RENAULT Jerome

Cet article étudie les jeux de partage à somme nulle avec des ensembles finis de croyances postérieures. Les joueurs choisissent dynamiquement une paire {p t , q t } t de martingales de croyances postérieures afin de contrôler un gain terminal u(p ∞ , q ∞). Nous introduisons la notion de "transformée de Mertens-Zamir" d'une matrice à valeurs réelles et l'utilisons pour approximer la solution du système de Mertens-Zamir dans le cas unidimensionnel continu. Ensuite, nous considérons le cas général des jeux de fractionnement avec des contraintes arbitraires et des ensembles finis de croyances postérieures : nous montrons que la valeur existe en construisant des stratégies ε-optimales non markoviennes et nous la caractérisons comme l'unique fonction concave-convexe satisfaisant deux nouvelles conditions.

Nous considérons le problème dans lequel n articles arrivent sur un marché séquentiellement au cours du temps, où deux agents sont en compétition pour choisir le meilleur article possible. Lorsqu'un agent choisit un article, il quitte le marché et obtient un gain donné par la valeur de l'article, qui est représentée par une variable aléatoire suivant une distribution connue avec un support contenu dans [0, 1]. Nous considérons deux situations différentes pour ce problème. Dans le premier, à savoir le problème de sélection compétitive sans rappel, les agents observent la valeur de chaque article à son arrivée et décident de l'accepter ou de le rejeter, auquel cas ils ne le sélectionneront pas à l'avenir. Dans le second, appelé problème de sélection compétitive avec rappel, les agents sont autorisés à sélectionner n'importe lequel des articles disponibles arrivés jusqu'à présent. Pour chacun de ces problèmes, nous décrivons le jeu induit par le problème de sélection comme un jeu séquentiel à information imparfaite et nous étudions l'ensemble des gains d'équilibre de Nash sous-japonais. Nous étudions également l'efficacité des équilibres de jeu. Plus précisément, nous abordons la question de savoir s'il est préférable d'avoir le pouvoir d'obtenir n'importe quel article disponible plutôt que de choisir le mode "à prendre ou à laisser". À cette fin, nous définissons et étudions le prix de l'anarchie et le prix de la stabilité d'une instance de jeu comme le rapport entre la somme maximale des gains obtenus par les joueurs pour toute stratégie réalisable et la somme des gains pour le pire et le meilleur équilibre de Nash sous-game-parfait, respectivement. Pour le cas sans rappel, nous prouvons que s'il y a deux agents et deux articles arrivant séquentiellement dans le temps, le prix de l'anarchie et le prix de la stabilité sont tous deux limités par la constante 4/3 pour toute distribution de valeurs. De plus, nous montrons que cette limite est étroite.

Pas de résumé disponible.

Pas de résumé disponible.

Pas de résumé disponible.

Pas de résumé disponible.

Nous considérons des jeux à deux joueurs, à somme nulle, stochastiques, dans lesquels chaque joueur contrôle sa propre variable d'état vivant dans un espace métrique compact. La terminologie vient des problèmes de jeu dans lesquels l'état d'un joueur représente sa richesse dans un casino. Sous des hypothèses standard (par exemple, gain courant continu et transitions non-expansives), nous considérons pour chaque facteur d'escompte la valeur v(lambda) du jeu stochastique à escompte lambda et nous étudions sa limite lorsque lambda va à zéro. Nous montrons que, sous une nouvelle condition d'acyclicité, la limite existe et est caractérisée comme l'unique solution d'un système d'équations fonctionnelles : la limite est l'unique fonction continue excessive et dépressive telle que chaque joueur, si son adversaire ne bouge pas, peut atteindre la zone où le payoff courant est au moins aussi bon que la valeur limite sans dégrader la valeur limite. L'approche généralise et fournit un nouveau point de vue sur le système de Mertens-Zamir provenant de l'étude des jeux répétés à somme nulle avec manque d'information des deux côtés. Un contre-exemple montre que sous une notion d'acyclicité légèrement plus faible, la convergence de (v(lambda)) peut échouer.

Nous introduisons le modèle des jeux stochastiques cachés, qui sont des jeux stochastiques où les joueurs observent les actions passées et les signaux publics sur l'état actuel. La variable d'état naturelle pour ces jeux est la croyance commune sur l'état actuel du jeu stochastique. Dans cette configuration, nous présentons un exemple dans lequel l'ensemble limite des gains d'équilibre, lorsque le facteur d'escompte passe à 1, n'existe pas. Bien que les ensembles de gains d'équilibre aient une dimension complète, il n'y a pas de sélection convergente des gains d'équilibre. L'exemple est symétrique et robuste à bien des égards, et en particulier à la corrélation de forme extensive ou aux dispositifs de communication. Il n'existe pas de gain d'équilibre limite raisonnable, et il est difficile de donner une bonne réponse à la question : "Dans le jeu joué par des joueurs extrêmement patients, quels sont les résultats possibles ?" La construction se généralise sur un exemple récent à somme nulle [23], tout en améliorant significativement ses propriétés.

Nous considérons un jeu expéditeur-récepteur avec une option extérieure pour l'expéditeur. Après la phase de cheap talk, le récepteur fait une proposition à l'expéditeur, que ce dernier peut rejeter. Nous étudions les situations dans lesquelles l'approbation de l'expéditeur est cruciale pour le récepteur. Nous montrons qu'un équilibre partitionnel (Nash bayésien parfait) existe si l'expéditeur n'a que deux types ou si les préférences du récepteur sur les décisions ne dépendent pas du type de l'expéditeur tant que ce dernier participe. Le résultat ne s'étend pas : nous construisons un contre-exemple (avec trois types pour l'expéditeur et des fonctions d'utilité affines dépendant du type) dans lequel il n'y a pas d'équilibre mixte. Dans le cas des trois types, nous fournissons une caractérisation complète des équilibres (éventuellement médiatisés).

Pas de résumé disponible.

Pas de résumé disponible.

Pas de résumé disponible.

Dans cette thèse, nous étudions divers modèles de jeux dynamiques. Ceux-ci modélisent des processus de décisions prises par des agents rationnels en interactions stratégiques et dont la situation évolue au cours du temps. Le premier chapitre est consacré aux jeux stochastiques. Dans ces derniers, le jeu courant dépend d’un état de la nature, qui évolue d’une étape à la suivante de manière aléatoire en fonction de l’état courant ainsi que des actions des joueurs, qui observent ces éléments. On étudie des propriétés de communication entre les états, lorsque l’espace d’états est sous la forme d’un produit X ×Y, et que les joueurs contrôlent la dynamique sur leur composante de l’espace d’états. On montre l’existence de stratégies optimales dans tout jeu répété un nombre suffisant d’étapes, c’est-à-dire l’existence de la valeur uniforme, sous hypothèse de communication forte d’un côté. On montre en revanche la non converge de la valeur du jeu escompté, qui implique la non existence de la valeur asymptotique, sous hypothèse de communication faible des deux côtés. Les deux chapitres suivants sont consacrés à des modèles de jeux de recherche-dissimulation. Un chercheur et un dissimulateur agissent sur un espace de recherche. L’objectif du chercheur est typiquement de retrouver le dissimulateur le plus rapidement possible, ou alors de maximiser la probabilité de le trouver en un temps imparti. L’enjeu est alors de calculer la valeur et les stratégies optimales des joueurs en fonction de la géométrie de l’espace de recherche. Dans un jeu de patrouille, un attaquant choisit un temps et un lieu à attaquer, tandis qu’un patrouilleur marche continûment. Lorsque l’attaque survient, le patrouilleur a un certain délai pour repérer l’attaquant. Dans un jeu de recherche-dissimulation stochastique, les joueurs se trouvent sur un graphe. La nouveauté du modèle est qu’en raison de divers évènements, à chaque étape, certaines arêtes peuvent ne pas être disponibles, de sorte que le graphe évolue de façon aléatoire dans le temps. Enfin, le dernier chapitre est consacré à un modèle de jeux répétés à information incomplète dit de contrôle dynamique de l’information. Un conseiller a une connaissance privée de l’état de la nature, qui évolue aléatoirement avec le temps. Chaque jour le conseiller choisit la quantité d’information qu’il dévoile à un investisseur au travers de messages. À son tour, l’investisseur choisit d’investir ou non afin de maximiser son paiement quotidien espéré. En cas d’investissement, le conseiller reçoit une commission fixe de la part de l’investisseur. Son objectif est alors de maximiser la fréquence escomptée de jours où a lieu l’investissement. On s’intéresse à une stratégie de dévoilement d’information particulière du conseiller dite stratégie gloutonne. C’est une stratégie stationnaire ayant la propriété de minimiser la quantité d’information dévoilée sous contrainte de maximiser le paiement courant du conseiller.

Nous définissons la distance entre deux structures d'information comme la plus grande différence de valeur possible dans tous les jeux à somme nulle. Nous fournissons une caractérisation traçable de la distance, comme la distance minimale entre deux polytopes. Nous l'utilisons pour montrer divers résultats sur la relation entre les jeux et les problèmes à agent unique, la valeur de l'information supplémentaire, les substituts informationnels, les compléments, etc. Nous montrons que la connaissance approximative est similaire à la connaissance commune approximative en ce qui concerne la distance basée sur la valeur. Nous montrons que la connaissance approximative est similaire à la connaissance commune approximative en ce qui concerne la distance basée sur la valeur. Néanmoins, contrairement à la topologie faible, la distance basée sur la valeur n'a pas de complément compact : il existe une séquence de structures d'information, où les joueurs acquièrent de plus en plus d'information, et ε > 0 telle que deux éléments quelconques de la séquence ont une distance d'au moins ε.

L'écran d'accueil de Springer indique : "Ce livre donne une présentation concise des fondements mathématiques de la théorie des jeux, avec un accent sur l'analyse stratégique liée à l'information et à la dynamique. Il est largement autonome, tous les outils et concepts clés étant définis dans le texte. En combinant les bases de la théorie des jeux, telles que les théorèmes d'existence de la valeur dans les jeux à somme nulle et les théorèmes d'existence de l'équilibre pour les jeux à somme non nulle, avec une sélection de sujets importants et plus récents tels que le collecteur d'équilibre et la dynamique d'apprentissage, le livre rapproche rapidement le lecteur de l'état de l'art. Des applications à l'économie, à la biologie et à l'apprentissage sont incluses, et les exercices, qui contiennent souvent des résultats remarquables, fournissent un complément important au texte. Basé sur des conférences données à Paris pendant plusieurs années, ce manuel sera utile pour des cours rigoureux et actualisés sur le sujet. Outre un intérêt pour la pensée stratégique et un goût pour le formalisme mathématique, la seule condition préalable à la lecture de ce livre est une solide connaissance des mathématiques au niveau du premier cycle universitaire, y compris l'analyse de base, l'algèbre linéaire et les probabilités.".

Nous revisitons la question de la modélisation de l'information incomplète entre 2 joueurs bayésiens, en suivant une approche ex-ante basée sur les valeurs des jeux à somme nulle. K étant l'ensemble fini des paramètres possibles, une structure d'information est définie comme une distribution de probabilité u à support fini sur K × N × N avec l'interprétation suivante : u est connue publiquement par les joueurs, (k, c, d) est sélectionnée selon u, puis c (resp. d) est annoncée au joueur 1 (resp. 2). Étant donné une structure de gains g, composée de jeux matriciels indexés par l'état, la valeur du jeu à information incomplète défini par u et g est notée val(u, g). Nous évaluons la pseudo-distance d(u, v) entre 2 structures d'information u et v par le supremum de |val(u, g) - val(v, g)| pour tous les g avec des payoffs dans [-1, 1], et nous étudions l'espace métrique Z * des structures d'information équivalentes. Nous fournissons d'abord une caractérisation traçable de d(u, v), en tant que distance minimale entre deux polytopes, et récupérons la caractérisation de Peski (2008) pour u v, en généralisant à deux joueurs la comparaison d'expériences de Blackwell via des garblings. Nous montrons ensuite que Z * , doté d'une distance faible d W , est homéomorphe à l'ensemble des probabilités cohérentes à support fini sur l'espace universel des croyances de Mertens et Zamir. Enfin, nous montrons l'existence d'une séquence de structures d'information, où les joueurs acquièrent de plus en plus d'information, et de ε > 0 telle que deux éléments quelconques de la séquence ont une distance au moins égale à ε : avoir de plus en plus d'information peut ne mener nulle part. En conséquence, la complétion de (Z * , d) n'est pas compacte, donc pas homéomorphe à l'ensemble des probabilités cohérentes sur les états du monde à la Mertens et Zamir. Cet exemple répond par la négative au deuxième (et dernier non résolu) des trois problèmes posés par J.F. Mertens dans son article "Repeated Games", ICM 1986.

Nous considérons des jeux stochastiques à deux joueurs avec des actions parfaitement observées, et nous étudions la limite de l'ensemble des gains d'équilibre lorsque le facteur d'escompte devient égal à un. Dans la configuration habituelle où les états actuels sont observés par les joueurs, nous montrons que l'ensemble des gains d'équilibre stationnaires converge toujours, et nous fournissons un exemple simple où l'ensemble des gains d'équilibre n'a pas de limite. Nous introduisons ensuite le modèle plus général de jeu stochastique caché, où les joueurs reçoivent publiquement des signaux imparfaits sur les états actuels. Dans cette configuration, nous présentons un exemple où non seulement l'ensemble limite des gains d'équilibre n'existe pas, mais où il n'y a pas de sélection convergente des gains d'équilibre. Ce deuxième exemple est robuste à bien des égards, en particulier aux perturbations des gains et à l'introduction de dispositifs de corrélation ou de communication.

Pas de résumé disponible.

Pas de résumé disponible.

Nous considérons des jeux stochastiques à somme nulle à deux joueurs où chaque joueur contrôle sa propre variable d'état vivant dans un espace métrique compact. La terminologie vient des problèmes de jeu où l'état d'un joueur représente sa richesse dans un casino. Sous des hypothèses standard (par exemple, gain courant continu et transitions non-expansives), nous considérons pour chaque facteur d'escompte la valeur v λ du jeu stochastique λ-escompté et nous étudions sa limite lorsque λ va à 0. Nous montrons que sous une nouvelle condition d'acyclicité, la limite existe et est caractérisée comme la solution unique d'un système d'équations fonctionnelles : la limite est l'unique fonction continue excessive et dépressive telle que chaque joueur, si son adversaire ne bouge pas, peut atteindre la zone où le payoff courant est au moins aussi bon que la valeur limite, sans dégrader la valeur limite. L'approche généralise et fournit un nouveau point de vue sur le système de Mertens-Zamir provenant de l'étude des jeux répétés à somme nulle avec manque d'information des deux côtés. Un contre-exemple montre que sous une notion légèrement plus faible d'acyclicité, la convergence de (v λ) peut échouer.

Pas de résumé disponible.

Pas de résumé disponible.

Pas de résumé disponible.

Pas de résumé disponible.

Pas de résumé disponible.

Pas de résumé disponible.

Cet ouvrage présente de manière concise les fondements mathématiques de la théorie des jeux, en mettant l'accent sur l'analyse stratégique liée à l'information et à la dynamique. Combinant les bases de la théorie des jeux, telles que les théorèmes d'existence de la valeur dans les jeux à somme nulle et les théorèmes d'existence de l'équilibre dans les jeux à somme non nulle, avec une sélection de sujets importants et plus récents tels que le collecteur d'équilibre et la dynamique d'apprentissage, le livre rapproche rapidement le lecteur de l'état de l'art. Des applications à l'économie, à la biologie et à l'apprentissage sont incluses, et les exercices, qui contiennent souvent des résultats remarquables, fournissent un complément important au texte. Basé sur des conférences données à Paris pendant plusieurs années, ce manuel sera utile pour des cours rigoureux et actualisés sur le sujet. Outre un intérêt pour la réflexion stratégique et un goût pour le formalisme mathématique, la seule condition préalable à la lecture de ce livre est une solide connaissance des mathématiques au niveau du premier cycle universitaire, y compris l'analyse de base, l'algèbre linéaire et les probabilités.

Nous analysons des jeux de conception d'information strictement compétitifs entre deux concepteurs et un agent. Avant que l'agent ne prenne une décision, les concepteurs divulguent des informations publiques à plusieurs étapes sur les paramètres d'état persistants. Nous considérons des environnements avec des contraintes arbitraires sur les politiques de divulgation d'information réalisables. Nos principaux résultats caractérisent les gains et les stratégies d'équilibre pour différents moments du jeu : divulgations simultanées ou alternées, avec ou sans date limite. Sans contraintes sur les politiques, l'information est divulguée en une seule étape, mais il peut n'y avoir aucune limite sur le nombre d'étapes utilisées pour divulguer l'information lorsque les politiques sont contraintes. En guise d'application, nous étudions la concurrence dans la démonstration de produits et montrons que davantage d'informations sont révélées lorsqu'il y a une date limite. Le format qui fournit le plus d'informations à l'acheteur est le jeu séquentiel avec date limite dans lequel le vendeur le plus fort ex-ante est le dernier à bouger.

Les jeux stochastiques à somme nulle généralisent la notion de processus de décision de Markov (i.e. chaînes de Markov contrôlées, ou programmation dynamique stochastique) au cas compétitif à 2 joueurs : deux joueurs contrôlent conjointement l'évolution d'une variable d'état, et ont des intérêts opposés. Ces notes constituent une courte introduction mathématique à la théorie de ces jeux. La section 1 présente le modèle de base avec un nombre fini d'états et d'actions. Nous donnons les preuves des résultats standards concernant : l'existence et les formules pour les valeurs des jeux à n étapes, des jeux à λ escompte, la convergence de ces valeurs lorsque λ va à 0 (approche algébrique) et lorsque n va à +∞, un exemple important appelé "The Big Match" et l'existence de la valeur uniforme. La section 2 présente une sélection courte et subjective de résultats connexes et plus récents : les jeux à un joueur (MDP) et le cas compact non expansif, un simple jeu stochastique continu compact sans valeur asymptotique, et l'équivalence générale entre la convergence uniforme de (v n) n et (v λ) λ. D'autres références sur le sujet peuvent être trouvées par exemple dans les livres de Mertens-Sorin.

Pas de résumé disponible.

Pas de résumé disponible.

Pas de résumé disponible.

Nous disons que deux espaces types sur un espace d'incertitude fixe sont δ-away s'il existe une fonction de paiement à somme nulle (uniformément bornée par 1) telle que les valeurs du jeu à somme nulle sur les deux espaces types sont δ-away l'une de l'autre. Nous montrons que la topologie induite n'est pas précompacte : il existe δ > 0 et un ensemble d'espaces types infiniment nombreux tels que deux quelconques d'entre eux sont δ-écartés l'un de l'autre. Il est donc impossible d'approximer l'univers entier des espaces de types avec des ensembles finis. De plus, cette construction montre qu'il existe des espaces de type ayant la même distribution conjointe de croyances d'ordre arbitrairement élevé qui sont δ-écartés les uns des autres.

Nous étudions un modèle dynamique de fourniture d'informations. Un état de la nature évolue selon une chaîne de Markov. Un conseiller informé décide de la quantité d'informations à fournir à un décideur non informé, afin d'influencer ses décisions à court terme. Nous traitons une classe stylisée de situations, dans lesquelles le décideur a une action risquée et une action sûre, et le payo du conseiller ne dépend que de l'action choisie par le décideur. La politique de divulgation avide est la politique qui, à chaque tour, minimise la quantité d'informations divulguées à ce tour, sous la contrainte qu'elle maximise le gain actuel du conseiller. Nous prouvons que la politique avide est optimale dans de nombreux cas, mais pas toujours.

Nous étudions les processus de décision de Markov à long terme et les maisons de jeu, avec des applications à tout PDM à observation partielle avec un nombre fini d'états et aux jeux répétés à somme nulle avec un contrôleur informé. Nous considérons un décideur qui maximise la somme pondérée t≥1 θtrt, où rt est la récompense attendue de la t-ième étape. Nous prouvons l'existence d'une notion très forte de valeur à long terme appelée valeur uniforme générale, représentant le fait que le décideur peut bien jouer indépendamment des évaluations (θt) t≥1 sur les étapes, à condition que la variation (ou impatience) totale t≥1 |θt+1 - θt| soit suffisamment petite. Ce résultat généralise les résultats précédents de Rosenberg, Solan et Vieille [35] et Renault [31] qui se concentrent sur les moyennes arithmétiques et les évaluations actualisées. De plus, nous donnons une caractérisation variationnelle de la valeur uniforme générale via l'introduction de mesures invariantes appropriées pour les problèmes de décision, généralisant le théorème fondamental des jeux de hasard ou la formule cavu d'Aumann-Maschler pour les jeux répétés à information incomplète. Outre l'introduction de mesures invariantes appropriées, la principale innovation dans nos preuves est l'introduction d'une nouvelle métrique d * telle que les MDP à observation partielle et les jeux répétés avec un contrôleur informé peuvent être associés à des problèmes auxiliaires qui sont non-expansifs par rapport à d *. Étant donné deux probabilités de Borel sur un sous-ensemble compact X d'un espace vectoriel normé, on définit d * (u, v) = sup f ∈D 1 |u(f) - v(f)|, où D1 est l'ensemble des fonctions satisfaisant : ∀x, y ∈ X, ∀a, b ≥ 0, af (x) - bf (y) ≤ ax - by. Le cas particulier où X est un simplexe doté de la norme L 1 est particulièrement intéressant : d * est la plus grande distance sur les probabilités à support fini sur X qui rend toute désintégration non-expansive. De plus, nous obtenons une formule de dualité de type Kantorovich-Rubinstein pour d * (u, v) impliquant des couples de mesures (α, β) sur X × X tels que la première marginale de α est u et la seconde marginale de β est v. Classification MSC : Primaire : 90C40 . Secondaire : 60J20, 91A15.

Nous considérons des jeux stochastiques à somme nulle à deux joueurs où chaque joueur contrôle sa propre variable d'état vivant dans un espace métrique compact. La terminologie vient des problèmes de jeu où l'état d'un joueur représente sa richesse dans un casino. Sous des hypothèses naturelles (telles que le gain courant continu et les transitions non expansives), nous considérons pour chaque facteur d'escompte la valeur v λ du jeu stochastique λ-escompté et nous étudions sa limite lorsque λ va à 0. Nous montrons que sous une forte condition d'acyclicité, la limite existe et est caractérisée comme la solution unique d'un système d'équations fonctionnelles : la limite est l'unique fonction continue excessive et dépressive telle que chaque joueur, si son adversaire ne bouge pas, peut atteindre la zone où le payoff courant est au moins aussi bon que la valeur limite, sans dégrader la valeur limite. L'approche généralise et fournit un nouveau point de vue sur le système de Mertens-Zamir provenant de l'étude des jeux répétés à somme nulle avec manque d'information des deux côtés. Un contre-exemple montre que sous une notion légèrement plus faible d'acyclicité, la convergence de (v λ) peut échouer.

Nous étudions l'existence de différentes notions de valeurs dans les jeux répétés à somme nulle à deux personnes où l'état évolue et où les joueurs reçoivent des signaux. Nous fournissons quelques exemples montrant que la valeur limsup et la valeur uniforme peuvent ne pas exister en général. Ensuite, nous montrons l'existence de la valeur pour toute fonction de gain Borel si les joueurs observent un signal public incluant les actions jouées. Nous prouvons également deux autres résultats positifs sans hypothèses sur la structure de signalisation : l'existence de la valeur $\sup$ et l'existence de la valeur uniforme dans les jeux récursifs avec des gains non-négatifs.

Nous étudions des jeux d'appariement aléatoires anonymes répétés à l'infini, joués par des communautés de joueurs, qui n'observent que les résultats de leurs propres appariements. Il est bien connu que la coopération peut être soutenue à l'équilibre pour le dilemme du prisonnier, mais peu de choses sont connues au-delà de ce jeu. Nous étudions un nouveau concept d'équilibre, le strong uniform equilibrium (SUE), qui raffine l'uniform equilibrium (UE) et possède des propriétés supplémentaires. Nous établissons des théorèmes populaires pour des jeux généraux et un nombre arbitraire de communautés. Nous étendons les résultats à un cadre avec une surveillance privée imparfaite, pour le cas de deux communautés. Nous montrons également qu'il est possible pour certains joueurs d'obtenir des gains d'équilibre qui sont en dehors de l'ensemble des gains individuellement rationnels et réalisables du jeu de scène. Comme sous-produit de notre analyse, nous prouvons que, dans les jeux répétés généraux avec des joueurs, des actions et des signaux finis, les ensembles de gains UE et SUE coïncident.

Les jeux stochastiques à somme nulle possèdent une structure récursive qui s'exprime dans leur opérateur de programmation dynamique, appelé opérateur de Shapley. Ce dernier permet d'étudier le comportement asymptotique de la moyenne des paiements par unité de temps. En particulier, le paiement moyen existe et ne dépend pas de l'état initial si l'équation ergodique - une équation non-linéaire aux valeurs propres faisant intervenir l'opérateur de Shapley - admet une solution. Comprendre sous quelles conditions cette équation admet une solution est un problème central de la théorie de Perron-Frobenius non-linéaire, et constitue le principal thème d'étude de cette thèse. Diverses classes connues d'opérateur de Shapley peuvent être caractérisées par des propriétés basées entièrement sur la relation d'ordre ou la structure métrique de l'espace. Nous étendons tout d'abord cette caractérisation aux opérateurs de Shapley "sans paiements", qui proviennent de jeux sans paiements instantanés. Pour cela, nous établissons une expression sous forme minimax des fonctions homogènes de degré un et non-expansives par rapport à une norme faible de Minkowski. Nous nous intéressons ensuite au problème de savoir si l'équation ergodique a une solution pour toute perturbation additive des paiements, problème qui étend la notion d'ergodicité des chaînes de Markov. Quand les paiements sont bornés, cette propriété d'"ergodicité" est caractérisée par l'unicité, à une constante additive près, du point fixe d'un opérateur de Shapley sans paiement. Nous donnons une solution combinatoire s'exprimant au moyen d'hypergraphes à ce problème, ainsi qu'à des problèmes voisins d'existence de points fixes. Puis, nous en déduisons des résultats de complexité. En utilisant la théorie des opérateurs accrétifs, nous généralisons ensuite la condition d'hypergraphes à tous types d'opérateurs de Shapley, y compris ceux provenant de jeux dont les paiements ne sont pas bornés. Dans un troisième temps, nous considérons le problème de l'unicité, à une constante additive près, du vecteur propre. Nous montrons d'abord que l'unicité a lieu pour une perturbation générique des paiements. Puis, dans le cadre des jeux à information parfaite avec un nombre fini d'actions, nous précisons la nature géométrique de l'ensemble des perturbations où se produit l'unicité. Nous en déduisons un schéma de perturbations qui permet de résoudre les instances dégénérées pour l'itération sur les politiques.

Nous considérons un problème de contrôle optimal avec un coût intégral qui est une moyenne de une fonction donnée. Dans un cas particulier, le coût concerné est la moyenne de Ces\`aro moyenne. La limite de la valeur avec la moyenne de Ces\`aro lorsque l'horizon tend vers l'infini est largement étudiée dans la littérature. l'infini est largement étudiée dans la littérature. Nous abordons la question plus générale question plus générale de l'existence d'une limite lorsque le paramètre de moyenne converge, pour des valeurs définies avec des moyennes de types généraux. Nous considérons une fonction donnée et une famille de coûts définis comme la moyenne de la fonction fonction par rapport à une famille de mesures de probabilité - les évaluations - sur R_+. sur R_+. Nous fournissons des conditions sur les évaluations afin d'obtenir la convergence de la fonction de valeur associée (lorsque le paramètre de la famille converge). converge). Notre résultat principal donne une condition nécessaire et suffisante en terme de la variation totale de la famille de mesures de probabilité sur R_+. Comme sous-produit nous obtenons l'existence d'une valeur limite (pour des moyens généraux) pour les systèmes de contrôle ayant un ensemble invariant compact. contrôle ayant un ensemble invariant compact et satisfaisant une propriété nonexpansive appropriée. propriété non-expansive.

Nous considérons des jeux répétés à somme nulle avec information incomplète des deux côtés, où les états observés en privé par chaque joueur suivent des chaînes de Markov indépendantes. Ce modèle généralise le modèle, introduit par Aumann et Maschler dans les années soixante et résolu par Mertens et Zamir dans les années soixante-dix, où les états privés des joueurs étaient fixés. Il inclut également le modèle introduit par Renault \cite{R2006}, de jeux répétés en chaîne de Markov avec manque d'information d'un côté, où un seul joueur observe en privé la séquence d'états. Nous prouvons ici que la valeur limite existe, et nous obtenons une caractérisation via le système de Mertens-Zamir, où la "fonction de valeur non révélatrice" introduite dans le système est maintenant définie comme la valeur limite d'un jeu dynamique auxiliaire "non révélateur". Ce jeu non révélateur est défini en restreignant les joueurs à ne révéler aucune information sur le comportement limite de leur propre chaîne de Markov, comme dans Renault 2006. Il y a deux difficultés techniques clés dans la preuve : 1) prouver la régularité, au sens de l'équicontinuité, des fonctions de valeur non révélatrices à $T$ étages, et 2) construire des stratégies par blocs afin de relier les valeurs des jeux non révélateurs aux valeurs originales.

Nous considérons un problème de programmation dynamique avec un espace d'état arbitraire et des récompenses bornées. Est-il possible de définir de manière unique une valeur limite pour le problème, où la ''patience'' du décideur tend vers l'infini ? Nous considérons, pour chaque évaluation $\theta$ (une distribution de probabilité sur les entiers positifs) la fonction de valeur $v_{\theta}$ du problème où le poids de toute étape $t$ est donné par $\theta_t$, et nous étudions la convergence uniforme d'une séquence $(v_{\theta^k})_k$ lorsque l'"impatience" des évaluations disparaît, au sens où $\sum_{t} | \theta^k_{t}-\theta^k_{t+1}| \rightarrow_{k \to \infty} 0$. Nous prouvons que cette convergence uniforme se produit si et seulement si l'espace métrique $\{v_{\theta^k}, k\geq 1\}$ est totalement borné. De plus, il existe une fonction particulière $v^*$, indépendante de la séquence particulière choisie $({\theta^k})_k$, telle que tout point limite d'une telle séquence de fonctions de valeur est précisément $v^*$. Par conséquent, en parlant de convergence uniforme des fonctions de valeur, $v^*$ peut être considéré comme l'unique limite possible lorsque la patience du décideur tend vers l'infini. Le résultat s'applique en particulier aux gains actualisés lorsque le facteur d'actualisation disparaît, ainsi qu'aux gains moyens lorsque le nombre d'étapes tend vers l'infini, et également aux modèles avec transitions stochastiques. Nous présentons des corollaires faciles à mettre en œuvre, et nous discutons de contre-exemples et d'une conjecture.

Nous avons l'immense plaisir d'éditer ce numéro spécial en l'honneur de Sylvain Sorin. Il fait suite à la conférence internationale ''GameS and StrategY in PariS'', organisée par l'école française de théorie mathématique des jeux, qui s'est également tenue en son honneur. La conférence a eu lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP) en juin 2012, comprenait 21 conférences plénières et a attiré plus de 150 participants.

Un émetteur souhaite transmettre un secret à un récepteur à travers un réseau de communication, où certains nœuds sont contrôlés par un adversaire. Nous caractérisons les réseaux dirigés pour lesquels il existe des protocoles de communication ε -secret et ε -strongtemps sécurisés (∀ε>0∀ε>0) : si tous les nœuds sont obéissants, le récepteur apprend le secret avec une probabilité d'au moins 1-ε1-ε et aucune information n'est divulguée (secret), et cette propriété est maintenue sous toute stratégie de l'adversaire (sécurité). Pour le secret, une condition nécessaire et suffisante est qu'il existe un chemin dirigé de l'émetteur au récepteur, et pour chaque coalition adverse possible A, il existe un chemin non dirigé de l'émetteur au récepteur qui ne contient aucun noeud dans A. Pour la sécurité, une condition nécessaire et suffisante est que pour chaque coalition adverse possible A, le graphe obtenu en enlevant tous les noeuds dans A a toujours la propriété précédente.

Nous étudions un modèle dynamique de fourniture d'informations. Un état de la nature évolue selon une chaîne de Markov. Un conseiller informé décide de la quantité d'informations à fournir à un décideur non informé, afin d'influencer ses décisions à court terme. Nous traitons une classe stylisée de situations, dans lesquelles le décideur a une action risquée et une action sûre, et le payo du conseiller ne dépend que de l'action choisie par le décideur. La politique de divulgation avide est la politique qui, à chaque tour, minimise la quantité d'informations divulguées à ce tour, sous la contrainte qu'elle maximise le gain actuel du conseiller. Nous prouvons que la politique avide est optimale dans de nombreux cas, mais pas toujours.

Nous considérons un problème de programmation dynamique avec un espace d'état arbitraire et des récompenses bornées. Est-il possible de définir de manière unique une valeur limite pour le problème, où la ''patience'' du décideur tend vers l'infini ? Nous considérons, pour chaque évaluation $\theta$ (une distribution de probabilité sur les entiers positifs) la fonction de valeur $v_{\theta}$ du problème où le poids de toute étape $t$ est donné par $\theta_t$, et nous étudions la convergence uniforme d'une séquence $(v_{\theta^k})_k$ lorsque l'"impatience" des évaluations disparaît, au sens où $\sum_{t} | \theta^k_{t}-\theta^k_{t+1}| \rightarrow_{k \to \infty} 0$. Nous prouvons que cette convergence uniforme se produit si et seulement si l'espace métrique $\{v_{\theta^k}, k\geq 1\}$ est totalement borné. De plus, il existe une fonction particulière $v^*$, indépendante de la séquence particulière choisie $({\theta^k})_k$, telle que tout point limite d'une telle séquence de fonctions de valeur est précisément $v^*$. Par conséquent, en parlant de convergence uniforme des fonctions de valeur, $v^*$ peut être considéré comme l'unique limite possible lorsque la patience du décideur tend vers l'infini. Le résultat s'applique en particulier aux gains actualisés lorsque le facteur d'actualisation disparaît, ainsi qu'aux gains moyens lorsque le nombre d'étapes tend vers l'infini, et également aux modèles avec transitions stochastiques. Nous présentons des corollaires faciles à mettre en œuvre, et nous discutons de contre-exemples et d'une conjecture.

Nous considérons une version dynamique des jeux expéditeur-récepteur, où la séquence d'états suit une chaîne de Markov irréductible observée par l'expéditeur. Sous des hypothèses légères, nous fournissons une caractérisation simple de l'ensemble limite des gains d'équilibre, lorsque les joueurs deviennent très patients. Sous ces hypothèses, l'ensemble limite ne dépend de la chaîne de Markov que par sa mesure invariante. Les gains d'équilibre (limite) sont les gains réalisables qui satisfont une condition de rationalité individuelle pour le récepteur et une condition de compatibilité des incitations pour l'émetteur.

La 4e de couverture indique : " Cet ouvrage est destiné aux étudiants en master ainsi qu’aux étudiants des écoles d’ingénieurs. Les connaissances mathématiques requises sont celles d’une licence scientifique. Ce cours est consacré à une présentation des principaux concepts et outils mathématiques de la théorie des jeux stratégiques. L’accent est mis sur l’exposé et les preuves des résultats fondamentaux (minmax et opérateur valeur, équilibre de Nash et corrélé). Par ailleurs certains développements récents sont présentés : variété des équilibres, dynamiques de sélection, apprentissage et jeux répétés. L’ouvrage comporte une importante section d’exercices et corrigés.".

Cet ouvrage est destiné aux étudiants en master ainsi qu'aux étudiants des écoles d'ingénieurs. Les connaissances mathématiques requises sont celles d'une licence scientifique. Ce cours est consacré à une présentation des principaux concepts et outils mathématiques de la théorie des jeux stratégiques. L'accent est mis sur l'exposé et les preuves des résultats fondamentaux (minmax et opérateur valeur, équilibre de Nash et corrélé). Par ailleurs certains développements récents sont présentés : variété des équilibres, dynamiques de sélection, apprentissage et jeux répétés. L'ouvrage comporte une importante section d'exercices et corrigés.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à un modèle général de jeux répétés à deux joueurs et à somme nulle et en particulier au problème de l’existence de la valeur uniforme. Un jeu répété a une valeur uniforme s’il existe un paiement que les deux joueurs peuvent garantir, dans tous les jeux commençant aujourd’hui et suffisamment longs, indépendamment de la longueur du jeu. Dans un premier chapitre, on étudie les cas d’un seul joueur, appelé processus de décision Markovien partiellement observable, et des jeux où un joueur est parfaitement informé et contrôle la transition. Il est connu que ces jeux admettent une valeur uniforme. En introduisant une nouvelle distance sur les probabilités sur le simplexe de Rm, on montre l’existence d’une notion plus forte où les joueurs garantissent le même paiement sur n’importe quel intervalle de temps suffisamment long et non pas uniquement sur ceux commençant aujourd’hui. Dans les deux chapitres suivants, on montre l’existence de la valeur uniforme dans deux cas particuliers de jeux répétés : les jeux commutatifs dans le noir, où les joueurs n’observent pas l'état mais l’état est indépendant de l’ordre dans lequel les actions sont jouées, et les jeux avec un contrôleur plus informé, où un joueur est plus informé que l’autre joueur et contrôle l'évolution de l'état. Dans le dernier chapitre, on étudie le lien entre la convergence uniforme des valeurs des jeux en n étapes et le comportement asymptotique des stratégies optimales dans ces jeux en n étapes. Pour chaque n, on considère le paiement garanti pendant ln étapes avec 0 < l < 1 par les stratégies optimales pour n étapes et le comportement asymptotique lorsque n tend vers l’infini.

La modélisation d'une interaction stratégique nécessite de porter une attention particulière aux connaissances qu'ont les joueurs de la situation à laquelle ils participent. En cas d'interaction répétée, ces connaissances sont amenées à évoluer au cours du temps. Cette thèse s'interesse aux aspects stratégiques de l'évolution de ces informations. Elle contient cinq chapitres. Les deux premiers concernent l'existence d'équilibres uniformes de jeux répétés à manque d'information d'un seul côté (introduits par Aumann et Maschler). Le problème principal est alors de déterminer quelle quantité d'information peut être transmise à l'équilibre. L'existence d'équilibres est obtenue dans certains cas, grâce à des preuves d'analyse convexe et l'emploi de techniques statistiques. On étudie ensuite les façons stratégiques, au sens robustes aux déviations de la part d'un seul joueur, de transmettre une information. Le troisième chapitre introduit une classe de jeux répétés dits de proximité, et résout essentiellement le problème de la déection d'une déviation survenant au cours du jeu. Enfin, les deux derniers chapitres sont consacrés à la possibilité de transmettre de façon stratégique, déterministe ou probabiliste, une information concernant la situation initiale d'une intéraction. Des caractérisations sont données, et des liens avec l'existence d'équilibres complètement révélateurs dans les jeux répétés à information incomplète sont exhibés.