GRBAC Zorana

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Dans cette thèse, nous étudions plusieurs problèmes de mathématiques financières liés à la valorisation des produits dérivés. Par différentes approches asymptotiques, nous développons des méthodes pour calculer des approximations précises du prix de certains types d’options dans des cas où il n’existe pas de formule explicite.Dans le premier chapitre, nous nous intéressons à la valorisation des options dont le payoff dépend de la trajectoire du sous-jacent par méthodes de Monte-Carlo, lorsque le sous-jacent est modélisé par un processus affine à volatilité stochastique. Nous prouvons un principe de grandes déviations trajectoriel en temps long, que nous utilisons pour calculer, en utilisant le lemme de Varadhan, un changement de mesure asymptotiquement optimal, permettant de réduire significativement la variance de l’estimateur de Monte-Carlo des prix d’options.Le second chapitre considère la valorisation par méthodes de Monte-Carlo des options dépendant de plusieurs sous-jacents, telles que les options sur panier, dans le modèle à volatilité stochastique de Wishart, qui généralise le modèle Heston. En suivant la même approche que dans le précédent chapitre, nous prouvons que le processus vérifie un principe de grandes déviations en temps long, que nous utilisons pour réduire significativement la variance de l’estimateur de Monte-Carlo des prix d’options, à travers un changement de mesure asymptotiquement optimal. En parallèle, nous utilisons le principe de grandes déviations pour caractériser le comportement en temps long de la volatilité implicite Black-Scholes des options sur panier.Dans le troisième chapitre, nous étudions la valorisation des options sur variance réalisée, lorsque la volatilité spot est modélisée par un processus de diffusion à volatilité constante. Nous utilisons de récents résultats asymptotiques sur les densités des diffusions hypo-elliptiques pour calculer une expansion de la densité de la variance réalisée, que nous intégrons pour obtenir l’expansion du prix des options, puis de leur volatilité implicite Black-Scholes.Le dernier chapitre est consacré à la valorisation des dérivés de taux d’intérêt dans le modèle Lévy de marché Libor qui généralise le modèle de marché Libor classique (log-normal) par l’ajout de sauts. En écrivant le premier comme une perturbation du second et en utilisant la représentation de Feynman-Kac, nous calculons explicitement l’expansion asymptotique du prix des dérivés de taux, en particulier, des caplets et des swaptions.

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La récente crise financière a conduit à des modèles dits multi-courbes pour la structure des taux. Nous étudions ici une extension multi-courbes des modèles de taux courts où, en plus du taux court lui-même, nous introduisons des écarts de taux courts. En particulier, nous considérons un modèle à facteurs gaussiens où le taux court et les écarts sont des polynômes de second ordre de processus à facteurs gaussiens. Cela conduit à une classe de modèles exponentiellement quadratiques qui est moins bien connue que la classe exponentiellement affine. Dans cette dernière classe, les facteurs entrent linéairement et, pour la positivité, on considère des processus factoriels de racine carrée. Alors que les facteurs de racine carrée dans la classe affine ont des distributions plus impliquées, dans la classe quadratique les facteurs restent gaussiens et cela conduit à divers avantages, en particulier pour l'évaluation des produits dérivés. Après quelques préliminaires sur la modélisation des martingales dans la configuration multi-courbes, nous nous concentrons sur l'évaluation des dérivés linéaires et optionnels. Pour les produits dérivés linéaires, nous présentons un facteur d'ajustement qui permet de passer des valeurs de la courbe unique d'avant la crise aux valeurs correspondantes de la courbe multiple d'après la crise.

Dans cet article, nous considérons l'évaluation d'options sur les taux d'intérêt telles que les caplets et les swaptions dans le modèle Levy Libor développé par Eberlein et Ozkan (Financ. Stochast. 9:327-348 (2005) [9]). Ce modèle est une extension aux processus de conduite de Levy du modèle de marché classique log-normal du Libor (LMM) conduit par un mouvement brownien. L'évaluation des options est nettement moins facile dans ce modèle que dans le LMM en raison de l'apparition de termes stochastiques dans la partie de saut du processus d'entraînement lors de l'exécution des changements de mesure qui sont standard dans l'évaluation des dérivés de taux d'intérêt. Pour obtenir une approximation explicite des prix des options, nous proposons de traiter un modèle Levy Libor donné comme une perturbation appropriée du LMM log-normal. La méthode est inspirée des travaux récents de Cerný, Denkl et Kallsen (Preprint (2013) [6]) et de Menasse et Tankov (Preprint (2015) [14]). Les prix approximatifs des options dans le modèle Libor de Levy sont donnés comme les prix LMM correspondants plus les termes de correction qui dépendent des caractéristiques du processus de Levy sous-jacent et certains termes supplémentaires obtenus à partir du modèle LMM.

Dans cet article, nous considérons l'évaluation des options sur les taux d'intérêt telles que les caplets et les swaptions dans le modèle Lévy Libor développé par Eberlein et Özkan (Financ. Stochast. 9:327-348 (2005) [9]). Ce modèle est une extension aux processus d'entraînement de Lévy du modèle de marché classique log-normal du Libor (LMM) entraîné par un mouvement brownien. L'évaluation des options est nettement moins facile dans ce modèle que dans le LMM en raison de l'apparition de termes stochastiques dans la partie de saut du processus d'entraînement lors de l'exécution des changements de mesure qui sont standard dans l'évaluation des dérivés de taux d'intérêt. Pour obtenir une approximation explicite des prix des options, nous proposons de traiter un modèle Lévy Libor donné comme une perturbation appropriée du LMM log-normal. La méthode est inspirée des travaux récents de Černý, Denkl et Kallsen (Preprint (2013) [6]) et Ménassé et Tankov (Preprint (2015) [14]). Les prix approximatifs des options dans le modèle Lévy Libor sont donnés comme les prix LMM correspondants, plus les termes de correction qui dépendent des caractéristiques du processus de Lévy sous-jacent et certains termes supplémentaires obtenus à partir du modèle LMM.

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Nous fournissons un cadre unifié pour la modélisation des taux LIBOR en utilisant des semimartingales générales comme processus moteurs et des formes fonctionnelles génériques pour décrire l'évolution de la dynamique. Nous dérivons des conditions suffisantes pour que le modèle soit exempt d'arbitrage, qui sont facilement vérifiables, et pour que les taux LIBOR soient de véritables martingales sous les mesures à terme respectives. Nous discutons des cas où les conditions sont également nécessaires et commentons d'autres propriétés souhaitables, telles que celles qui conduisent à la tractabilité analytique et à la positivité des taux. Ce cadre permet de considérer plusieurs modèles populaires dans la littérature, tels que les modèles de marché LIBOR dirigés par des mouvements browniens ou des processus de saut, le modèle de prix à terme de L'evy ainsi que le modèle LIBOR affine, sous un même toit. De plus, nous dérivons des résultats structurels sur les modèles LIBOR et montrons, en particulier, que seuls les modèles où le prix à terme est une fonction exponentiellement affine du processus de conduite préservent leur structure sous différentes mesures à terme.

Comblant une lacune dans la littérature causée par la récente crise financière, ce livre traite des techniques nécessaires pour modéliser et évaluer les dérivés de taux d'intérêt selon le nouveau paradigme des marchés à revenu fixe. En ce qui concerne ce nouveau développement, il n'existe actuellement que des articles de recherche et deux livres, dont un volume édité, tous deux écrits par des chercheurs travaillant principalement dans la pratique. L'objectif de ce livre est de se concentrer principalement sur l'aspect méthodologique, fournissant ainsi un aperçu de l'état de l'art et clarifiant également le lien entre les nouveaux modèles et la littérature classique. Ce livre est destiné à servir de guide aux étudiants diplômés et aux chercheurs ainsi qu'aux praticiens intéressés par le changement de paradigme des marchés de titres à revenu fixe. Une connaissance de base des marchés de titres à revenu fixe et de la méthodologie stochastique connexe est supposée être un prérequis.

L'objet de ce chapitre sont les modèles multi-courbes dans l'esprit du Libor market model (LMM). La modélisation est ici effectuée sur une structure de ténor discret et les taux d'intérêt sont composés de manière discrète, reflétant ainsi la pratique du marché. Nous considérons les taux OIS à terme composés de manière discrète comme des taux de référence, ainsi que les taux Libor à terme ou, de manière équivalente, les écarts Libor-OIS. Les taux et les écarts sont modélisés directement par les mesures de martingale à terme utilisées pour l'évaluation des produits dérivés. Nous décrivons d'abord un cadre général qui étend le modèle classique du marché du Libor BGM à des courbes multiples. Nous présentons ensuite un modèle affine de Libor à courbes multiples basé sur des familles de martingales affines exponentielles représentant les taux OIS et Libor à terme. Enfin, nous indiquons également une modélisation basée sur les écarts multiplicatifs Libor-OIS. Pour chaque approche de modélisation, nous mentionnons les méthodes correspondantes pour l'évaluation des produits dérivés.

Ce chapitre concerne le cadre HJM pour les modèles de taux à terme dans une configuration multi-courbes. Comme dans le chapitre 2, nous modéliserons également dans ce chapitre un taux à terme OIS de base et les différents taux multi-courbes risqués sont obtenus en ajoutant un écart par rapport au taux OIS. Puisque l'objectif final est la fixation du prix des produits dérivés de taux d'intérêt, où la principale quantité sous-jacente est le taux Libor, l'un des premiers objectifs est de dériver des modèles pour la dynamique du taux Libor qui sont sans arbitrage. À cet effet, nous obtenons d'abord des modèles pour les prix des obligations OIS sous une mesure martingale, puis nous choisissons des quantités appropriées liées aux contrats FRA, en les modélisant dans l'esprit du cadre HJM de sorte que le modèle complet soit sans arbitrage. Enfin, nous considérons le prix des dérivés de taux d'intérêt linéaires et optionnels dans ce contexte HJM.

Le marché des titres à revenu fixe est un secteur du marché financier mondial dans lequel sont négociés divers instruments sensibles aux taux d'intérêt, tels que des obligations, des contrats de garantie de taux, diverses formes de swaps, des swaptions, des caps et des floors. Il représente une grande partie du marché financier mondial. La récente crise financière, dont les principales caractéristiques sont le risque de contrepartie et le risque de liquidité/de financement, a lourdement pesé sur l'ensemble du marché financier et sur le marché des produits à revenu fixe en particulier. L'inspection des taux d'intérêt cotés et des prix des produits dérivés révèle que certaines relations classiques ont été rompues, ce qui a incité les acteurs du marché des titres à revenu fixe à modéliser comme des objets distincts les taux correspondant à différentes échéances (modèles à courbes multiples). Dans ce chapitre, nous passons en revue les notions et concepts de base utilisés avant la crise et décrivons comment ils ont trouvé une extension dans le cadre du modèle multi-courbes.

Comblant une lacune dans la littérature causée par la récente crise financière, ce livre traite des techniques nécessaires pour modéliser et évaluer les dérivés de taux d'intérêt selon le nouveau paradigme des marchés à revenu fixe. En ce qui concerne ce nouveau développement, il n'existe actuellement que des articles de recherche et deux livres, dont un volume édité, tous deux écrits par des chercheurs travaillant principalement dans la pratique. L'objectif de ce livre est de se concentrer principalement sur l'aspect méthodologique, fournissant ainsi un aperçu de l'état de l'art et clarifiant également le lien entre les nouveaux modèles et la littérature classique. Ce livre est destiné à servir de guide aux étudiants diplômés et aux chercheurs ainsi qu'aux praticiens intéressés par le changement de paradigme des marchés de titres à revenu fixe. Une connaissance de base des marchés de titres à revenu fixe et de la méthodologie stochastique connexe est supposée être un prérequis.

Dans ce chapitre, nous considérons principalement les modèles de taux courts au sens strict en vue de la construction de courbes multiples. Étant donné que les modèles de noyau de prix rationnels d'avant la crise peuvent être considérés comme des modèles de taux courts au sens large, nous présenterons également certaines extensions récentes de ces modèles à courbes multiples. Pour les modèles de taux courts au sens strict, nous considérons un taux court OIS de base et divers spreads à ajouter par-dessus, un pour chacune des multiples courbes. La configuration est principalement celle de modèles exponentiellement affines, mais aussi exponentiellement quadratiques pilotés par plusieurs facteurs stochastiques. Cela nous permet d'obtenir des formules explicites pour diverses dérivées linéaires et optionnelles des taux d'intérêt, également dans le cadre de courbes multiples.

Nous introduisons un cadre de courbes multiples qui combine une dynamique traçable et des formules de prix semianalytiques avec des taux d'intérêt et des écarts de base positifs. Les taux négatifs et les écarts positifs peuvent également être pris en compte dans ce cadre. La dynamique des swaps indexés au jour le jour et des taux LIBOR est spécifiée en suivant la méthodologie des modèles LIBOR affines et est pilotée par la classe large et flexible des processus affines. La propriété affine est préservée sous les mesures à terme, ce qui nous permet de dériver des formules de prix de Fourier pour les caps, les swaptions et les swaptions de base. Une spécification de modèle avec des taux LIBOR dépendants est développée qui permet une calibration efficace et précise à un système de prix de caplets.

Nous considérons le problème de l'évaluation des dérivés de taux d'intérêt dans la configuration post-crise. Nous développons un modèle à courbes multiples, établi dans le cadre du HJM et piloté par un processus de L ́evy. Nous procédons à une calibration conjointe sur les swaptions OTM et les swaptions ATM co-terminales de différentes durées, la calibration sur les swaptions OTM garantissant que le modèle capture correctement les effets de sourire de la volatilité et la calibration sur les swaptions ATM co-terminales assurant une structure de terme appropriée de la volatilité dans le modèle. Pour tenir compte du risque de contrepartie et des problèmes de financement, nous utilisons le modèle calibré à courbes multiples comme modèle sous-jacent pour le calcul des CVA. Nous suivons une méthodologie de forme réduite à travers laquelle le problème de l'évaluation du risque de contrepartie et des coûts de financement peut être réduit à un BSDE Markovien avant défaut, ou à un PDE semi-linéaire équivalent. A titre d'illustration, nous étudions le cas d'un swap de base et d'une swaption associée, pour lesquels nous calculons le risque de contrepartie et les ajustements de financement.

Nous considérons une classe générale de modèles continus de prix d'actifs où les fonctions de dérive et de volatilité, ainsi que les mouvements browniens moteurs, changent à un temps aléatoire \tau. Sous des hypothèses minimales sur le temps aléatoire et sur les mouvements browniens moteurs, nous étudions le comportement du modèle dans toutes les filtrations qui apparaissent naturellement dans ce cadre, en établissant des résultats de représentation martingale et en caractérisant la validité des conditions de non-arbitrage NA1 et NFLVR.

Nous considérons le problème de l'évaluation des dérivés de taux d'intérêt dans le contexte de l'après-crise. Nous développons un modèle à courbes multiples, établi dans le cadre du HJM et piloté par un processus de Lévy. Nous procédons à un calibrage conjoint des swaptions OTM et des swaptions ATM co-terminales de différentes durées, le calibrage des swaptions OTM garantissant que le modèle capture correctement les effets de sourire de la volatilité et le calibrage des swaptions ATM co-terminales assurant une structure de terme appropriée de la volatilité dans le modèle. Pour tenir compte du risque de contrepartie et des problèmes de financement, nous utilisons le modèle calibré à courbes multiples comme modèle sous-jacent pour le calcul des CVA. Nous suivons une méthodologie de forme réduite à travers laquelle le problème de l'évaluation du risque de contrepartie et des coûts de financement peut être réduit à un BSDE Markovien avant défaut, ou à un PDE semi-linéaire équivalent. A titre d'illustration, nous étudions le cas d'un swap de base et d'une swaption associée, pour lesquels nous calculons le risque de contrepartie et les ajustements de financement.

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