NAVARRO Fabien

Dans cet article, nous traitons de l'estimation d'une fonction inconnue à partir d'un modèle de régression non paramétrique avec des bruits additifs et multiplicatifs. Nous considérons le cas du bruit multiplicatif uniforme. Nous développons un es-timateur de projection basé sur les ondelettes pour ce problème. Nous prouvons qu'il atteint un taux de convergence rapide sous l'erreur quadratique moyenne intégrée sur les espaces de Besov. Une extension pratique pour sélectionner automatiquement le paramètre de troncature de cet estimateur est discutée. Une étude numérique illustre l'utilité de cette extension.

Ce travail est motivé par l'analyse de données d'accéléromètres. L'analyse de ces données consiste à extraire des statistiques qui caractérisent l'activité physique d'un sujet (par exemple, le temps moyen passé à différents niveaux d'activité et la probabilité de la transition entre deux niveaux). Par conséquent, nous introduisons un modèle de mélange fini de chaîne de Markov cachée pour analyser les données d'accélérométrie en tenant compte de l'hétérogénéité de la population. Cette approche ne spécifie pas les niveaux d'activité à l'avance mais les estime à partir des données. De plus, elle permet de prendre en compte l'hétérogénéité de la population et de définir des sous-populations ayant un comportement homogène vis-à-vis de l'activité physique. Le résultat théorique principal est que, sous des hypothèses légères, la probabilité de mal classer une observation diminue à un taux exponentiel avec sa longueur. De plus, nous prouvons l'identifiabilité du modèle et nous montrons comment le modèle peut gérer les valeurs manquantes. Notre proposition est illustrée à l'aide de données réelles.

Cet article développe une approche paramétrique efficace en termes de calcul pour l'estimation de modèles de Markov cachés (HMM) généraux. Pour les HMM non gaussiens, le calcul de l'estimateur du maximum de vraisemblance (MLE) implique une intégrale à haute dimension sans solution explicite qui est difficile à calculer avec précision. Nous développons une nouvelle méthode alternative basée sur la théorie des fonctions d'estimation et la stratégie de déconvolution. Notre procédure nécessite les mêmes hypothèses que les estimateurs MLE et déconvolution. Nous fournissons des garanties théoriques sur la performance de l'estimateur résultant. Sa cohérence et sa normalité asymptotique sont établies. Cela permet de construire des intervalles de confiance dans la pratique. Des expériences de Monte Carlo sont étudiées et comparées avec l'ELM. Enfin, nous illustrons notre approche sur des données réelles pour des prévisions ex-ante de taux d'intérêt.

Dans cet article, nous considérons un problème d'estimation de fonction inconnue dans un modèle de régression non paramétrique général ayant la caractéristique d'avoir un bruit à la fois multiplicatif et additif. Nous proposons deux estimateurs en ondelettes, qui, à notre connaissance, sont nouveaux dans ce contexte général. Nous prouvons qu'ils atteignent des taux de convergence rapides sous l'erreur quadratique moyenne intégrée sur les espaces de Besov. Les taux obtenus ont la particularité d'être établis sous des conditions faibles sur le modèle. Une étude numérique dans un contexte comparable à l'estimation de la frontière stochastique (avec la différence que la frontière n'est pas nécessairement une fonction de production) soutient la théorie.

Cet article est consacré au débruitage adaptatif des signaux dans le contexte du traitement des signaux graphiques (GSP) en utilisant la transformée spectrale des ondelettes graphiques (SGWT). Cette question est abordée via un processus de seuillage piloté par les données dans le domaine transformé en optimisant les paramètres dans le sens de l'erreur quadratique moyenne (EQM) à l'aide de l'estimateur de risque sans biais de Stein (SURE). Le SGWT considéré est construit sur une partition de l'unité rendant la transformation semi-orthogonale afin que l'optimisation puisse être effectuée dans le domaine transformé. Cependant, comme la SGWT est sur-complète, le SURE doit être adapté au contexte du bruit corrélé. Deux stratégies de seuillage, à savoir le processus de seuillage coordonné et le processus de seuillage par blocs, sont étudiées. Pour chacune d'entre elles, le SURE est dérivé pour toute une famille de fonctions de seuillage élémentaires parmi lesquelles le seuil doux et le seuil de James-Stein. Pour fournir une méthode entièrement basée sur les données, un estimateur de la variance du bruit dérivé de l'estimateur de Von Neumann dans le modèle gaussien est adapté au cadre du graphe.

Dans cet article, nous traitons de l'estimation d'une fonction inconnue à partir d'un modèle de régression non paramétrique avec des bruits additifs et multiplicatifs. Nous considérons le cas du bruit multiplicatif uniforme. Nous développons un es-timateur de projection basé sur les ondelettes pour ce problème. Nous prouvons qu'il atteint un taux de convergence rapide sous l'erreur quadratique moyenne intégrée sur les espaces de Besov. Une extension pratique pour sélectionner automatiquement le paramètre de troncature de cet estimateur est discutée. Une étude numérique illustre l'utilité de cette extension.

Dans cet article, une nouvelle famille d'ondelettes de graphe, abrégée LocLets pour Localized graph waveLets, est présentée. Ces ondelettes sont localisées dans le domaine de Fourier sur des sous-ensembles du spectre du laplacien du graphe. Les LocLets sont construites à partir de la transformée en ondelettes graphiques spectrales (SGWT) et s'adaptent mieux aux signaux qui sont épars dans le domaine de Fourier que la SGWT standard. En fait, en tant que raffinement de la SGWT, LocLets bénéficie de la machinerie de Chebyshev pour garantir que la transformée LocLets reste un outil efficace et évolutif pour le traitement du signal sur de grands graphes. En outre, LocLets exploite la rareté des signaux de diverses manières : la compacité, l'efficacité et la facilité d'utilisation de la transformée sont améliorées pour les signaux épars dans le domaine de Fourier. Les exemples typiques de ces signaux épars sont les signaux lisses et les signaux très peu lisses. Pour ces derniers signaux, leurs mélanges ou même une classe plus large de signaux, il est montré dans cet article que les LocLets apportent des améliorations substantielles dans les tâches standard de réduction du bruit par rapport aux méthodes avancées basées sur les ondelettes graphiques.

" Bonjour Dave, vous avez l'air en forme aujourd'hui ".

Dans cette note, nous introduisons de nouvelles approximations simples pour les intégrales de type gaussien. Un ingrédient clé est l'approximation de la fonction e -x 2 par la somme de trois fonctions polynomiales-exponentielles simples. Cinq intégrales spéciales de type gaussien sont ensuite considérées comme des applications. L'approximation de la fonction d'erreur de Voigt est étudiée.

De nombreuses bases fonctionnelles intéressantes, telles que les polynômes par morceaux ou les ondelettes, sont des exemples de bases localisées. Nous étudions l'optimalité de la validation croisée V-fold et d'une variante appelée pénalisation V-fold dans le contexte de la sélection de modèles linéaires générés par des bases localisées dans un cadre hétéroscédastique. Il apparaît que si la validation croisée V-fold n'est pas asymptotiquement optimale lorsque V est fixé, la procédure de pénalisation V-fold est optimale. Des études de simulation sont également présentées.

Dans cette note, nous considérons l'estimation de l'entropie différentielle d'une fonction de densité de probabilité. Nous proposons un nouvel estimateur adaptatif basé sur une approche plug-in et des méthodes d'ondelettes. Nous prouvons qu'il atteint des taux de convergence rapides sous l'erreur moyenne Lp, p ≥ 1, pour une large classe de fonctions. Un résultat clé de notre développement est une nouvelle borne supérieure pour l'erreur moyenne Lp, p ≥ 1, d'une version générale de l'estimateur plug-in. Cette borne supérieure peut présenter un intérêt indépendant.

Nous étudions l'optimalité pour la sélection de modèles de ce que l'on appelle l'heuristique de la pente, la validation croisée V$-fold et la pénalisation V$-fold dans un contexte de régression hétéroscédastique à plan aléatoire. Nous considérons une nouvelle classe de modèles linéaires que nous appelons bases fortement localisées et qui généralisent les histogrammes, les polynômes par morceaux et les ondelettes à support compact. Nous dérivons des inégalités d'oracle nettes qui prouvent l'optimalité asymptotique de l'heuristique de la pente --- lorsque la forme optimale de la pénalité est connue --- et de la pénalisation du pli $V$. De plus, la validation croisée $V$-fold semble être sous-optimale pour une valeur fixe de $V$ puisqu'elle récupère asymptotiquement l'oracle appris à partir d'une taille d'échantillon égale à $1-V^{-1}$ de la quantité originale de données. Nos résultats sont basés sur de véritables inégalités de concentration pour les risques excédentaires réels et empiriques qui présentent un intérêt indépendant. Nous montrons dans nos expériences le bon comportement de l'heuristique de pente pour la sélection des modèles d'ondelettes linéaires. De plus, la validation croisée $V$-fold et la pénalisation $V$-fold ont une efficacité comparable.

Le fait qu'une légère sur-pénalisation engendre une stabilisation des procédures de sélection de modèles est un phénomène bien connu des spécialistes. En effet, il a été remarqué depuis la fin des années 70 que l'ajout d'une petite quantité positive à des critères pénalisés classiques tels que AIC améliore dans les bons cas les résultats en prédiction, particulièrement pour les échantillons de taille petite ou modérée. La raison principale est que la sur-pénalisation tend à se prémunir contre le sur-apprentissage. Nous proposons la première stratégie générale et théoriquement fondée de sur-pénalisation et nous l'appliquons au critère AIC. De très bons résultats sont observés par simulation.

Cet article traite du problème de l'estimation des dérivées d'une fonction de régression à partir de données biaisées. Nous développons deux estimateurs linéaires différents en ondelettes en fonction de la connaissance de la "densité biaisée" du plan. Les nouveaux estimateurs sont analysés par rapport à leur risque $L_p$ avec p ≥ 1 sur les boules de Besov. Des taux de convergence polynomiaux rapides sont obtenus.

Dans cet article, nous apportons une contribution théorique à l'erreur quadratique moyenne ponctuelle d'un estimateur multidimensionnel adaptatif par seuillage terme par terme en ondelettes. Un résultat général présentant des taux de convergence rapides sous de légères hypothèses sur le modèle est prouvé. Il peut être appliqué à une large gamme de modèles non paramétriques incluant des observations dépendantes possibles. Nous donnons des applications de ce résultat pour le problème de l'estimation de la fonction de régression non paramétrique (avec plan aléatoire) et le problème de l'estimation de la densité conditionnelle.

La notion de base localisée est un concept fécond en théorie de l'approximation linéaire, qui uni…e entre autres les histogrammes, les polynômes par morceaux et les ondelettes à support compact. Nous considérons donc le problème de sélection du nombre de coefficients non nuls dans un développement en base localisée, pour l'estimation non-paramétrique d'une fonction de régression, avec design aléatoire et bruit hetéroscédastique. Nous démontrons alors par l'établissement d'inégalités oracles l'optimalité asymptotique de l'heuristique de pente et d'une stratégie de pénalisation V-fold. Nous montrons aussi que la procédure classique de validation croisée V-fold est asymptotiquement sous-optimale au sens où elle retrouve à l'in…ni l'oracle construit à partir d'une fraction des données initiales égale à (V-1)/V. Nous concluons l'exposé par une étude simulatoire sur des modèles d'ondelettes, où nous notons une différence sensible entre les résultats asymptotiques du cadre théorique et la pratique à distance finie. En effet, la validation croisée V-fold et sa variante par pénalisation donnent dans nos expérimentations des résultats comparables alors que la supériorité asymptotique de la pénalisation est avérée.

Nous étudions l'estimation de la convolution des plis $\ell$ de la densité d'une variable non observée $X$ à partir de $n$ observations i.i.d. du modèle de convolution $Y=X+\varepsilon$. Nous supposons d'abord que la densité du bruit $\varepsilon$ est connue et définissons des estimateurs non adaptatifs, pour lesquels nous fournissons des limites pour l'erreur quadratique moyenne intégrée (MISE). En particulier, sous certaines hypothèses de régularité sur les densités de $X$ et de $\varepsilon$, nous prouvons que le taux de convergence paramétrique $1/n$ peut être atteint. Ensuite, nous construisons un estimateur adaptatif utilisant une approche de pénalisation ayant des performances similaires à l'estimateur non adaptatif. Le prix de son adaptabilité est un terme logarithmique. Les résultats sont étendus au cas d'une densité de bruit inconnue, à condition qu'un échantillon de bruit indépendant soit disponible. Enfin, nous rapportons une étude de simulation pour soutenir nos résultats théoriques.

Cet article tente de mieux comprendre l'influence du lissage de la densité de la copule dans le problème de la densité d'estimation bi-dimensionnelle. Nous apportons un élément de réponse en étudiant les propriétés MISE d'un estimateur adaptatif basé sur une approche plug-in et des méthodes d'ondelettes.

Nous étudions l'estimation de la convolution des plis $\ell$ de la densité d'une variable non observée $X$ à partir de $n$ observations i.i.d. du modèle de convolution $Y=X+\varepsilon$. Nous supposons d'abord que la densité du bruit $\varepsilon$ est connue et définissons des estimateurs non adaptatifs, pour lesquels nous fournissons des limites pour l'erreur quadratique moyenne intégrée (MISE). En particulier, sous certaines hypothèses de régularité sur les densités de $X$ et de $\varepsilon$, nous prouvons que le taux de convergence paramétrique $1/n$ peut être atteint. Ensuite, nous construisons un estimateur adaptatif utilisant une approche de pénalisation ayant des performances similaires à l'estimateur non adaptatif. Le prix de son adaptabilité est un terme logarithmique. Les résultats sont étendus au cas d'une densité de bruit inconnue, à condition qu'un échantillon de bruit indépendant soit disponible. Enfin, nous rapportons une étude de simulation pour soutenir nos résultats théoriques.

Nous étudions l'estimation de la dérivée moyenne pondérée par la densité à partir de données biaisées. Un estimateur intégrant une approche plug-in et des projections en ondelettes est construit. Nous prouvons qu'il atteint le taux de convergence paramétrique 1/n sous l'erreur quadratique moyenne.

L'estimation non paramétrique de la puissance de convolution m-fois d'une fonction inconnue f est considérée. Nous introduisons un estimateur basé sur une approche plug-in et un estimateur par seuillage dur en ondelettes. Nous explorons ses performances asymptotiques théoriques via l'erreur quadratique moyenne intégrée en supposant que f a un certain degré de régularité. Des applications et des exemples numériques sont donnés pour le problème d'estimation de densité standard et le problème d'estimation de densité par déconvolution.

Nous étudions l'estimation d'une densité pondérée prenant la forme $g=w(F)f$, où $f$ désigne une densité inconnue, $F$ la fonction de distribution associée et $w$ est un poids connu (non négatif). Une telle classe englobe de nombreux exemples, y compris ceux qui apparaissent en statistique des ordres ou lorsque $g$ est lié au maximum ou au minimum de $N$ variables aléatoires (aléatoires ou fixes) indépendantes et identiquement distribuées (\iid). Nous construisons ici un nouvel estimateur adaptatif non-paramétrique pour $g$ basé sur une approche plug-in et la méthodologie des ondelettes. Pour une large classe de modèles, nous prouvons qu'il atteint des taux de convergence rapides sous le risque $\mathbb{L}_p$ avec $p\ge 1$ (pas seulement pour $p = 2$ correspondant à l'erreur quadratique moyenne intégrée) sur les boules de Besov. Les résultats théoriques sont illustrés par plusieurs simulations.

Nous observons $n$ processus stochastiques hétéroscédastiques $\{Y_v(t)\}_{v}$, où pour tout $v\in\{1,\ldots,n\}$ et $t \in [0,1]$, $Y_v(t)$ est le produit de convolution d'une fonction inconnue $f$ et d'une fonction de flou connue $g_v$ corrompue par un bruit gaussien. Sous une hypothèse de lissage ordinaire sur $g_1,\ldots,g_n$, notre objectif est d'estimer les $d$ième dérivées (au sens faible) de $f$ à partir des observations. Nous proposons un estimateur adaptatif basé sur le seuillage des blocs d'ondelettes, à savoir l'"estimateur BlockJS". En prenant l'erreur quadratique moyenne intégrée (MISE), notre principal résultat théorique étudie les taux minimax sur les espaces de lissage de Besov, et montre que notre estimateur par blocs peut atteindre le taux minimax optimal, ou est au moins presque-minimax dans la situation la moins favorable. Nous présentons également une suite complète de simulations numériques pour étayer nos résultats théoriques. Les performances pratiques de notre estimateur par blocs se comparent très favorablement aux méthodes existantes de la littérature sur un large ensemble de fonctions de test.

Nous considérons le problème de l'estimation de la dérivée moyenne pondérée par la densité d'une fonction de régression. Nous présentons un nouvel estimateur cohérent basé sur une approche plug-in et des projections en ondelettes. Ses performances sont explorées sous différentes structures de dépendance des observations : le cas indépendant, le cas du mélange $\rho$ et le cas du mélange $\alpha$. Plus précisément, en désignant par $n$ le nombre d'observations, dans le cas indépendant, nous prouvons qu'il atteint $1/n$ sous l'erreur quadratique moyenne, dans le cas du mélange $\rho$, $1/\sqrt{n}$ sous l'erreur absolue moyenne, et, dans le cas du mélange $\alpha$, $\sqrt{\ln n /n}$ sous l'erreur absolue moyenne. Une courte étude par simulation illustre la théorie.

Le présent article s'intéresse au problème de l'estimation de la convolution des densités. Nous proposons un estimateur adaptatif basé sur les méthodes à noyaux, l'analyse de Fourier et la méthode de Lepski. Nous étudions ses propriétés de risque de $\mathbb{L}_2$. Des taux de convergence rapides et nouveaux sont déterminés pour une large classe de fonctions inconnues. Des illustrations numériques, sur des données simulées et réelles, sont fournies pour évaluer les performances de notre estimateur.

Nous étudions l'estimation de l'intégrale du carré d'une fonction inconnue multidimensionnelle $f$ sous des hypothèses légères sur le modèle permettant la dépendance aux observations. Nous développons un estimateur adaptatif basé sur une approche plug-in et des projections en ondelettes. En prenant l'erreur absolue moyenne et en supposant que $f$ a un certain degré de régularité, nous prouvons que notre estimateur atteint un taux de convergence élevé. Des applications sont données pour le modèle de densité biaisée, le modèle de régression non paramétrique et un modèle de type GARCH sous certaines conditions de dépendance de mélange (mélange $\alpha$ ou mélange $\beta$). Une étude de simulation considérant des modèles de régression non paramétriques avec des observations dépendantes illustre l'utilité de l'estimateur proposé.

Dans cet article, nous proposons une procédure de seuillage de bloc basée sur les données pour la déconvolution non aveugle basée sur les ondelettes. L'approche consiste à écrire de manière appropriée le problème dans le domaine des ondelettes, puis à sélectionner à la fois la taille du bloc et le paramètre de seuil à chaque niveau de résolution en minimisant l'estimation du risque sans biais de Stein. L'algorithme qui en résulte est simple à mettre en œuvre et rapide. Des illustrations numériques sont fournies pour évaluer les performances de l'estimateur.

Cette thèse présente de nouvelles procédures statistiques dans un cadre non-paramétrique et étudie à la fois leurs propriétés théoriques et empiriques. Nos travaux portent sur deux sujets différents qui ont pour point commun l'observation indirecte du paramètre fonctionnel inconnu. La première partie est consacrée à une procédure d'estimation de type seuillage par blocs pour le modèle de bruit blanc gaussien. Nous nous intéressons à l'estimation adaptative d'un signal f et des ses dérivées à partir de n versions floutées et bruitées de ce signal et prouvons que notre estimateur atteint une vitesse de convergence (quasi-)optimale sur une large classe de boules de Besov. Puis, nous proposons une procédure adaptative d'estimation permettant de sélectionner les paramètres de l'estimateur de manière optimale en minimisant un estimateur sans biais du risque. Dans la deuxième partie, nous nous plaçons dans le cadre du modèle de densité au sein duquel la fonction inconnue subit une transformation donnée avant d'être observée. Nous construisons et étudions un estimateur adaptatif basé sur une approche plug-in et un seuillage dur en ondelettes par blocs. Enfin, nous étudions le problème d'estimer la convolution d'ordre m d'une densité à partir d'observations i. I. D. Tirées dans la loi sous-jacente. Nous proposons un estimateur adaptatif fondé sur des noyaux, de l'analyse de Fourier et la méthode de Lepski. Nous étudions son risque quadratique et des vitesses nouvelles et rapides sont obtenues, pour une vaste classe de fonctions inconnues. Chaque méthode d'estimation étudiée est analysée numériquement par simulations, à la fois sur données simulées et sur données réelles.

Cette thèse présente de nouvelles procédures statistiques dans un cadre non-paramétrique et étudie à la fois leurs propriétés théoriques et empiriques. Nos travaux portent sur deux sujets différents qui ont pour point commun l'observation indirecte du paramètre fonctionnel inconnu. La première partie est consacrée à une procédure d'estimation de type seuillage par blocs pour le modèle de bruit blanc gaussien. Nous nous intéressons à l'estimation adaptative d'un signal f et des ses dérivées à partir de n versions floutées et bruitées de ce signal et prouvons que notre estimateur atteint une vitesse de convergence (quasi-)optimale sur une large classe de boules de Besov. Puis, nous proposons une procédure adaptative d'estimation permettant de sélectionner les paramètres de l'estimateur de manière optimale en minimisant un estimateur sans biais du risque. Dans la deuxième partie, nous nous plaçons dans le cadre du modèle de densité au sein duquel la fonction inconnue subit une transformation donnée avant d'être observée. Nous construisons et étudions un estimateur adaptatif basé sur une approche plug-in et un seuillage dur en ondelettes par blocs. Enfin, nous étudions le problème d'estimer la convolution d'ordre m d'une densité à partir d'observations i.i.d. tirées dans la loi sous-jacente. Nous proposons un estimateur adaptatif fondé sur des noyaux, de l'analyse de Fourier et la méthode de Lepski. Nous étudions son risque quadratique et des vitesses nouvelles et rapides sont obtenues, pour une vaste classe de fonctions inconnues. Chaque méthode d'estimation étudiée est analysée numériquement par simulations, à la fois sur données simulées et sur données réelles.