient être facilement diversifiés. Pourtant, les faits - notamment la récente crise de liquidité - suggèrent que la liquidité est désormais une préoccupation de premier plan. Cet article vise à démêler le risque de marché et le risque de liquidité dans le contexte des modèles de volatilité conditionnelle. Notre approche permet d'isoler la liquidité intrisèque de n'importe quel actif, et permet ainsi de déduire un risque de liquidité même lorsque les volumes ne sont pas observés.

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Ce document introduit le concept de paramètre de risque dans modèles de volatilité conditionnelle de la forme \epsilon_t=\sigma_t(\theta_0)\eta_t$ et développe des procédures statistiques pour estimer ce paramètre. procédures statistiques permettant d'estimer ce paramètre. Pour une mesure de risque donnée $r$, le paramètre de risque est exprimé en fonction des coefficients de volatilité volatilité $\theta_0$ et du risque, $r(\eta_t)$, du processus d'innovation. d'innovation. Une méthode en deux étapes est proposée pour estimer successivement ces quantités. Une approche alternative en une étape, s'appuyant sur une reparamétrisation du modèle et l'utilisation d'un QML non gaussien, est proposée. Des résultats asymptotiques sont établis pour les mesures de risque lisses ainsi que pour la valeur de l'indice des prix à la consommation. lisses ainsi que pour la Value-at-Risk (VaR). Les comparaisons asymptotiques comparaisons asymptotiques des deux approches pour l'estimation de la VaR suggèrent une supériorité de la méthode en une étape. une supériorité de la méthode à une étape quand les innovations sont queues lourdes. Pour les modèles GARCH standard, la comparaison ne dépend que des caractéristiques de la distribution des innovations, et non pas des caractéristiques de la distribution des innovations. dépend uniquement des caractéristiques de la distribution des innovations, et non des paramètres de volatilité. paramètres de volatilité. Des expériences de Monte-Carlo et une étude empirique empirique illustrent ces résultats.

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Cet article propose une comparaison probabiliste et statistique des modèles log-GARCH et EGARCH, qui reposent tous deux sur une dynamique de volatilité multiplicative sans contrainte de positivité. Nous comparons les principales propriétés probabilistes (stationnarité stricte, existence de moments, queues) du modèle EGARCH, qui sont déjà connues, avec celles d'une version asymétrique du log-GARCH. L'estimation par quasi-maximum de vraisemblance des paramètres du modèle log-GARCH est fortement cohérente et asymptotiquement normale. Des résultats d'estimation similaires ne sont disponibles que pour des modèles EGARCH particuliers, et sous des hypothèses beaucoup plus fortes. La comparaison est poursuivie par des expériences de simulation et des estimations sur des données réelles.

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Dans cette thèse, nous étudions les propriétés probabilistes et l'inférence statistique de modèles paramétriques de volatilité conditionnelle, dont les coefficients sont fonctions d'un processus exogène observé. Une première partie de la thèse est consacrée à l'étude des propriétés de stabilité d'un modèle GARCH (1,1) appartenant à cette classe. Les conditions nécessaires et suffisantes d'existence d'une solution, généralement non stationnaire, sont établies, ainsi que les conditions d'existence de moments pour ces solutions. Ces conditions portent sur les coefficients du modèle GARCH dans les divers régimes du processus exogène et sur les probabilités stationaires de ces régimes. Dans une deuxième partie, sont étudiées les propriétés asymptotiques de l'estimateur du quasi-maximum de vraisemblance. La convergence et la normalité asymptotique de cet estimateur sont démontrées sous des hypothèses de régularité impliquant la stabilité de la solution et la stricte positivité des paramètres mais ne nécessitant pas l'existence de moments du processus observé. L'étude du comportement asymptotique de l'estimateur lorsque certains coefficients du modèle sont nuls fait l'objet d'une dernière partie. Dans ce cas, la distribution asymptotique de l'estimateur est non standard et correspond à la projection d'une loi gaussienne sur un cône convexe. Nous obtenons également les distributions asymptotiques de tests de nullité de certains coefficients du modèle ainsi que leur puissance asymptotique locale. Les principaux résultats asymptotiques sont illustrés par des expériences de stimulation. La modélisation apparaît particulièrement adaptée pour la dynamique de prix d'énergie. Pour des prix du gaz, nous mettons en évidence l'existence de volatilités GARCH dépendant de plusieurs régimes liés à la température.

Dans cette thèse, nous étudions les problèmes d'estimation et de tests d'hypothèses de deux vastes classes de modèles GARCH non linéaires. Tout d'abord, nous considérons plusieurs méthodes d'estimation d'une classe de modèles GARCH à seuil en puissance. Sous des conditions très faibles, nous étudions les propriétés asymptotiques de ces estimateurs dans les deux situations suivantes. Dans un premier temps nous supposons la puissance connue. Nous établissons les propriétés de l'estimateur du quasi-maximum de vraisemblance (QMV). Nous considérons également deux suites d'estimateurs des moindres-carrés ordinaires, dans le cas ARCH pur du modèle et nous montrons que, pour certaines valeurs de la puissance, ces estimateurs peuvent être plus efficaces que l'estimateur du QMV. Dans un second temps nous considérons le cas où la puissance est inconnue, et est conjointement estimée avec les autres paramètres. Les propriétés asymptotiques du QMV sont établies sous l'hypothèse que le bruit a une densité. De plus, nous étudions une classe d'estimateurs qu quasi-maximum de vraisemblance non gaussiens dans la situation concrète où la densité des erreurs est mal spécifiée. Nous montrons que cette classe d'estimateurs peut fournir des alternatives performantes à l'estimateur du QMV standard, en particulier, lorsque les erreurs ont des queues de distribution épaisses. Des tests d'asymétrie sont proposés. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous introduisons une classe générale de processus GARCH faibles contenant une grande famille de modèles à hétéroscédasticité conditionnelle. Nous proposons une représentation consistant en deux équations ARMA : la première porte sur le processus observé, et la deuxième sur une certaine fonction de l'innovation linéaire du processus observé. Sous des hypothèses d'ergodicité et de mélange, er certaines conditions des moments sur le processus observé, nous établissons la convergence et la normalité asymptotique de l'estimateur des moindres carrés en deux étapes. Nous considérons également l'estimation de la matrice de covariance asymptotique de cet estimateur. La plupart de ces résultats asymptotiques sont illustrés par des expériences de simulation et sont appliqués à des séries financières.

Dans cette thèse nous élargissons le champ d'application des modèles ARMA (AutoRegressive Moving-Average) vectoriels en considérant des termes d'erreur non corrélés mais qui peuvent contenir des dépendances non linéaires. Ces modèles sont appelés des ARMA faibles vectoriels et permettent de traiter des processus qui peuvent avoir des processus des dynamiques non linéaires très générales. Par opposition, nous appelons ARMA forts les modèles utilisés habituellement dans la littérature dans lesquels le terme d'erreur est supposé être un bruit iid. Les modèles ARMA faibles étant en particulier denses dans l'ensemble des processus stationnaires réguliers, ils sont bien plus généraux que les modèles ARMA forts. Le problème qui nous préoccupera sera l'analyse statistique des modèles ARMA faibles vectoriels. Plus précisément, nous étudions les problèmes d'estimation et de validation. Dans un premier temps, nous étudions les propriétés asymptotiques de l'estimateur du quasi-maximum de vraisemblance et de l'estimateur des moindres carrés. La matrice de variance asymptotique de ces estimateurs est de la forme "sandwich", et peut être très différente de la variance asymptotique obtenue dans le cas fort. Ensuite, nous accordons une attention particulière aux problèmes de validation. Dans un premier temps, en proposant des versions modifiées des tests de Wald, du multiplicateur de Lagrange et du rapport de vraisemblance pour tester des restrictions linéaires sur les paramètres de modèles ARMA faibles vectoriels. En second, nous nous intéressons aux tests fondés sur les résidus, qui ont pour objet de vérifier que les résidus des modèles estimés sont bien des estimations de bruits blancs. Plus particulièrement, nous nous intéressons aux tests portmanteau, aussi appelés tests d'autocorrélation. Nous montrons que la distribution asymptotique des autocorrélations résiduelles est normalement distribuée avec une matrice de covariance différente du cas fort (c'est-à-dire sous les hypothèses idd sur le bruit). Nous en déduisons le comportement asymptotique des statistiques port-manteau. Dans le cadre standard d'un ARMA fort, il est connu que la distribution asymptotique des tests portmanteau est correctement approximée par un chi-deux. Dans le cas général, nous montrons que cette distribution asymptotique est celle d'une somme pondérée de chi-deux. Cette distribution peut être très différente de l'approximation chi-deux usuelle du cas fort. Nous proposons donc des tests portmanteau modifiés pour tester pour tester l'adéquation de modèles ARMA faibles vectoriels. Enfin, nous nous sommes intéressés aux choix des modèles ARMA faibles vectoriels fondé sur la minimisation d'un critère d'information, notamment celui introduit par Akaike (AIC). Avec ce critère, on tente de donner une approximation de la distance (souvent appelée information de Kullback-Leibler) entre la vraie loi des observations (inconnue) et la loi du modèle estimé. Nous verrons que le critère corrigé (AICc) dans le cadre des modèles ARMA faibles vectoriels peut, là aussi, être très différent du cas fort.

Cette thèse de doctorat comporte deux parties traitant des problèmes d'identification et de sélection en économétrie. Nous étudions les sujets suivants : (1) le problème d'identification de modèles de séries temporelles à l'aide des fonctions d'autocorrélation, d'autocorrélation partielle, d'autocorrélation inverse et d'autocorrélation partielle inverse . (2) l'estimation de la fonction d'autocorrélation inverse dans le cadre des séries temporelles non linéaires. Dans une première partie, nous considérons le problème d'identification de modèles de séries temporelles à l'aide des fonctions d'autocorrélation susmentionnées. Nous construisons des tests statistiques basés sur des estimateurs empiriques de ces fonctions puis nous étudions leur distribution asymptotique. En utilisant l'approche de Bahadur et de Pitman, nous comparons la performance de ces fonctions d'autocorrélation dans la détection de l'ordre d'une moyenne mobile et d'un modèle autorégressif. Par la suite, nous nous intéressons à l'identification du processus inverse d'un modèle ARMA et à l'étude des ses propriétés probabilistes. Enfin, nous caractérisons la réversibilité temporelle à l'aide des processus dual et inverse. La deuxième partie est consacrée à l'estimation de la fonction d'autocorrélation inverse dans le cadre des processus non linéaires. Sous certaines conditions de régularité, nous étudions les propriétés asymptotiques des autocorrélations inverses empiriques pour un processus stationnaire et fortement mélangeant. Nous obtenons la convergence et la normalité asymptotique des estimateurs. Par la suite, nous considérons le cas d'un processus linéaire généré par un bruit blanc de type GARCH. Nous obtenons une formule explicite pour la matrice d'autocovariance asymptotique. A l'aide d'exemples, nous montrons que la formule standard de cette matrice n'est pas valable lorsque le processus générateur des données est non linéaire. Enfin, nous appliquons les résultats précédents pour montrer la normalité asymptotique des estimateurs des paramètres d'une moyenne mobile faible. Nos résultats sont illustrés par des expériences.

Dans cette thèse nous élargissons le champ d'application des modèles vectoriels autorégressifs (VAR) en considérant les erreurs non corrélées mais dépendantes. Plus précisément, en étudiant des problèmes d'estimation et de comportement d'outils statistiques, nous nous sommes intéressés à la validité dans notre cadre de résultats valables sous l'hypothèse d'iinovations iid gaussiennes. Nous montrons que le comportement asymptotique des estimateurs de paramètres de court terme et des autocorrélations résiduelles est différent du cas standard. Ainsi des tests portmanteau modifiés dont la distribution asymptotique est une somme pondérée de chi-deux sont proposés. Nous présentons un algorithme qui permet d'implémenter ces tests. Le comportement des estimateurs des paramètres de long terme et du test de rapport de vraisemblance pour le rang de cointégration est étudié. Il apparaît que les résultats standard concernant les relations de long terme s'étendent à notre cadre. Nous montrons aussi que le comportement asymptotique des estimateurs des paramètres d'ajustement est différent du cas iid gaussien. Des exemples théoriques qui justifient notre approche sont exhibés. Le comportement à distance finie de différents tests est étudié par des expériences de Monte Carlo.

Dans cette thèse, nous étudions les propriétés probalistes et/ou statistiques de modèles linéaires ou non-linéaires de séries temporelles à coefficients dépendant du temps. La première partie de la thèse est dévolue à la statistique des modèles ARMA dont les coefficients varient en fonction d'événements récurrents, mais non-périodiques. Les propriétés asymptotiques (convergence forte et normalité) des estimateurs des moindres carrés sont établies. Le cas particulier des modèles ARMA à changement de régime Markoviens est ensuite considéré. La seconde partie de la thèse étudie l'influence asymptotique de la correction par la moyenne des séries temporelles sur l'estimation par moindres carrés de modèles ARMA périodiques. Dans la dernière partie de la thèse, nous étendons nos recherches à des modèles bilinéaires à coefficients périodiques. Les résultats obtenus sont régulièrement illustrés à distance finie à partir d'expériences de Monte Carlo.

Nous étudions une classe de modèles conditionnellement hétéroscédastiques (ARCH) non linéaires. La volatilité de la variable à la date t dépend de la position relative des variables passées. Nous montrons qu'une famille de tels modèles admet une représentation Markovienne permettant d'en étudier la stabilité. A partir de critères de Lyapounov, nous établissons des conditions d'existence des moments. Les propriétés asymptotiques (convergence forte et en loi) de trois types d'estimateurs des paramètres sont établies. Ces résultats sont illustrés à distance finie à partir de méthodes simulées et sur des séries réelles.

Ce travail est fondé sur l'introduction de seuils dans les modèles de séries temporelles. Nous commençons par présenter la théorie des chaines de Markov homogènes, nécessaire pour l'étude des processus non linéaires. Les modèles autorégressifs d'ordre un à un seuil font l'objet de la deuxième partie. Des propriétés distributionnelles sont obtenues au voisinage du modèle linéaire, ce qui permet d'obtenir des formules approchées pour diverses quantités: moyenne, variance, moments. . . Enfin, deux méthodes de test de l'hypothèse de linéarité sont proposées. La partie suivante propose une nouvelle classe de modèles ARCH (autogressive conditionally heteroskedastic). L'introduction de seuils dans la spécification de la variance conditionnelle permet la prise en compte d'effets spécifiques sur la volatilité (persistance, dissymétrie selon le signe des erreurs antérieures. . . ). Une étude complète est proposée: stationnarité faible, stationnarité stricte, calcul des moments, analyse de l'effet leptokurtique, comparaison avec les modèles ARCH, estimation des divers paramètres, test de l'hypothèse d'homoscédasticité. Enfin, la dernière partie de la thèse traite du passage au temps continu de modèles hétéroscédastiques à seuil.