BONNANS Frederic

Nous proposons et étudions une classe générale de problèmes de jeu de champ moyen (MFG) à temps discret et à espace d'état fini avec une structure potentielle. Notre modèle incorpore des interactions à travers un terme de congestion et une variable de prix. Il permet également des contraintes dures sur la distribution des agents. Nous analysons la connexion entre le problème MFG et deux problèmes de contrôle optimal en dualité. Nous présentons deux familles de méthodes numériques et détaillons leur mise en œuvre : (i) les méthodes proximales primales-duales (et leur extension avec des opérateurs de proximité non linéaires), (ii) la méthode des multiplicateurs en direction alternée (ADMM) et une variante appelée ADM-G. Nous donnons quelques résultats de convergence. Des résultats numériques sont fournis pour deux exemples avec des contraintes dures.

Une nouvelle approche pour estimer la consommation d'énergie du trafic via l'agrégation de données de trafic dans des distributions de probabilité (vitesse, accélération) est proposée. L'agrégation est effectuée sur chaque segment composant le réseau routier. Afin de réduire l'occupation des données, des techniques de clustering sont utilisées pour obtenir des classes significatives de conditions de trafic. Différents moments de la journée avec des modèles de vitesse et des comportements de trafic similaires sont ainsi regroupés dans un seul cluster. Différents modèles de consommation d'énergie basés sur les données agrégées sont proposés pour estimer la consommation d'énergie des véhicules dans le réseau routier. À des fins de validation, un simulateur de trafic microscopique est utilisé pour générer les données et comparer la consommation d'énergie estimée à celle de référence. Une analyse de sensibilité approfondie par rapport aux paramètres de la méthode proposée (i.e. nombre de clusters, taille du support de distribution, etc.) est également menée en simulation. Enfin, un scénario réel utilisant des données de voitures flottantes est analysé pour évaluer l'applicabilité et la robustesse de la méthode proposée.

Nous concevons des discrétisations adaptatives par différences finies, qui sont elliptiques dégénérées et cohérentes au second ordre, d'opérateurs différentiels partiels linéaires et quasi-linéaires comportant à la fois un terme du premier ordre et un terme anisotrope du second ordre. Notre approche nécessite que le domaine soit discrétisé sur une grille cartésienne, et tire avantage des techniques du domaine de la géométrie des treillis à faible dimension. Nous prouvons que le stencil de notre schéma numérique est optimalement compact, en dimension deux, et que notre approche est quasi-optimale en termes de condition de compatibilité requise des opérateurs de premier et second ordre, en dimension deux et trois. Des expériences numériques illustrent l'efficacité de notre méthode dans plusieurs contextes.

Cette thèse aborde la conception d'un Système de Gestion Énergétique (EMS), prenant en compte les contraintes de trafic, pour un véhicule hybride électrique. Actuellement, les EMS sont habituellement classé en deux catégories ceux proposant une architecture en temps réel cherchant un optimum local, et ceux qui recherchent un optimum global, plus coûteux en temps de calcul et donc plus approprié à un usage hors ligne. Cette thèse repose sur le fait que la consommation énergétique peut être modélisée précisément à l'aide de distributions de probabilité sur la vitesse et l'accélération. Dans le but de réduire la taille des données, une classification est proposé, basé sur la distance de Wasserstein, les barycentres des classes pouvant être calculés grâce aux itérations de Sinkhorn ou la méthode du Gradient Stochastique Alterné. Cette modélisation trafic a permis à une optimisation hors ligne de déterminer le contrôle optimal (le couple du moteur électrique) qui minimise la consommation de carburant du véhicule hybride sur un segment routier. Dans la continuité, un algorithme bi-niveau tirant avantage de cette information afin d'optimiser la consommation sur l'ensemble du trajet. Le niveau supérieur d'optimisation, étant déterministe, est suffisamment rapide pour une implémentation en temps réel. La pertinence du modèle de trafic et de la méthode bi-niveau est illustré à l'aide de données trafic générées par un simulateur, mais aussi grâce à des données réelles collectées prés de Lyon (France). Enfin, une extension de la méthode bi-niveau au problème d'éco-routage est envisagé, utilisant un graphe augmenté pour déterminer l'état de charge lors du chemin optimal.

Ce travail propose une nouvelle approche pour optimiser la consommation d'un véhicule électrique hybride en tenant compte des conditions de circulation. La méthode est basée sur une décomposition à deux niveaux afin de rendre l'implémentation adaptée à une utilisation en ligne. Le niveau inférieur hors ligne calcule les cartes de coûts grâce à une optimisation stochastique qui prend en compte l'influence du trafic, en termes de distributions de probabilité de vitesse/accélération. Au niveau supérieur en ligne, une optimisation déterministe calcule l'état de charge idéal à la fin de chaque segment de route, en utilisant les cartes de coûts calculées. Comme le coût de calcul élevé dû à l'incertitude des conditions de circulation a été géré au niveau inférieur, le niveau supérieur est suffisamment rapide pour être utilisé en ligne dans le véhicule. Les erreurs dues à la discrétisation et au calcul dans l'algorithme proposé ont été étudiées. Enfin, nous présentons des simulations numériques utilisant des données réelles de trafic, et nous comparons la méthode à deux niveaux proposée à une optimisation déterministe avec une information parfaite sur les conditions de trafic. Les solutions montrent une surconsommation raisonnable par rapport à l'optimisation déterministe, et des temps de calcul gérables pour les parties hors ligne et en ligne.

Une nouvelle approche pour estimer la consommation d'énergie du trafic via l'agrégation de données de trafic dans des distributions de probabilité (vitesse, accélération) est proposée. L'agrégation est effectuée sur chaque segment composant le réseau routier. Afin de réduire l'occupation des données, des techniques de clustering sont utilisées pour obtenir des classes significatives de conditions de trafic. Différents moments de la journée avec des modèles de vitesse et des comportements de trafic similaires sont ainsi regroupés dans un seul cluster. Différents modèles de consommation d'énergie basés sur les données agrégées sont proposés pour estimer la consommation d'énergie des véhicules dans le réseau routier. À des fins de validation, un simulateur de trafic microscopique est utilisé pour générer les données et comparer la consommation d'énergie estimée à celle de référence. Une analyse de sensibilité approfondie par rapport aux paramètres de la méthode proposée (i.e. nombre de clusters, taille du support de distribution, etc.) est également menée en simulation. Enfin, un scénario réel utilisant des données de voitures flottantes est analysé pour évaluer l'applicabilité et la robustesse de la méthode proposée.

Nous considérons la tâche de résoudre un problème d'optimisation de trajectoire d'avion où la dynamique du système a été estimée à partir de données enregistrées. De plus, nous voulons éviter les trajectoires optimisées qui s'éloignent trop du domaine occupé par les données, puisque la validité du modèle n'est pas garantie en dehors de cette région. Ceci motive le besoin d'un indicateur de proximité entre une trajectoire donnée et un ensemble de trajectoires de référence. Dans cette présentation, nous proposons un tel indicateur basé sur un estimateur paramétrique de la densité de l'ensemble d'apprentissage. Nous l'introduisons ensuite comme un terme de pénalité dans le problème de contrôle optimal. Notre approche est illustrée avec un problème de consommation minimale d'un avion et des données enregistrées de vols réels. Nous observons dans nos résultats numériques le compromis attendu entre la consommation et le terme de pénalité.

Une extension de l'optimisation à deux niveaux pour la gestion énergétique des véhicules électriques hybrides (HEV) proposée dans Le Rhun et al. (2019a) au problème de l'éco-routage est présentée. En utilisant la connaissance des conditions de trafic sur l'ensemble du réseau routier, nous recherchons à la fois le chemin optimal et la trajectoire d'état de charge. Ce problème se traduit par la recherche du plus court chemin sur un graphe pondéré dont les nœuds sont des paires (position, état de charge) pour le véhicule, le coût des arêtes étant évalué grâce aux cartes de coûts issues de l'optimisation au niveau " micro " d'une décomposition à deux niveaux. L'erreur due à la discrétisation de l'état de charge s'avère être linéaire si les cartes de coût sont Lipschitz. L'algorithme classique A * est utilisé pour résoudre le problème, avec une heuristique basée sur une borne inférieure de l'énergie nécessaire pour effectuer le trajet. La méthode d'éco-routage est validée par des simulations numériques et comparée au chemin le plus rapide sur un réseau routier synthétique.

Ce travail propose une nouvelle approche pour optimiser la consommation d'un véhicule électrique hybride en tenant compte des conditions de circulation. La méthode est basée sur une décomposition à deux niveaux afin de rendre l'implémentation adaptée à une utilisation en ligne. Le niveau inférieur hors ligne calcule les cartes de coûts grâce à une optimisation stochastique qui prend en compte l'influence du trafic, en termes de distributions de probabilité de vitesse/accélération. Au niveau supérieur en ligne, une optimisation déterministe calcule l'état de charge idéal à la fin de chaque segment de route, en utilisant les cartes de coûts calculées. Comme le coût de calcul élevé dû à l'incertitude des conditions de circulation a été géré au niveau inférieur, le niveau supérieur est suffisamment rapide pour être utilisé en ligne dans le véhicule. Les erreurs dues à la discrétisation et au calcul dans l'algorithme proposé ont été étudiées. Enfin, nous présentons des simulations numériques utilisant des données réelles de trafic, et nous comparons la méthode à deux niveaux proposée à une optimisation déterministe avec une information parfaite sur les conditions de trafic. Les solutions montrent une surconsommation raisonnable par rapport à l'optimisation déterministe, et des temps de calcul gérables pour les parties hors ligne et en ligne.

Les réseaux électriques doivent absorber une production d'énergie renouvelable croissante, de façon décentralisée. Leur gestion optimale amène à des problèmes spécifiques. Nous étudions dans cette thèse la formulation mathématique de tels problèmes en tant que problèmes d'optimisation stochastique multi-pas de temps. Nous analysons plus spécifiquement la décomposition en temps et en espace de tels problèmes. Dans la première partie de ce manuscrit, Décomposition temporelle pour l'optimisation de la gestion de microgrid domestique, nous appliquons les méthodes d'optimisation stochastique à la gestion de microgrid de petite taille. Nous comparons différents algorithmes d'optimisation sur deux exemples: le premier considère une microgrid domestique équipée avec une batterie et une centrale de micro-cogénération. le deuxième considère quant à lui une autre microgrid domestique, cette fois équipée avec une batterie et des panneaux solaires. Dans la seconde partie, Décomposition temporelle et spatiale de problèmes d'optimisation de grande taille, nous étendons les études précédentes à des microgrids de plus grandes tailles, avec différentes unités et stockages connectés ensemble. La résolution frontale de tels problèmes de grande taille par Programmation Dynamique s'avère impraticable. Nous proposons deux algorithmes originaux pour pallier ce problème en mélangeant une décomposition temporelle avec une décomposition spatiale --- par les prix ou par les ressources. Dans la dernière partie, Contributions à l'algorithme Stochastic Dual Dynamic Programming, nous nous concentrons sur l'algorithme emph{Stochastic DualDynamic Programming} (SDDP) qui est actuellement une méthode de référence pour résoudre des problèmes d'optimisation stochastique multi-pas de temps. Nous étudions un nouveau critère d'arrêt pour cet algorithme basé sur une version duale de SDDP, qui permet d'obtenir une borne supérieure déterministe pour le problème primal.

Cet article aborde le problème de l'identification de systèmes dynamiques non linéaires structurés, dans le but d'utiliser la dynamique apprise dans des problèmes d'apprentissage par renforcement basés sur des modèles. Nous présentons dans ce contexte une nouvelle classe d'estimateurs multi-tâches évolutifs qui favorisent la sparsité, tout en préservant la structure de la dynamique et en tirant parti des connaissances physiques disponibles. Une mise en œuvre conduisant à une sélection cohérente des caractéristiques est suggérée, permettant d'obtenir des modèles précis. Un régularisateur supplémentaire est également proposé pour aider à récupérer des représentations cachées réalistes de la dynamique. Nous illustrons notre méthode en l'appliquant à un problème d'optimisation de trajectoire d'avion. Nos résultats numériques, basés sur des données de vol réelles de 25 avions moyen-courriers, totalisant 8 millions d'observations, montrent que notre approche est compétitive par rapport aux méthodes existantes pour ce type d'application.

Nous considérons la tâche de résoudre un problème d'optimisation de trajectoire d'avion où la dynamique du système a été estimée à partir de données enregistrées. De plus, nous voulons éviter les trajectoires optimisées qui s'éloignent trop du domaine occupé par les données, puisque la validité du modèle n'est pas garantie en dehors de cette région. Ceci motive le besoin d'un indicateur de proximité entre une trajectoire donnée et un ensemble de trajectoires de référence. Dans cette présentation, nous proposons un tel indicateur basé sur un estimateur paramétrique de la densité de l'ensemble d'apprentissage. Nous l'introduisons ensuite comme un terme de pénalité dans le problème de contrôle optimal. Notre approche est illustrée avec un problème de consommation minimale d'un avion et des données enregistrées de vols réels. Nous observons dans nos résultats numériques le compromis attendu entre la consommation et le terme de pénalité.

Dans cet article, nous abordons le problème de la quantification de la proximité d'une courbe nouvellement observée avec un échantillon donné de fonctions aléatoires, supposées avoir été échantillonnées à partir de la même distribution. Nous définissons un critère probabiliste à cette fin, basé sur les fonctions de densité marginale d'un processus aléatoire sous-jacent. Pour des applications pratiques, nous introduisons une classe d'estimateurs basés sur l'agrégation d'estimateurs de densité multivariés et prouvons leur cohérence. Nous illustrons l'efficacité de nos estimateurs, ainsi que l'utilité pratique du critère proposé, en appliquant notre méthode à un ensemble de données de trajectoires réelles d'avions.

Le problème de l'hydro-offre consiste à calculer des d'offre optimales afin de maximiser le bénéfice attendu d'un producteur hydroélectrique participant à un marché de l'électricité. Il combine le processus décisionnel du négociant et de l'hydro-répartiteur en un seul problème d'optimisation stochastique. C'est un problème de prise de décision séquentielle, et peut être formulé comme un programme stochastique à plusieurs étages.Ces modèles peuvent être difficiles à résoudre lorsque la fonction de valeur n'est pas concave. Dans cette thèse, nous étudions quelques-unes des limites du problème hydro-bidding et proposons une nouvelle méthode d'optimisation stochastique appelée le Mixed-Integer Dynamic Approximation Scheme (MIDAS). MIDAS résout des programmes stochastiques nonconvex avec des fonctions de valeurs monotones. Il fonctionne de manière similaire à la Stochastic Dual Dynamic Programming (SDDP), mais au lieu d'utiliser hyperplans, il utilise des fonctions d'étape pour créer une approximation externe de la fonction de valeur. MIDAS converge « almost surely » à (T+1)ε solution optimale quand les variables d'état continues, et à la solution optimale exacte quand les variables d'état entier.Nous utilisons MIDAS pour résoudre trois types de problèmes hydro-bidding qui sont nonconvex. Le premier modèle hydro-bidding que nous résolvons des variables d'état entier parce que des productions discrètes. Dans ce modèle, nous démontrer que les constructions MIDAS offrent qui sont meilleures que SDDP. Le prochain modèle hydro-bidding utilise processus de prix autorégressif au lieu d'une Markov chain. Le dernier modèle hydro-bidding intègre les effets d'eau de tête, où la fonction de production d'énergie dépend du niveau de stockage du réservoir et du débit d'eau de la turbine. Dans tous ces modèles, nous démontrons la convergence de MIDAS dans des itérations finies.Le temps de convergence de MIDAS est supérieur à SDDP parce que des sous-problèmes est la mixed-integer programs (MIP). Pour les modèles d'enchères hydrauliques à variables d'état continues, son temps de calcul dépend de la valeur de le δ. Si le δ est grand, alors il réduit le temps de calcul de la convergence mais il augmente également l'erreur d'optimalité ε.Afin d'accélérer le MIDAS, nous avons introduit deux heuristiques. La première heuristique est une heuristique de sélection de fonction d'étape, qui est similaire au schéma « cut selection » dans le SDDP. Cette heuristique améliore le temps de résolution jusqu'à 64%. La seconde heuristique résout itérativement les sous-problèmes MIP dans MIDAS en utilisant des MIP plus petits, plutôt que comme un seul grand MIP. Cette heuristique améliore le temps de résolution jusqu'à 60%. En appliquant les deux heuristiques, nous avons pu utiliser MIDAS pour résoudre un problème hydro-bidding avec 4 réservoirs, 4 stations et des entier variables d'état.

Quatre nouvelles approches basées sur le maximum de vraisemblance pour l'identification de la dynamique des avions sont présentées et comparées. La motivation est le besoin de modèles dynamiques précis pour minimiser la consommation de carburant des avions en utilisant des techniques de contrôle optimal. Une méthode robuste de construction de modèles aérodynamiques est également proposée. Toutes ces approches ont été validées en utilisant des données de vol réelles provenant de 25 avions différents.

Nous analysons un algorithme pour résoudre les problèmes de contrôle stochastique, basé sur le principe du maximum de Pontryagin, dû à Sakawa et Shindo dans le cas déterministe et étendu au cadre stochastique par Mazliak. Nous supposons que soit la volatilité est une fonction affine de l'état, soit la dynamique est linéaire. Nous obtenons une décroissance monotone des fonctions de coût ainsi que, dans le cas convexe, le fait que la séquence de contrôles est minimisante, et converge vers une solution optimale si elle est bornée. Dans un cas spécifique, nous interprétons l'algorithme comme la méthode gradient plus projection et obtenons un taux de convergence linéaire vers la solution.

Cet article traite des solutions numériques d'un problème d'arrêt multiple optimal. L'équation de programmation dynamique (PD) correspondante est une inégalité variationnelle satisfaite par la fonction de valeur au sens de la viscosité. La convergence du schéma numérique est démontrée par des arguments de viscosité. Une méthode de quantification optimale est utilisée pour calculer les attentes conditionnelles qui apparaissent dans l'équation de programmation dynamique. Des résultats numériques sont présentés pour le prix de l'option swing et le comportement de la fonction de valeur.

Mixed Integer Dynamic Approximation Scheme (MIDAS) est un nouvel algorithme basé sur l'échantillonnage pour résoudre des programmes dynamiques stochastiques à horizon fini avec des fonctions de Bellman monotones. MIDAS approxime ces fonctions de valeur en utilisant des fonctions d'étape, ce qui conduit à des problèmes d'étape qui sont des programmes en nombres entiers mixtes. Nous fournissons une description générale de MIDAS, et prouvons sa convergence presque certaine vers une politique ε-optimale lorsque les fonctions de Bellman sont connues pour être continues, et que le processus d'échantillonnage satisfait aux hypothèses standard.

Pas de résumé disponible.

Nous présentons notre contribution sur la régulation et l’optimisation de la production d’électricité.La première partie concerne l’optimisation de la gestion d’un micro réseau. Nous formulons le programme de gestion comme un problème de commande optimal en temps continu, puis nous résolvons ce problème par programmation dynamique à l’aide d’un solveur développé dans ce but : BocopHJB. Nous montrons que ce type de formulation peut s’étendre à une modélisation stochastique. Nous terminons cette partie par l’algorithme de poids adaptatifs, qui permet une gestion de la batterie du micro réseau intégrant le vieillissement de celle-ci. L’algorithme exploite la structure à deux échelles de temps du problème de commande.La seconde partie concerne des modèles de marchés en réseaux, et en particulier ceux de l’électricité. Nous introduisons un mécanisme d’incitation permettant de diminuer le pouvoir de marché des producteurs d’énergie, au profit du consommateur. Nous étudions quelques propriétés mathématiques des problèmes d’optimisation rencontrés par les agents du marché (producteurs et régulateur). Le dernier chapitre étudie l’existence et l’unicité des équilibres de Nash en stratégies pures d’une classe de jeux Bayésiens à laquelle certains modèles de marchés en réseaux se rattachent. Pour certains cas simples, un algorithme de calcul d’équilibre est proposé.Une annexe rassemble une documentation sur le solveur numérique BocopHJB.

Le package original Bocop implémente une méthode d'optimisation locale. Le problème de contrôle optimal est approximé par un problème d'optimisation en dimension finie (NLP) utilisant une discrétisation temporelle (l'approche de transcription directe). Le problème NLP est résolu par le logiciel bien connu Ipopt, en utilisant des dérivées exactes éparses calculées par Adol-C. Le second package BocopHJB implémente une méthode d'optimisation globale. Comme pour l'approche de programmation dynamique, le problème de contrôle optimal est résolu en deux étapes. D'abord, nous résolvons l'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman satisfaite par la fonction de valeur du problème. Ensuite, nous simulons la trajectoire optimale à partir de toute condition initiale choisie. L'effort de calcul est essentiellement pris par la première étape, dont le résultat, la fonction de valeur, peut être stocké pour les simulations de trajectoire suivantes.

Dans leur article, Carmona et Touzi [8] ont étudié un problème de temps d'arrêt multiple optimal dans un marché où le processus de prix est continu. Dans cet article, nous généralisons leurs résultats lorsque le processus de prix est autorisé à sauter. De même, nous généralisons le problème associé à l'évaluation des swing options au contexte des processus de diffusion à saut. Nous relions notre problème à une séquence de problèmes ordinaires de temps d'arrêt. Nous caractérisons la fonction de valeur de chaque problème ordinaire de temps d'arrêt comme la solution unique de viscosité de l'inégalité variationnelle de Hamilton-Jacobi-Bellman associée.

La 4e de couverture indique : "Les problèmes d'optimisation présentant des aspects combinatoires, de par la présence de variables de décision entières, interviennent dans tous les secteurs de la vie économique (investissement, gestion de ressources humaines ou d'équipements, planification de production de l'énergie) mais aussi dans la technologie (conception de circuits intégrés, optimisation de réseaux de télécommunication ou de services en ligne). Cet ouvrage introduit aux grands principes de résolution de tels problèmes, basés sur la théorie des fonctions convexes, la dualité en optimisation, les polyèdres et la programmation linéaire, les méthodes de flots, de programmation dynamique, de séparation et évaluation, ou de coupes d'intégrité. Ce tour d'horizon inclut deux chapitres plus avancés, portant sur les applications en combinatoire de l'optimisation sous contrainte de positivité matricielle (optimisation SDP), et sur les algorithmes de points intérieurs pour la programmation quadratique convexe. Tout en s'appuyant sur une analyse mathématique rigoureuse, cet ouvrage présente de nombreux exemples. En particulier, un chapitre de corrigés d'une sélection d'exercices, ainsi qu'une trentaine d'énoncés de problèmes avec correction, prolongent le cours et fournissent des illustrations issues de domaines d'application variés.".

Dans ce rapport, étant donné une trajectoire faisable de référence d'un problème de contrôle optimal, nous disons que la propriété de croissance quadratique pour les solutions fortes bornées tient si la fonction de coût du problème a une croissance quadratique sur l'ensemble des trajectoires faisables avec un contrôle borné et avec une variable d'état suffisamment proche de la variable d'état de référence. Nos conditions suffisantes d'optimalité du second ordre sous forme de Pontryagin assurent cette propriété et assurent a fortiori que la trajectoire de référence est une solution forte bornée. Notre preuve s'appuie sur un principe de décomposition, qui est un développement particulier au second ordre du Lagrangien du problème.

Cette thèse est divisée en deux parties. Dans la première partie, nous étudions des problèmes de contrôle optimal déterministes avec contraintes et nous nous intéressons à des questions d'analyse de sensibilité. Le point de vue que nous adoptons est celui de l'optimisation abstraite. les conditions d'optimalité nécessaires et suffisantes du second ordre jouent alors un rôle crucial et sont également étudiées en tant que telles. Dans cette thèse, nous nous intéressons à des solutions fortes. De façon générale, nous employons ce terme générique pour désigner des contrôles localement optimaux pour la norme L1. En renforçant la notion d'optimalité locale utilisée, nous nous attendons à obtenir des résultats plus forts. Deux outils sont utilisés de façon essentielle : une technique de relaxation, qui consiste à utiliser plusieurs contrôles simultanément, ainsi qu'un principe de décomposition, qui est un développement de Taylor au second ordre particulier du lagrangien. Les chapitres 2 et 3 portent sur les conditions d'optimalité nécessaires et suffisantes du second ordre pour des solutions fortes de problèmes avec contraintes pures, mixtes et sur l'état final. Dans le chapitre 4, nous réalisons une analyse de sensibilité pour des problèmes relaxés avec des contraintes sur l'état final. Dans le chapitre 5, nous réalisons une analyse de sensibilité pour un problème de production d'énergie nucléaire. Dans la deuxième partie, nous étudions des problèmes de contrôle optimal stochastique sous contrainte en probabilité. Nous étudions une approche par programmation dynamique, dans laquelle le niveau de probabilité est vu comme une variable d'état supplémentaire. Dans ce cadre, nous montrons que la sensibilité de la fonction valeur par rapport au niveau de probabilité est constante le long des trajectoires optimales. Cette analyse nous permet de développer des méthodes numériques pour des problèmes en temps continu. Ces résultats sont présentés dans le chapitre 6, dans lequel nous étudions également une application à la gestion actif-passif.

Cet article développe une théorie de l'arc singulier, et les conditions nécessaires et suffisantes de second ordre correspondantes, pour le contrôle optimal d'une équation parabolique semilinéaire avec contrôle scalaire appliqué sur la droite. Nous obtenons en particulier une extension de la condition de Kelley, et la caractérisation d'une propriété de croissance quadratique pour une norme faible.

Dans cet article, nous calculons un développement du second ordre de la fonction de valeur d'une famille de problèmes de contrôle optimal relaxé avec des contraintes d'état final, paramétrés par une variable de perturbation. L'analyse de sensibilité est effectuée pour des contrôles que nous appelons solutions R-fortes. Ce sont des solutions optimales par rapport à l'ensemble des contrôles réalisables avec une norme uniforme plus petite qu'un R donné et ayant une trajectoire associée dans un petit voisinage pour la norme uniforme. Dans ce cadre, la relaxation nous permet de considérer une large classe de perturbations et donc de dériver des estimations précises de la fonction de valeur.

Nous donnons un aperçu de la technique de tir pour résoudre les problèmes de contrôle optimal déterministe. Cette approche permet de réduire localement ces problèmes à une équation de dimension finie. Nous rappelons d'abord l'idée de base, dans le cas de problèmes sans contrainte ou avec contrainte de contrôle, et montrons le lien avec les conditions d'optimalité du second ordre et les erreurs d'analyse ou de discrétisation. Nous nous concentrons ensuite sur deux cas qui sont maintenant mieux compris : les problèmes contraints par l'état et les systèmes de contrôle affines. Nous terminons en discutant des extensions au contrôle optimal d'une équation parabolique.

La thèse porte sur des problèmes de contrôle optimal où la dynamique est donnée par des équations différentielles avec mémoire. Pour ces problèmes d'optimisation, des conditions d'optimalité sont établies . celles du second ordre constituent une part importante des résultats de la thèse. Dans le cas - sans mémoire - des équations différentielles ordinaires, les conditions d'optimalité standards sont renforcées en ne faisant intervenir que les multiplicateurs de Lagrange pour lesquels le principe de Pontryaguine est satisfait. Cette restriction à un sous-ensemble des multiplicateurs représente un défi dans l'établissement des conditions nécessaires et permet aux conditions suffisantes d'assurer l'optimalité locale dans un sens plus fort. Les conditions standards sont d'autre part étendues au cas - avec mémoire - des équations intégrales. Les contraintes pures sur l'état du problème précédent ont été conservées et nécessitent une étude spécifique à la dynamique intégrale. Une autre forme de mémoire dans l'équation d'état d'un problème de contrôle optimal provient d'un travail de modélisation avec l'optimisation thérapeutique comme application médicale en vue. La dynamique de populations de cellules cancéreuses sous l'action d'un traitement est ramenée à des équations différentielles à retards . le comportement asymptotique en temps long du modèle structuré en âge est également étudié.

Dans cette thèse on s'intéresse aux problèmes de commande optimale pour des systèmes affines dans une partie de la commande. Premièrement, on donne une condition nécessaire du second ordre pour le cas ou le système est affine dans toutes les commandes. On a des bornes sur les contrôles et une solution bang-singulière. Une condition suffisante est donnée pour le cas d'une commande scalaire. On propose après un algorithme de tir et une condition suffisante pour sa convergence quadratique locale. Cette condition garantit la stabilité de la solution optimale et implique que l'algorithme converge quadratiquement localement pour le problème perturbé, dans certains cas. On présente des essais numériques qui valident notre méthode. Ensuite, on étudie un système affine dans une partie des commandes. On obtient des conditions nécessaire et suffisante du second ordre. Ensuite, on propose un algorithme de tir et on montre que la condition suffisante mentionnée garantit que cet algorithme converge quadratiquement localement. Enfi n, on étudie un problème de plani cation d'une centrale hydro-thermique. On analyse au moyen des conditions nécessaires obtenues par Goh, la possible apparition d'arcs singuliers.

Résumé français : Cette thèse est divisée en deux parties. Dans la première partie on s'intéresse aux problèmes de commande optimale déterministes et on étudie des approximations intérieures pour deux problèmes modèles avec des contraintes de non-négativité sur la commande. Le premier modèle est un problème de commande optimale dont la fonction de coût est quadratique et dont la dynamique est régie par une équation différentielle ordinaire. Pour une classe générale de fonctions de pénalité intérieure, on montre comment calculer le terme principal du développement ponctuel de l'état et de l'état adjoint. Notre argument principal se fonde sur le fait suivant: si la commande optimale pour le problème initial satisfait les conditions de complémentarité stricte pour le Hamiltonien sauf en un nombre fini d'instants, les estimations pour le problème de commande optimale pénalisé peuvent être obtenues à partir des estimations pour un problème stationnaire associé. Nos résultats fournissent plusieurs types de mesures de qualité de l'approximation pour la technique de pénalisation: estimations des erreurs de la commande , estimations des erreurs pour l'état et l'état adjoint et aussi estimations de erreurs pour la fonction valeur. Le second modèle est le problème de commande optimale d'une équation semi-linéaire elliptique avec conditions de Dirichlet homogène au bord, la commande étant distribuée sur le domaine et positive. L'approche est la même que pour le premier modèle, c'est-à-dire que l'on considère une famille de problèmes pénalisés, dont la solution définit une trajectoire centrale qui converge vers la solution du problème initial. De cette manière, on peut étendre les résultats, obtenus dans le cadre d'équations différentielles, au contrôle optimal d'équations elliptiques semi-linéaires. Dans la deuxième partie on s'intéresse aux problèmes de commande optimale stochastiques. Dans un premier temps, on considère un problème linéaire quadratique stochastique avec des contraintes de non-negativité sur la commande et on étend les estimations d'erreur pour l'approximation par pénalisation logarithmique. La preuve s'appuie sur le principe de Pontriaguine stochastique et un argument de dualité. Ensuite, on considère un problème de commande stochastique général avec des contraintes convexes sur la commande. L'approche dite variationnelle nous permet d'obtenir un développement au premier et au second ordre pour l'état et la fonction de coût, autour d'un minimum local. Avec ces développements on peut montrer des conditions générales d'optimalité de premier ordre et, sous une hypothèse géométrique sur l'ensemble des contraintes, des conditions nécessaires du second ordre sont aussi établies.

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On étudie la convergence d'un schéma anti-dissipatif, l'UltraBee, pour les équations Hamilton Jacobi Bellman en dimension 1. Deux méthodes de résolution utilisant ce schéma sont proposées. La première combine l'UltraBee à une adaptation de grille, la deuxième utilise un stockage creux. Cette dernière est appliquée au problème de la rentrée atmosphérique. Enfin, quelques extensions théoriques sont données.

Cette thèse s'intéresse au problème de commande optimale (déterministe) d'une équation différentielle ordinaire soumise à une ou plusieurs contraintes sur l'état, d'ordres quelconques, dans le cas où la condition forte de Legendre-Clebsch est satisfaite. Le principe du minimum de Pontryaguine fournit une condition d'optimalité nécessaire bien connue. Dans cette thèse, on obtient premièrement une condition d'optimalité suffisante du second ordre la plus faible possible, c'est-à-dire qu'elle est aussi proche que possible de la condition nécessaire du second ordre et caractérise la croissance quadratique. Cette condition nous permet d'obtenir une caractérisation du caractère bien posé de l'algorithme de tir en présence de contraintes sur l'état. Ensuite on effectue une analyse de stabilité et de sensibilité des solutions lorsque l'on perturbe les données du problème. Pour des contraintes d'ordre supérieur ou égal à deux, on obtient pour la première fois un résultat de stabilité des solutions ne faisant aucune hypothèse sur la structure de la trajectoire. Par ailleurs, des résultats sur la stabilité structurelle des extrémales de Pontryaguine sont donnés. Enfin, ces résultats d'une part sur l'algorithme de tir et d'autre part sur l'analyse de stabilité nous permettent de proposer, pour des contraintes sur l'état d'ordre un et deux, un algorithme d'homotopie dont la nouveauté est de déterminer automatiquement la structure de la trajectoire et d'initialiser les paramètres de tir associés.

Cette thèse s’intéresse à la résolution de problèmes d’optimisation non-différentiable de grandes tailles résultant le plus souvent d’une relaxation Lagrangienne d’un problème difficile. Cette technique est couramment utilisée pour appréhender des problèmes linéaires avec nombres entiers ou des problèmes convexes complexes. Le problème dual obtenu est non différentiable -éventuellement séparable- et peut être résolu par un algorithme de faisceau. Le chapitre 2 propose une revue de littérature des méthodes d’optimisation non différentiable. Dans certaines situations, le problème dual peu être lui-même très difficile à résoudre et nécessiter des stratégies adaptées. Par exemple, lorsque le nombre de contraintes dualisées est très élevé, une dualisation explicite peut s’avérer impossible ou la mise à jour des variables duales peut échouer. Au chapitre 3, nous étudions les propriétés de convergence lorsqu’une relaxation Lagrangienne dynamique est effectuée : seul un sous-ensemble de contraintes est dualisé à chaque itération, ce qui permet de réduire la dimension du problème dual. Une autre limite de relaxation Lagrangienne peut apparaître lorsque la fonction duale est séparable en un grand nombre de sous-fonctions, ou que celles-ci restent difficiles à évaluer. Une stratégie naturelle consiste alors à tirer partie de la lecture séparable en effectuant des itérations duales en n’ayant évalué qu’un sous-ensemble des sous-fonctions. Au chapitre 4, nous proposons d’utiliser une méthode de faisceau dans ce contexte incrémental. Enfin, le chapitre 5 présente des applications numériques sur des problèmes de gestion de production d’électricité.

Nous étudions dans cette thèse le problème de gestion du risque physique en production électrique à l'horizon hebdomadaire. Dans un premier temps, nous nous intéressons à l'intégration de l'aléa d'apport hydraulique dans la gestion locale d'une vallée hydraulique. Cette approche est menée à l'aide de l'optimisation robuste et de règles de décision linéaires. Les résultats de multiples modes de simulation montrent que ces approches permettent de réduire notoirement les déversés en comparaison des modèles déterministes appliqués en exploitation, moyennant une faible augmentation du coût. La deuxième problématique traitée est la gestion active de la marge de production, définie comme l'écart entre l'offre totale et la demande totale, compte tenu des aléas affectant le système électrique. Il s'agit de déterminer quelles décisions optimales prendre, selon un certain critère économique, pour se couvrir contre un risque trop élevé de non-satisfaction de la demande dans au moins 99% des situations. Pour cela, une formulation inédite en boucle ouverte, basée sur le processus stochastique de marge de production et des contraintes en probabilité est proposée. Pour les besoins de cette formulation, nous générons des scénarios à l'aide de techniques plus réalistes qu'en exploitation. Enfin, une résolution moins anticipative est étudiée en appliquant l'heuristique «Programmation Stochastique avec Règles de Décision Constantes par Morceaux» introduite par Thénié et Vial. Les premiers résultats sont très encourageants en comparaison avec les modèles en boucle ouverte.

L'objet de la thèse est l'étude des approximations numériques de différentes équations HJB associées à des problèmes de contrôle optimal stochastique. Dans la première partie on a étendu la thèorie des estimations d'erreurs à un problème de jeux différentiels et au cas du problème avec impulsions. Ce dernier a fait l'objet d'une mise en oeuvre numérique. Dans toute cette partie l'ensemble de contrôles est borné. Ensuite, dans la deuxième partie de la thèse on a étudié des problèmes de contrôle stochastique provenant de la finance et dont l'ensemble des contrôles est non borné, en particulier des problèmes de sur-couverture.

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La première partie de cette thèse concerne une étude de robustesse des algorithmes de points intérieurs prédicteurs correcteurs, ainsi qu'une approche par décomposition de cette méthode pour la résolution de problèmes de multiflot. Dans la deuxième partie, nous nous intéressons au problème de sécurisation globale dont l'objectif est de déterminer un multiflot (qui transporte toute demande de son nud origine a son nud destination en respectant la loi de Kirchhoff) et l'investissement de moindre coût en capacité nominale et de réserve qui assure le routage nominal et garantit sa survie par reroutage global. Dans notre modèle les routages et les capacités sont fractionnables. PSG se formule alors comme un problème linéaire de grande taille avec plusieurs niveaux de couplage. Sa structure particulière appelle à l'emploi d'algorithmes de décomposition. Nous proposons quatre méthodes utilisant la technique de génération de colonnes. Les deux premières sont basées sur les techniques proximales. Leur tâche principale consiste en la résolution de sous problèmes quadratiques indépendants. Le troisième algorithme s'inspire de l'approche de points intérieurs décrite à la première partie. Pour finir, nous intégrons une procédure d'élimination de chemins dans une adaptation d'un solveur de points intérieurs. Nous reportons des résultats numériques obtenus en testant ces algorithmes sur des données réelles fournies par le CNET.

Les nouvelles méthodes de points intérieurs jouent aujourd'hui un rôle de plus en plus important dans l'optimisation des systèmes de grande taille. Dans cette thèse nous étudions dans une première partie, du point de vue théorique et numérique, une extension d'un algorithme de points intérieurs pour la programmation quadratique convexe et non convexe. Celle-ci utilise l'idée de la région de confiance que l'on peut expliciter grâce à une transformation affine. Sous certaines hypothèses nous démontrons des résultats sur la convergence globale et sur la vitesse de convergence de l'algorithme. Nous donnons aussi une version pratique de cet algorithme, basée sur une généralisation de la méthode de Lanczos pour la résolution des systèmes linéaires indéfinis. Celle-ci donne dans la pratique des résultats très encourageants. Dans la seconde partie, nous étudions du point de vue théorique une extension d'un autre algorithme de points intérieurs pour l'optimisation non linéaire avec contraintes linéaires. Cette extension utilise l'idée de la réduction d'une fonction potentiel après une transformation affine de l'ensemble admissible. Des résultats sur la convergence globale et sur la complexité de l'algorithme sont donnés.