RULLIERE Didier

La classe de distribution de convolution gamma généralisée est apparue dans les travaux de Thorin alors qu'il recherchait la divisibilité infinie des distributions log-normales et de Pareto. Bien que ces distributions aient été largement étudiées dans le cas univarié, le cas multivarié et les structures de dépendance qui peuvent en découler ont suscité peu d'intérêt dans la littérature. De plus, une seule procédure de projection pour le cas univarié a été construite récemment, et aucune procédure d'estimation n'est disponible. En expédiant les densités des convolutions gamma généralisées multivariées dans une base de Laguerre tensorisée, nous comblons cette lacune et fournissons des procédures d'estimation performantes pour les cas univariés et multivariés. Nous fournissons quelques indications sur la performance de ces procédures, ainsi qu'une série convergente pour la densité des convolutions gamma multivariées, qui s'avère plus stable que les séries univariées de Moschopoulos et Mathai. Nous discutons en outre de quelques exemples.

Cette thèse porte sur la mise en place d’actions de prévention financées par une compagnie d’assurance. Elle est composée de cinq chapitres précédés d’une introduction générale qui a pour vocation de présenter les difficultés liées à la prévention, les outils utilisés et les principaux résultats obtenus. Le chapitre 1 propose une méthode de classification non supervisée d’assurés santé par groupes de risques homogènes, à partir des prestations versées par un organisme assureur. Cette méthode comporte deux phases : une réduction de dimension des données à l’aide de factorisations de matrice positive (NMF) est d’abord effectuée. La classification est ensuite finalisée à l’aide des cartes de Kohonen. Les tests de la méthode, sont aussi présentés. Les classes finales obtenues sont finalement analysées afin d’étudier si certaines d’entre elles peuvent faire l’objet d’une action de prévention. Une action de prévention sur la psychiatrie est proposée. Le chapitre 2 est la continuité du chapitre 1 puisqu’il s’attache à comparer la qualité de la réduction de dimension à l’aide des méthodes NMF avec celle obtenue grâce à deux autres méthodes, les méthodes Word2Vec (W2V) et les autoencodeurs débruiteurs empilés marginalisés (mSDA). Notamment, la stabilité des classifications finales est étudiée à l’aide d’une nouvelle mesure de stabilité. Un complément sur la prise en compte de la temporalité avec l’algorithme W2V est également présenté. Le chapitre 3 propose une étude du risque psychiatrie au sein d’un organisme complémentaire santé, les algorithmes des chapitres précédent ayant permis d’identifier ce risque. A l’aide d’une étude statistique menée sur quatre bases de données, il est notamment montré que les assurés consommant de la psychiatrie coûtent en moyenne deux fois plus cher à l’assureur santé qu’un individu moyen. Quelques actions de prévention potentielles sont suggérées en conclusion. Le chapitre 4 s’intéresse à la modélisation de la prévention au sein d’une compagnie d’assurance. En intégrant un paramètre de prévention au sein du modèle Poisson composé issu de la théorie de la ruine, il est en effet possible de mesurer l’effet de la prévention sur certains indicateurs, comme la probabilité de ruine. Différentes stratégies optimales de prévention sont proposées, et une analyse de sensibilité est fournie. Enfin, le chapitre 5 propose d’étendre le modèle considéré dans le chapitre précédent au cas où une compagnie d’assurance est confrontée à un risque léger et à un risque lourd. Dans un tel modèle, la stratégie optimale de prévention dépend des montants de réserves constituées. Des résultats asymptotiques sur les stratégies optimales sont fournis.

Cet article fournit une preuve alternative de la caractérisation des fonctions monotones multiples comme intégrales d'applications simples de type polynomial par rapport à une mesure de probabilité. Ceci constitue un analogue de la représentation de Bernstein-Widder des fonctions complètement monotones comme transformées de Laplace. La preuve donnée ici s'appuie sur le résultat de représentation abstraite de Choquet plutôt que sur la dérivation analytique donnée initialement par Williamson. À cette fin, nous identifions les points extrêmes dans l'ensemble convexe des fonctions complètement monotones. Notre résultat donne ainsi une perspective géométrique à la représentation de Williamson.

Pour un échantillon aléatoire donné provenant d'une distribution multivariée sous-jacente F, nous considérons la domination des maxima des composantes par un vecteur aléatoire indépendant W avec une fonction de distribution sous-jacente G. Nous montrons que la probabilité que certaines composantes des maxima de l'échantillon soient dominées par les composantes correspondantes de W peut être approximée en supposant que F et G sont tous deux dans le domaine d'attraction maximale d'une fonction de distribution max-stable F et G, respectivement. Nous étudions plus en détail certaines propriétés de base des composantes dominées des maxima de l'échantillon par W .

Nous construisons l'estimateur CORT (Copula Recursive Tree) : un estimateur linéaire par morceaux, flexible et cohérent d'une copule, qui tire parti de la formalisation de la copule en patchwork et de divers estimateurs de densité constants par morceaux. Alors que la structure en patchwork impose une grille, l'estimateur CORT est piloté par les données et construit la grille (éventuellement irrégulière) de manière récursive à partir des données, en minimisant une distance choisie dans l'espace des copules. L'ajout des contraintes de copules rend inutilisables les estimateurs de dénis habituels, alors que l'estimateur CORT ne s'intéresse qu'à la dépendance et garantit l'uniformité des marges. Des raffinements tels que la réduction de dimension localisée et le bagging sont développés, analysés et testés par des applications sur des données simulées.

Dans cet article, nous étudions le lien entre la loi conjointe d'un vecteur aléatoire de dimension d et la loi de certaines de ses marginales multivariées. Nous introduisons et nous concentrons sur une classe de distributions, que nous appelons projectives, pour lesquelles nous donnons des propriétés détaillées. Ceci nous permet d'obtenir les conditions nécessaires pour qu'une construction donnée soit projective. Nous illustrons nos résultats en proposant quelques distributions projectives théoriques, comme les distributions elliptiques ou une nouvelle classe de distribution ayant des marges bivariées données. Dans le cas où les données ne correspondent pas nécessairement à une distribution projective, nous expliquons également comment construire des distributions correctes tout en vérifiant que la distance aux projections prescrites est suffisamment petite.

Pour un échantillon aléatoire donné provenant d'une distribution multivariée sous-jacente F, nous considérons la domination des maxima des composantes par un vecteur aléatoire indépendant W avec une fonction de distribution sous-jacente G. Nous montrons que la probabilité que certaines composantes des maxima de l'échantillon soient dominées par les composantes correspondantes de W peut être approximée en supposant que F et G sont tous deux dans le domaine d'attraction maximale d'une fonction de distribution max-stable F et G, respectivement. Nous étudions plus en détail certaines propriétés de base des composantes dominées des maxima de l'échantillon par W .

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Dans [16], une nouvelle famille de mesures de risque à valeurs vectorielles appelée expectiles multivariés est introduite. Dans cet article, nous nous concentrons sur le comportement asymptotique de ces mesures dans un contexte de variations régulières multivariées. Pour les modèles à queues équivalentes, nous proposons un estimateur de ces expectiles asymptotiques multivariés, dans le cas du domaine d'attraction de Fréchet, avec indépendance asymptotique, ou dans le cas comonotonique.

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La classe des copules archimédiennes multivariées est définie à l'aide d'une fonction à valeur réelle appelée le générateur de la copule. Ce générateur satisfait à certaines propriétés, dont la d-monotonie. Nous proposons ici une nouvelle transformation de base de ce générateur, préservant ces propriétés, assurant ainsi la validité du générateur transformé et induisant une copule valide propre. Cette transformation n'agit que sur une partie spécifique du générateur, elle permet à la fois la non-réduction de la vraisemblance sur un jeu de données donné, et le choix du coefficient de dépendance de la queue supérieure de la copule transformée. Des illustrations numériques montrent l'utilité de cette construction, qui peut améliorer l'ajustement d'une copule donnée tant sur sa partie centrale que sur sa queue.

Cet article rassemble les contributions qui ont été présentées lors de la session consacrée aux processus gaussiens aux Journées MAS 2016. Tout d'abord, une introduction aux processus gaussiens est fournie, et certaines questions de recherche actuelles sont discutées. Ensuite, une application de la modélisation des processus gaussiens sous contraintes d'inégalité linéaire à des données financières est présentée. En outre, une procédure originale de traitement de grands ensembles de données est décrite. Enfin, le cas de l'optimisation itérative basée sur les processus gaussiens est discuté.

Le krigeage est une technique largement utilisée, en particulier pour les expériences informatiques, l'apprentissage automatique ou la géostatistique. Un défi important pour le krigeage est la charge de calcul lorsque l'ensemble de données est grand. Nous nous concentrons sur une classe de méthodes visant à diminuer ce coût de calcul, consistant à agréger des prédicteurs de Krigeage basés sur des sous-ensembles de données plus petits. Nous prouvons que les agrégations basées uniquement sur les variances conditionnelles fournies par les différents prédicteurs de Kriging peuvent donner une prédiction finale de Kriging incohérente. En revanche, nous étudions théoriquement la proposition récente de [Rullière et al., 2017] et obtenons des propriétés attractives supplémentaires pour celle-ci. Nous prouvons que ce prédicteur est cohérent, nous montrons qu'il peut être interprété comme une distribution conditionnelle exacte pour un processus modifié et nous fournissons des bornes d'erreur pour lui.

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Ce travail s'inscrit dans le contexte de la prédiction de la valeur d'une fonction réelle à certains emplacements d'entrée, compte tenu d'un nombre limité d'observations de cette fonction. La technique d'interpolation de Krigeage (ou régression par processus gaussien) est souvent envisagée pour résoudre un tel problème, mais la méthode souffre de sa charge de calcul lorsque le nombre de points d'observation est important. Nous introduisons dans cet article des prédicteurs de Krigeage emboîtés qui sont construits en agrégeant des sous-modèles basés sur des sous-ensembles de points d'observation. Cette approche s'avère avoir de meilleures propriétés théoriques que les autres méthodes d'agrégation que l'on trouve dans la littérature. Contrairement à d'autres méthodes, on peut montrer que la méthode d'agrégation proposée est cohérente. Enfin, l'intérêt pratique de la méthode proposée est illustré sur des jeux de données simulés et sur un cas test industriel avec (Formule présentée.) observations dans un espace à 6 dimensions.

Le krigeage vise à prédire la moyenne conditionnelle d'un champ aléatoire étant donné les valeurs du champ en certains points. Il semble naturel de prédire, dans le même esprit que le krigeage, d'autres fonctionnelles. Dans notre étude, nous nous concentrons sur les expectiles pour les champs aléatoires elliptiques.

Dans ce travail, nous considérons un champ aléatoire elliptique. Nous proposons des prédictions d'expectiles spatiaux à un endroit donné, compte tenu des observations du champ à d'autres endroits. Dans ce but, nous donnons d'abord des expressions exactes pour les expectiles conditionnels, et nous discutons des problèmes qui se posent pour calculer ces valeurs. Un premier prédicteur affine de régression expectile est détaillé, un algorithme itératif explicite est obtenu, et sa distribution est donnée. Des expressions simples directes sont dérivées pour certains champs aléatoires elliptiques particuliers. On montre que la performance de cette régression expectile est très faible pour les niveaux expectiles extrêmes, de sorte qu'un deuxième prédicteur est proposé. Nous prouvons que cette nouvelle prédiction extrémale est asymptotiquement équivalente à l'espérance conditionnelle réelle. Nous fournissons également quelques illustrations numériques et concluons que la régression expectile peut être peu performante lorsqu'on quitte le cadre du champ aléatoire gaussien.

Cet article est consacré à l'introduction et à l'étude d'une nouvelle famille de mesures de risque élicitables multivariées. Nous appelons les mesures vectorielles obtenues des expectiles multivariés. Nous présentons les différentes approches utilisées pour construire nos mesures. Nous discutons des propriétés de cohérence de ces expectiles multivariés. De plus, nous proposons un outil d'approximation stochastique de ces mesures de risque.

Dans ce travail, nous considérons des champs aléatoires elliptiques. Nous proposons des prédictions de quantiles spatiaux à un endroit donné à partir d'observations à d'autres endroits. Dans ce but, nous donnons d'abord des expressions exactes pour les quantiles conditionnels, et nous discutons des problèmes qui se posent pour le calcul de ces valeurs. Un premier prédicteur quantile de régression affine est détaillé, une formule explicite est obtenue, et sa distribution est donnée. Des expressions simples directes sont dérivées pour certains champs aléatoires elliptiques particuliers. On montre que les performances de ce quantile de régression sont très médiocres pour les quantiles extrêmes, de sorte qu'un deuxième prédicteur est proposé. Nous prouvons que cette nouvelle prédiction extrémale est asymptotiquement équivalente au vrai quantile conditionnel. Par le biais d'illustrations numériques, l'étude montre que la régression quantile peut être peu performante lorsqu'on quitte le cadre habituel du champ aléatoire gaussien, ce qui justifie l'utilisation des prédictions quantiles extrémales proposées.

Cet article est consacré à l'introduction et à l'étude d'une nouvelle famille de mesures de risque élicitables multivariées. Nous appelons les mesures vectorielles obtenues des expectiles multivariés. Nous présentons les différentes approches utilisées pour construire nos mesures. Nous discutons des propriétés de cohérence de ces expectiles multivariés. De plus, nous proposons un outil d'approximation stochastique de ces mesures de risque.

Cet article présente l'impact d'une classe de transformations de copules dans leurs coefficients de dépendance de queue multivariés supérieurs et inférieurs. Nous nous concentrons en particulier sur les copules archimédiennes multivariées. Dans la première partie de cet article, nous calculons les coefficients de dépendance de queue multivariés lorsque le générateur de la copule considérée présente certaines propriétés de variation régulière, et nous étudions le comportement de ces coefficients dans les cas proches de l'indépendance de queue. Cette première partie exploite les travaux antérieurs de Charpentier et Segers (2009) et étend certains résultats de Juri et Wüthrich (2003) et de De Luca et Rivieccio (2012). Nous introduisons également une nouvelle fonction d'indexation régulière (RIF) qui présente des propriétés intéressantes. Dans la deuxième partie de l'article, nous analysons l'impact sur les coefficients de dépendance de la queue multivariée supérieure et inférieure d'une grande classe de transformations des structures de dépendance. Ces résultats sont basés sur les transformations exploitées par Di Bernardino et Rullière (2013). Nous étendons certains résultats bivariés de Durante et al. (2010) dans un cadre multivarié en calculant les coefficients de dépendance de queue multivariés pour les copules transformées. Nous obtenons de nouveaux résultats dans des conditions spécifiques impliquant des taux de hasard variant régulièrement des composantes de la transformation. Dans la troisième partie, nous montrons l'utilité de l'utilisation de copules archimédiennes transformées, car elles permettent de construire des générateurs archimédiens présentant un couple quelconque de coefficients de dépendance de queue inférieurs et supérieurs. L'intérêt d'une telle étude est également illustré par des applications dans des contextes bivariés. Enfin, nous expliquons les applications possibles avec des chaînes de Markov ayant une structure de dépendance spécifique.

Un sujet important de la gestion quantitative du risque concerne la modélisation de la dépendance entre les sources de risque et, à cet égard, les copules archimédiennes semblent être très utiles. Cependant, elles présentent une symétrie, qui n'est pas toujours cohérente avec les modèles observés dans les données du monde réel. Nous étudions les extensions de la famille des copules archimédiennes qui permettent de traiter l'asymétrie. Notre extension est basée sur l'observation que lorsqu'elle est appliquée à la copule, la fonction inverse du générateur d'une copule archimédienne peut être exprimée comme une forme linéaire d'inverses de générateurs. Nous proposons d'ajouter un terme de distorsion à cette partie linéaire, ce qui conduit à des copules asymétriques. Les paramètres de cette nouvelle classe de copules sont regroupés au sein d'une matrice, ce qui facilite certaines applications habituelles comme la détermination de la courbe de niveau ou l'estimation. Certains choix tels que la stabilité du sous-modèle permettent d'associer chaque paramètre à une projection bivariée de la copule. Nous donnons également quelques conditions d'admissibilité pour les copules considérées. Nous proposons différents exemples comme des extensions multivariées naturelles de Farlie-Gumbel-Morgenstern ou Gumbel-Barnett.

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En raison du manque d'informations fiables sur le marché, l'élaboration de structures à terme financières peut être associée à un degré important d'incertitude. Dans cet article, nous proposons une nouvelle méthode d'interpolation de la structure des termes qui étend les techniques classiques de spline en permettant en plus la quantification de l'incertitude. La méthode proposée est basée sur une généralisation des modèles de krigeage avec des contraintes d'égalité linéaire (conditions d'adéquation au marché) et des conditions de préservation de la forme telles que la monotonicité ou la positivité (conditions de non-arbitrage). Nous définissons la courbe la plus probable et montrons comment construire des bandes de confiance. Les hyper-paramètres de covariance du processus gaussien sous les contraintes de construction sont estimés à l'aide de techniques de validation croisée. Sur la base des cotations de marché observées à différentes dates, nous démontrons l'efficacité de la méthode en construisant des courbes ainsi que des intervalles de confiance pour les structures à terme des taux d'actualisation OIS, des taux des swaps zéro-coupon et des probabilités de défaut implicites des CDS. Nous montrons également comment construire des surfaces de taux d'intérêt ou des surfaces de probabilité de défaut en considérant le temps (dates de cotation) comme une dimension supplémentaire.

La construction de structures par terme est au coeur de l'´ evaluationfinancì ere et de la gestion du risque voir e.g. [1], [2], [3], [4] et [5]. Une structure par terme est une courbe qui d'´ ecrit l'´ evolution d'une grandeuréconomiquegrandeuréconomique oufinancì ere comme une fonction de la maturité ou horizon de temps. Des exemples typiques sont la structure par terme des taux d'intérêt sans risque, la structure par terme d'obligations, la structure par terme de probabilités de défaut et la structure par terme de volatilités implicites de rendements d'actifs financiers. En pratique, les cotations des marchés des produits financiers sous-jacents sont utilisées et fournissent une information partielle sur les structures par terme considérées. De plus, cette information est plus au moins fiable en fonction de la liquidité de la maturité des marchés en question. Leprobì eme est d'obtenir une courbe continue en la maturitématuritéà partir de ces informations.

Dans ce travail, nous considérons des champs aléatoires elliptiques. Nous proposons des prédictions de quantiles spatiaux à un endroit donné à partir d'observations à d'autres endroits. Dans ce but, nous donnons d'abord des expressions exactes pour les quantiles conditionnels, et nous discutons des problèmes qui se posent pour le calcul de ces valeurs. Un premier prédicteur quantile de régression affine est détaillé, une formule explicite est obtenue, et sa distribution est donnée. Des expressions simples directes sont dérivées pour certains champs aléatoires elliptiques particuliers. On montre que les performances de ce quantile de régression sont très médiocres pour les quantiles extrêmes, de sorte qu'un deuxième prédicteur est proposé. Nous prouvons que cette nouvelle prédiction extrémale est asymptotiquement équivalente au vrai quantile conditionnel. Par le biais d'illustrations numériques, l'étude montre que la régression quantile peut être peu performante lorsqu'on quitte le cadre habituel du champ aléatoire gaussien, ce qui justifie l'utilisation des prédictions quantiles extrémales proposées.

La question de l'allocation du capital dans un contexte multivarié découle de la présence d'une dépendance entre les différentes activités risquées qui peut générer un effet de diversification. Plusieurs méthodes d'allocation dans la littérature sont basées sur le choix d'une mesure de risque univariée et d'un principe d'allocation, d'autres sur l'optimisation d'une probabilité de ruine multivariée ou de certains indicateurs de risque multivariés. Dans cet article, nous nous concentrons sur cette dernière technique. En utilisant une approche axiomatique, nous étudions ses propriétés de cohérence. Nous donnons quelques résultats explicites dans les cas mono-périodiques. Enfin, nous analysons l'impact de la structure de dépendance sur l'allocation optimale.

Le secteur européen de l'assurance sera bientôt confronté à l'application des normes de la réglementation Solvabilité 2. Cela va créer un véritable changement dans la gestion des risques des pratiques d'assurance. L'approche ORSA (Own Risk and Solvency Assessment) du deuxième pilier fait de l'allocation du capital un exercice important pour tous les assureurs, surtout lorsqu'il s'agit de groupes. Dans le cas d'entreprises multi-branches, l'allocation du capital doit être basée sur une modélisation multivariée du risque. Plusieurs méthodes d'allocation sont présentes dans la littérature actuarielle et les pratiques d'assurance. Dans cet article, nous nous concentrons sur une méthode d'allocation du risque. En minimisant certains des indicateurs de risque multivariés, nous étudions la cohérence de l'allocation des risques en utilisant une approche axiomatique. De plus, nous discutons de ce qui peut être le meilleur choix d'allocation pour un groupe d'assurance.

La minimisation de certains indicateurs de risque multivariés peut être utilisée comme une méthode d'allocation, comme le proposent Cénac et al [6]. L'objectif de l'allocation du capital est de choisir un point dans un simplex, selon un critère donné. Dans un article précédent [17], nous avons prouvé que la technique d'allocation proposée satisfait un ensemble d'axiomes de cohérence. Dans le présent article, nous étudions les propriétés et le comportement asymptotique de l'allocation pour certains modèles de distribution. Nous analysons également l'impact de la structure de dépendance sur l'allocation en utilisant certaines copules.

L'entrée en application depuis le 1er Janvier 2016 de la réforme réglementaire européenne du secteur des assurances Solvabilité 2 est un événement historique qui va changer radicalement les pratiques en matière de gestion des risques. Elle repose sur une prise en compte importante du profil et de la vision du risque, via la possibilité d'utiliser des modèles internes pour calculer les capitaux de solvabilité et l'approche ORSA (Own Risk and Solvency Assessment) pour la gestion interne du risque. La modélisation mathématique est ainsi un outil indispensable pour réussir un exercice réglementaire. La théorie du risque doit être en mesure d'accompagner ce développement en proposant des réponses à des problématiques pratiques, liées notamment à la modélisation des dépendances et aux choix des mesures de risques. Dans ce contexte, cette thèse présente une contribution à l'amélioration de la gestion des risques actuariels. En quatre chapitres nous présentons des mesures multivariées de risque et leurs applications à l'allocation du capital de solvabilité. La première partie de cette thèse est consacrée à l'introduction et l'étude d'une nouvelle famille de mesures multivariées élicitables de risque qu'on appellera des expectiles multivariés. Son premier chapitre présente ces mesures et explique les différentes approches utilisées pour les construire. Les expectiles multivariés vérifient un ensemble de propriétés de cohérence que nous abordons aussi dans ce chapitre avant de proposer un outil d'approximation stochastique de ces mesures de risque. Les performances de cette méthode étant insuffisantes au voisinage des niveaux asymptotiques des seuils des expectiles, l'analyse théorique du comportement asymptotique est nécessaire, et fera le sujet du deuxième chapitre de cette partie. L'analyse asymptotique est effectuée dans un environnement à variations régulières multivariées, elle permet d'obtenir des résultats dans le cas des queues marginales équivalentes. Nous présentons aussi dans le deuxième chapitre le comportement asymptotique des expectiles multivariés sous les hypothèses précédentes en présence d'une dépendance parfaite, ou d'une indépendance asymptotique, et nous proposons à l'aide des statistiques des valeurs extrêmes des estimateurs de l'expectile asymptotique dans ces cas. La deuxième partie de la thèse est focalisée sur la problématique de l'allocation du capital de solvabilité en assurance. Elle est composée de deux chapitres sous forme d'articles publiés. Le premier présente une axiomatisation de la cohérence d'une méthode d'allocation du capital dans le cadre le plus général possible, puis étudie les propriétés de cohérence d'une approche d'allocation basée sur la minimisation d'indicateurs multivariés de risque. Le deuxième article est une analyse probabiliste du comportement de cette dernière approche d'allocation en fonction de la nature des distributions marginales des risques et de la structure de la dépendance. Le comportement asymptotique de l'allocation est aussi étudié et l'impact de la dépendance est illustré par différents modèles marginaux et différentes copules. La présence de la dépendance entre les différents risques supportés par les compagnies d'assurance fait de l'approche multivariée une réponse plus appropriée aux différentes problématiques de la gestion des risques. Cette thèse est fondée sur une vision multidimensionnelle du risque et propose des mesures de nature multivariée qui peuvent être appliquées pour différentes problématiques actuarielles de cette nature.

Étant donné un premier ensemble d'observations d'un plan d'expériences échantillonné aléatoirement dans l'espace du plan, l'ensemble correspondant de points non dominés ne donne généralement pas une bonne approximation du front de Pareto. Nous proposons ici d'étudier ce problème du point de vue de l'analyse multivariée, en introduisant un cadre probabiliste avec l'utilisation de copules. Cette approche permet l'expression de lignes de niveau dans l'espace objectif, donnant une estimation de la position du front de Pareto lorsque le niveau tend vers zéro. En particulier, lorsqu'il est possible d'utiliser des copules d'Archimède, des expressions analytiques pour les estimateurs du front de Pareto sont disponibles. Plusieurs études de cas illustrent l'intérêt de l'approche, qui peut être utilisée au début de l'optimisation lors d'un échantillonnage aléatoire dans l'espace de conception.

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Le calcul des périodes de retour et des couches critiques (c'est-à-dire les courbes quantiles multivariées) dans un environnement multivarié est un problème difficile. Un cadre théorique cohérent possible pour le calcul de la période de retour, dans un environnement multidimensionnel, est essentiellement basé sur la notion de copule et d'ensembles de niveaux de la distribution de probabilité multivariée. Dans cet article, nous proposons une méthodologie rapide et paramétrique pour estimer les niveaux critiques multivariés d'une distribution et les périodes de retour associées. Le modèle est basé sur des transformations des distributions marginales et des transformations de la structure de dépendance dans la classe des copules archimédiennes. Le modèle a un nombre accordable de paramètres, et nous montrons qu'il est possible d'obtenir une estimation compétitive sans recherche d'optimum global. Nous obtenons également des expressions paramétriques pour les couches critiques et les périodes de retour. La méthodologie est illustrée sur des données hydrologiques 5-dimensionnelles réelles. Sur ce jeu de données réelles, nous obtenons une bonne qualité d'estimation et nous comparons les résultats obtenus avec certains concurrents paramétriques classiques.

Il est courant en optimisation de débuter par un tirage aléatoire dans l'espace des variables pour initialiser une population ou créer un métamodèle. En particulier, dans le cas multi-objectifs, cela conduit à un ensemble de p oints non-dominés qui ne renseignent que p eu sur le vrai front de Pareto. Nous proposons d'étudier ce problème du p oint de vue de l'analyse multivariée, en introduisant un cadre probabiliste et en particulier en utilisant les copules. Ainsi, des expressions pour les lignes de niveau sont accessibles dans l'espace des objectifs et permettent par conséquent d'obtenir une estimation de la position du front de Pareto, lorsque le niveau tend vers zéro. Des expressions analytiques explicites sont disponibles quand des copules archimédiennes sont utilisées. La procédure d'estimation correspondante est détaillée puis appliquée sur plusieurs exemples.

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Le secteur européen de l'assurance sera bientôt confronté à l'application des normes de la réglementation Solvabilité 2. Cela va créer un réel changement dans les pratiques de gestion des risques. L'approche ORSA du deuxième pilier fait de l'allocation du capital un exercice important pour tous les assureurs et particulièrement pour les groupes. Dans le cas d'entreprises multi-branches, l'allocation du capital doit être basée sur une modélisation multivariée du risque. Plusieurs méthodes d'allocation sont présentes dans la littérature et les pratiques des assureurs. Dans cet article, nous présentons une nouvelle méthode d'allocation des risques, nous étudions sa cohérence en utilisant une approche axiomatique, et nous essayons de définir quel est le meilleur choix d'allocation pour un groupe d'assurance.

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Soit $X$ un processus mixte, somme d'un mouvement brownien et d'un processus de renouvellement-récompense, et $\tau_{x}$ le temps de premier passage d'un niveau fixe $x<0$ par $X$. On prouve que $\tau_x$ a une densité et on en donne une formule. Des liens avec la théorie des ruines sont présentés. Notre résultat peut être calculé dans un cadre classique (pour un processus de Lévy ou de Sparre Andersen) et aussi dans un contexte non markovien avec des sauts positifs et négatifs possibles. Quelques applications numériques illustrent l'intérêt de cette formule de densité.

Dans cet article, nous proposons un modèle paramétrique pour les distributions multivariées. Le modèle est basé sur les fonctions de distorsion, c'est-à-dire certaines transformations d'une distribution multivariée qui permettent de générer de nouvelles familles de fonctions de distribution multivariées. Nous dérivons certaines propriétés des distorsions considérées. Un indicateur de proximité approprié entre les courbes de niveau est introduit afin d'évaluer la qualité des paramètres de distorsion candidats. En utilisant cet indicateur de proximité et les propriétés des courbes de niveau déformées, nous donnons une procédure d'estimation spécifique. L'algorithme d'estimation repose principalement sur des optimisations univariées simples, et nous obtenons finalement des représentations paramétriques des fonctions de distribution multivariées et des courbes de niveau associées. Nos résultats sont motivés par des applications de la théorie du risque multivarié. La méthodologie est illustrée sur des exemples simulés et réels.

Nous considérons le problème de la minimisation globale d'une fonction observée avec du bruit. Ce problème se pose par exemple lorsque la fonction objectif est estimée par des simulations stochastiques. Nous proposons une méthode originale pour partitionner itérativement le domaine de recherche lorsque ce domaine est une union nite de simplexes. Sur chaque sous-domaine de la partition, nous calculons un indicateur mesurant si le sous-domaine est susceptible ou non de contenir un minimiseur global. Les prochains domaines à explorer sont choisis en fonction de cet indicateur. Les ensembles de confiance pour les minimiseurs sont donnés. Des applications numériques montrent des résultats de convergence empiriques, et illustrent le compromis à faire entre l'exploration globale du domaine de recherche et la focalisation autour des minimiseurs potentiels du problème.

Nous étudions l'impact de certaines transformations dans la classe des copules d'Archimède. Nous donnons quelques conditions d'admissibilité pour ces transformations, et définissons quelques classes d'équivalence pour les transformations et les générateurs de copules archimédiennes. Nous étendons la composition $r$-fois de la section diagonale d'une copule, de $r \in \N$ à $r \in \R$. Cette extension, couplée à des résultats sur les classes d'équivalence, nous donne de nouvelles expressions des transformations et des générateurs. Des estimateurs dérivant directement de ces expressions sont proposés et leur convergence est étudiée. Nous fournissons des bandes de confiance pour les générateurs estimés. Des illustrations numériques montrent la performance empirique de ces estimateurs.

Nous proposons dans cette thèse, d'étudier le risque de longévité et son impact sur les assureurs et fournisseurs de plans de retraite. Dans la première partie, nous nous intéressons aux différents modèles de mortalité. Partant de cette revue de littérature, nous proposons une extension, par l'utilisation des processus de Lévy, du modèle dit CBD qui tiendra compte des effets de sauts dans la courbe de mortalité. Ce nouveau modèle servira, dans la deuxième partie de la thèse, de sous-jacent à l'évaluation de dérivés de longévité. Nous utilisons comme mesures d'évaluation les transformées dites de Wang et de Esscher que nous aurons au préalable défini et justifié comme étant des mesures martingales équivalentes à la mesure historique. Nous proposons enfin un nouveau contrat appelé « mortality collar » qui, de par sa définition, permet une couverture efficace contre le risque de longévité / mortalité, aussi bien pour un assureur que pour un fonds de pension. Nous apportons une analyse approfondie de cet outil de gestion du risque aussi bien dans son mécanisme, que dans son évaluation.

Le présent article propose un modèle de contagion multi-période dans le domaine du risque de crédit. Notre modèle est une extension du modèle de défaut infectieux de Davis et Lo. Nous considérons une économie de n entreprises qui peuvent faire défaut directement ou être infectées par d'autres entreprises en défaut (un effet domino étant également possible). Le défaut spontané sans influence extérieure et les infections sont décrits par des variables aléatoires de type Bernoulli pas nécessairement indépendantes. De plus, plusieurs contaminations pourraient être nécessaires pour infecter une autre firme. Dans cet article, nous calculons la fonction de distribution de probabilité du nombre total de défaillances dans un contexte de dépendance. Nous donnons également un algorithme récursif simple pour calculer cette distribution dans un contexte d'échangeabilité. Des applications numériques illustrent l'impact de l'échangeabilité entre les défaillances directes et entre les contaminations, sur différents indicateurs calculés à partir de la loi du nombre total de défaillances. Nous examinons ensuite la calibration du modèle sur les données iTraxx avant et pendant la crise. La caractéristique dynamique ainsi que l'effet de contagion semblent avoir un impact significatif sur la performance du modèle, en particulier pendant la récente période de détresse.

La présente thèse s’intéresse aux modèles d’allocation stratégiques d’actifs et à leurs applications pour la gestion des réserves financières des régimes de retraite par répartition, en particulier ceux partiellement provisionnés. L’étude de l’utilité des réserves pour un système par répartition et a fortiori de leur gestion reste un sujet peu exploré. Les hypothèses classiques sont parfois jugées trop restrictives pour décrire l'évolution complexe des réserves. De nouveaux modèles et de nouveaux résultats sont développés à trois niveaux : la génération de scénarios économiques (GSE), les techniques d’optimisation numérique et le choix de l’allocation stratégique optimale dans un contexte de gestion actif-passif (ALM). Dans le cadre de la génération de scénarios économiques et financiers, certains indicateurs de mesure de performance du GSE ont été étudiés. Par ailleurs, des améliorations par rapport à ce qui se pratique usuellement lors de la construction du GSE ont été apportées, notamment au niveau du choix de la matrice de corrélation entre les variables modélisées. Concernant le calibrage du GSE, un ensemble d’outils permettant l’estimation de ses différents paramètres a été présenté. Cette thèse a également accordé une attention particulière aux techniques numériques de recherche de l'optimum, qui demeurent des questions essentielles pour la mise en place d'un modèle d'allocation. Une réflexion sur un algorithme d’optimisation globale d’une fonction non convexe et bruitée a été développée. L’algorithme permet de moduler facilement, au moyen de deux paramètres, la réitération de tirages dans un voisinage des points solutions découverts, ou à l’inverse l’exploration de la fonction dans des zones encore peu explorées. Nous présentons ensuite des techniques novatrices d'ALM basées sur la programmation stochastique. Leur application a été développée pour le choix de l’allocation stratégique d’actifs des régimes de retraite par répartition partiellement provisionnés. Une nouvelle méthodologie pour la génération de l’arbre des scénarios a été adoptée à ce niveau. Enfin, une étude comparative du modèle d’ALM développé avec celui basé sur la stratégie Fixed-Mix a été effectuée. Différents tests de sensibilité ont été par ailleurs mis en place pour mesurer l’impact du changement de certaines variables clés d’entrée sur les résultats produits par notre modèle d’ALM.

Avec le développement de la commercialisation de produits d'assurance vie, et notamment de produits risques, les intervenants du marché sont amenés à s'interroger sur les bases techniques constitutives de leur activité. Ainsi, la maîtrise et le contrôle du risque technique sont devenus des enjeux majeurs pour une compagnie d'assurance-vie . alors même que la gestion du risque est au cœur de l'activité de l'assureur, ce dernier doit se donner les moyens de ses engagements. Cette exigence nécessite d'une part l'analyse des observations passées, d'autre part la prévision des engagements futurs, et enfin la réaction à ces analyses, visant à établir une conformité entre la connaissance et la stratégie de son développement. En réponse à ces trois problèmes, trois parties détaillent successivement l'observation, la prévision, le contrôle du risque technique, étudié comme cause non financière d'écart entre les prévisions et les réalisations de l'activité. Ces parties sont organisées dans un souci de synthèse graduelle des informations dont peut disposer une compagnie d'assurance sur la vie, et l'activité d'assurance est ici analysée à partir de ses constituants monétaires. L'observation du risque technique est ainsi abordée à travers des techniques précises d'estimation non paramétrique, afin de décrire fréquences comme montants de versements. En découlent quelques extensions de principes d'estimation et estimateurs originaux. La prévision s'opère alors par des modélisations probabilistes, cheminant des modèles individuels aux modèles collectifs, suivies de propositions d'indicateurs de gain et de risque privilégiant ceux issus de la théorie de la ruine. Plusieurs méthodes existantes sont alors étendues. Ces parties visent à caractériser progressivement l'activité monétaire d'une compagnie d'assurances à l'aide d'un processus stochastique à sauts, à partir duquel est finalement présentée une démarche originale de couverture du risque technique, illustrée par l'opération de réassurance. En découle notamment un éclairage particulier de la sélection de perspectives aléatoires et de l'évaluation de prix de risque.